Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Ascoli's thoerems

Pasicki L.

Demonstratio Mathematica

|

2009

|

Vol. 42, nr 2

429-434

EN

We present some elegant and pretty general versions of Ascoli theorem for non-Hausdorff spaces. The proofs are simple and elementary (e.g. we do not use the notion of joint continuity) while the results seem to be a very good starting point for more sophisticated theorems. Due to Lemma 10 (it extends [1], Th. 2.2) each of our theorems concerning even continuity is sufficiently general to contain the respective "equicontinuous" one (see Remark 18). Kelley in [2] (as regards the Ascoli theorems) was oriented mainly on continuous mappings while the present paper shows that it is natural first to get "continuous on compacta" results and t hen the "continuous1' versions become their simple consequences.

2

A basic fixed point theorem

Pasicki L.

Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics

|

2006

|

Vol. 54, no 1

85-88

EN

The paper contains a fixed point theorem for stable mappings in metric discus spaces (Theorem 10). A consequence is Theorem 11 which is a far-reaching extension of the fundamental result of Browder, Göhde and Kirk for non-expansive mappings.

3

Simple proofs of three fixed point theorems

Pasicki L.

Opuscula Mathematica

|

2002

|

Vol. 22

21-26

EN

The paper concerns fixed point theorems for multivalued mappings. They satisfy some continuity assumptions while the sets on which these mappings act, are suitably "regular". The theorems belong to the direction initialized by Kakutani and Fan, and the final result of these part of theory is the theorem of Himmelberg being an extension of the classical result of Hukuhara and Tichonoff to the case of multivalued mappings. All of them are the fundamental results in the fixed point theory. Himmelberg requires the locally convex space under consideration to be Hausdorff. The autor, in his earlier papers, has obtained several results which do not contain this restriction - "usual" mapping must become multivalued if one assumes them to have closed values and the topological space is not Hausdorff. An intrinsic problem is the complexness of the proofs. In the presented paper these proofs are possibly natural and they are based on the theorem of Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz concerning the nonempty intersection of subsets of a simplex. What is more, the reasonings are short and relatively clear. Theorem 5 is an extension of the classic result of Himmelberg, and Theorem 12 extends Theorem 5 to the case of the weakly upper semicontinuous mappings (wusc) and, on the other hand, it is an extension of the theorem Lasry - Robert concerning the upper hemicontinuous mapping (uhc). Theorem 9 in turn is an analog of Theorem 5 for convex structure called "weed".

PL

Praca dotyczy twierdzeń o punktach stałych dla odwzorowań wielowartościowych spełniających pewne założenia ciągłości, przy czym zbiory, na których te odwzorowania działają, są odpowiednio "regularne". Twierdzenia należą do nurtu wytyczonego przez Kakutaniego i Fana, a jego finalnym rezultatem jest twierdzenie Himmelberga uogólniające klasyczny wynik Hukuhary i Tichonova na przypadek odwzorowań wielowartościowych. Wszystkie te twierdzenia to są twierdzenia podstawowe w teorii punktów stałych. Wynik Himmelberga zawiera założenie, że przestrzeń lokalnie wypukła jest przestrzenią Hausdorffa. Autor, we wcześniejszych pracach, uzyskał szereg twierdzeń pozbawionych tego założenia - wielowartościowość staje się wtedy naturalną konsekwencją założenia domkniętości wartości odwzorowań. Istotnym problemem jest także złożoność dowodów. W prezentowanej pracy dowody są prowadzone w możliwie naturalny sposób i opierają się na twierdzeniu Knastera - Kuratowskiego - Mazurkiewicza o iloczynie niepustym. Ponadto przedstawione rozumowania cechuje zwięzłość i przejrzystość. Twierdzenie 5 jest uogólnieniem klasycznego twierdzenia Himmelberga, a Twierdzenie 12 rozszerza Twierdzenie 5 na przypadek odwzorowań słabo górnie półciągłych (wusc) i stanowi uogólnienie twierdzenia Lasry - Roberta dla odwzorowań górnie hemiciągłych (uhc). Z kolei Twierdzenie 9 jest analogonem Twierdzenia 5 dla struktury wypukłej zwanej "chwastem" (ang. weed).