Wyniki wyszukiwania - BazTech

Ograniczanie wyników

Znaleziono wyników: 1

Liczba wyników na stronie

Wyniki wyszukiwania

Sortuj według:

Ogranicz wyniki do:

Propagation and interaction of hyperbolic plane waves in nonlinear elastic solids

Domański Wł.

Prace Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN

2006

nr 4

3-169

Our aim is to create a mathematical theory of nonlinear plane waves which could have applications in many branches of nonlinear material science. Using asymptotic expansions we derive simplified models to complicated, dynamical, nonlinear phenomena (including wave interactions), described originally by large systems of nonlinear partial differential equations. We are particularly interested in applications to elastic solids. The models which we derive are weakly nonlinear. Weak nonlinearity means that we are interested in small amplitude solutions. This is more refined than linearized models. Asymptotic methods are very useful when we deal with complicated systems of PDEs. Weakly nonlinear geometric optic (WNGO) is suitable for nonlinear hyberbolic equations modelling wave type phenomena. The method works for small amplitude (weakly nonlinear) and high frequency waves. WNGO is based on the introduction of the additional "fast" independet variable and the use of a multiple scale analysis. It provides transport equations as the simplified asymptotic models for the evolution of wave profiles. The classical WNGO expansion results in the decoupled (in the nonresonant case) inviscid Burgers equations as the canonical asymptotic evolution equations for strictly hyberbolic and genuinely nonlinear waves. However in real models of continuum mechanics or physics it is quite common that the wave speeds may coincide ank often they are not monotonic in certain directions fo the assumptions of strict hyberbolicity and genuine nonlinearity are violated. This happent e.g. in nonlinear elastodynamics, the model which we are studying in the second part of this work. In order to take into consideration the loss of strict hyperbolicity and loss of genuine nonlinearity we modify theclassical WNGO expansion and derive new asymptotic evolution equations. The new reults include: 1. Derivation of a general structure of nonlinear plane waves' elastodynamics in terms of the strain energy function for an arbitrary direction of propagation, regardless of the anisotropy type. 2. Presentation of explicit nonlinear plane waves' elasktodynamics equations for a cubic crystal in the case - an arbitrary direction of propagation and a geometrically nonlinear but physically linear model. - an arbitrary direction of propagation in a cube face and both geometrically and physically nonlinear model, - three selected derections of pure mode propagation: (1,0,0), (1,1,0) and (1,1,1) with the inclusion of hihger order terms. 3. Derivation of the simlified evolution equations for nonlinear elastic waves in the isotropic and the cubic crystal cases. 4. Establishing a new model - the complex Burgers equation as the evolution equation describing interaction of a pair of transverse elastic waves propagatin along the three-fold symmetry axis in a cubic crystal. 5. Derivation of general analytical formulas for all interaction coefficients of nonlinear elastic plane waves propagating in any direction in an arbitrary hyperelastic medium. 6. Calculations of all interaction coefficients analytically for all considered models. 7. New formulations and interpretation of a null condition with the use of self-interaction coefficients. We focused in particular on cases where a local loss of strict hyperbolicity and/or genuine nonlinearity occurs. We showed that this happens for transverse or quasi-transverse elastic waves and implies the presence of a cubic nonlinearity in the evolution equations for decoupled (quasi)-transverse waves. However, we found cases when (quasi)-transverse waves do interact at a quadratically nonlinear level for certain directions in anisotropic media. We showed that this happens e.g. for a cubic crystal for a (1,1,1) direction. This fact is in contradiction to the isotropic case where it is known that shear elastic waves cannot interact at a quadratically nonlinear level see (75). We proved that the coupled systems with quadratic nonlinearity (complex Burgers equations) are new asymptotic models for interacting pairs of (quasi)-transverse waves propagating in the (1,1,1) direction in a cubic crystal. This is for the first time where complex Burgers equations appear in the context of nonlinear elasticity.

Praca poświęcona jest analizie propagacji i oddziaływania fal w nieliniowych materiałach sprężystych przy pomocy metody słabo nieliniowej optyki geometrycnej. Rozważono zarówno materiały izotropowe jak i kryształy o symetrii kubicznej. Celem pracy jest wyprowadzenie równań ewolucyjnych na amplitudy propagujących się fal oraz znalezienie analitycznych wzrów na współczynniki oddziaływania między falami. Praca składa się z dwóch części. W części pierwszej wprowadzono aparat matematyczny użyty w centralnej części drugiej. Rozdział pierwszy to wstęp, w którym przedstawione są motywacje, cele pracy, użyte metody i główne rezultaty. Rozdział drugi to przegląd zagadnień dotyczących hiperbolicznych praw zachowania. Nowe rezultaty zawarte są głównie w paragrafie 2.1.1. W rozdziale trzecim zaprezentowana jest metoda nieliniowej optyki geometrycznej. Nowe wyniki dotyczą lokalnej struktury układów 2 x 2 dla krotnych pierwiastków oraz modyfikacji asymptotyki w przypadku lokalnej utraty własności istotnej nieliniowości. W ramach rozdziału czwartego dokonano przeglądu nieliniowych równań cząstkowych, które mogą służyć jako kanoniczne asymptotyczne modele dla skomplikowanych dynamicznych zagadnień nieliniowych. Oprócz modeli hiperbolicznych zaprezentowano również modele dyssypatywne i dyspersyjne, w tym z nieliniową dyspersją. Część druga stanowi główną część rozprawy i zawiera zastosowania metod zaprezentowanych w części pierwszej do materiałów sprężystych. W rozdziale piątym rozważone są równania nieliniowej elastodynamiki (przy założeniu zarówno geometrycznej, jak i fizycznej nieliniowości). W tym rozdziale godny uwagi jest zwłaszcza paragraf 5.5, gdzie przedstawiono ogólną ideę wyprowadzenia równań nieliniowej hipersprężystości fal płaskich. Pokazano także oryginalny temat sprowadzając zagadnienie na wartości i wektory własne do badania macierzy 3 x 3. Warto podkreślić, iż cała analiza przeprowadzona jest dla dowolnego ośrodka i dowolnego kierunku propagacji płaskiej fali. W rozdziale szóstym omówiono związki konstytutywne dla nieliniowego ośrodka izotropowego. Rozdział siódmy zawiera dyskusję różnych postaci tzw. "null condition" - warunku zerowania. Warunek ten zapewnia gładkość rozwiązań nieliniowych dynamicznych równań sprężystości w ośrodku izotropowym przy małych danych początkowych, a co za tym idzie zapobiega powstawaniu fal uderzeniowych oraz udaremnia eksplozję rozwiązań. Oryginalnym wkładem autora jest zaproponowanie kilku alternatywnych postaci tego warunku bez użycia niezmienników oraz interpretacja warunku zerowania poprzez współczynniki samooddziaływania fal. W rozdziale ósmym wyprowadzono ogólne wzory na współczynniki oddziaływania falowego, abstrahując od rodzaju anizotropii materiału i kierunku propagacji fali płaskiej. Podano w ten sposób przepis na wyznaczanie współczynników w zależności od pochodnych funkcji energii. Korzystając z tego przepisu wyznaczono wszystkie współczynniki dla materiałów izotropowych podkreślając różnice jakie wprowadza fizyczna nieliniowość. W rozdziale dziewiątym wyprowadzono asymptotyczne równania ewolucyjne dla materiału izotropowego uwypuklając różnice między otrzymanymi nieliniowymi równaniami dla fal podłużnych i fal poprzecznych. W rozdziale 10, 11 i 12 znalazły się zasktosowania dla ośrodka anizotropowego - rezultaty te stanowią oryginalny wkład autora w dziedzinie propagacji i oddziaływania fal płaskich w krysztale o symetrii kubicznej. Rozważono trzy wybrane kierunki propagacji i wyprowadzono dla nich równania fal płaskich uwzględniając efekty wyższego rzędu, uzyskano równania asymptotyczne dla tych fal i obliczono analitycznie wszystkie współczynniki oddziaływania międzyfalowego, wykazując, że zależą one od stałych materiałowych. Dodatkowo uzyskano także równania fal płaskich dla dowolnego kierunku propagacji przy założeniu fizycznej liniowości oraz w ogólnym przypadku dla dowolnego kierunku leżącego w płaszczyźnie ściany bocznej kryształu. Rezultatem zasługującym na szczególne podkreślenie jest udowodnienie, że fale poprzeczne mogą ze sobą oddziaływać na poziomie kwadratowej nieliniowości w przeciwieństwie do tego, co zostało pokazane dla ośrodka izotropowego (75). W rozprawie wykazano, iż na to miejsce dla fal poprzecznych propagujących się w krysztale o symetrii kubicznej wzdłuż osi trzykrotnej symetrii (1,1,1). Wyprowadzono nowe równania ewolucyjne opisujące oddziaływanie tych fal (zespolone równania Burgersa).