Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

The Effect of Wetting on The Course of The Drum Granulation

Błaszczyk M., Heim A., Olejnik P.

Chemical and Process Engineering

|

2017

|

Vol. 38, nr 2

331--342

EN

This paper presents the results of experimental drum granulation of silica flour with the use of wetting liquids with different values of surface tension. Additionally, different liquid jet breakup and different residual moisture of the bed were applied in the tests. The process was conducted periodically in two stages: wetting and proper granulation, during which no liquid was supplied to the bed. The condition of the granulated material after the period of wetting (particle size distribution and moisture of separate fractions) and a change in the particle size distribution during the further conduct of the process (granulation kinetics) were determined.

2

Chameleon - reconfigurable wheeled vehicle

Brol S., Szegda A., Czok R., Mróz P., Koj K., Świt M., Olejnik P.

Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów / Politechnika Warszawska

|

2015

|

z. 2/102

5--12

EN

At the Opole University of Technology the concept was developed and a prototype was built of a reconfigurable vehicle, which is called Chameleon. It is the result of a project, which goal is to design and construct a small-dimension vehicle with low weight (up to 50 kg), which design would facilitate implementation of selected transport tasks, and its design allow for change or replacement of selected components, leading to changes in driveability, traction and durability. It was expected to construct a vehicle by means of which ideas and design solutions can be tested that is dedicated for the greatest variety of small-size vehicles. The Chameleon vehicle has been tested both while driving on a levelled surface and off-road (on uneven grassy surface). Both, the electric and pneumatic drives were tested. Also, the interaction of these two engines in the hybrid powertrain was investigated.

PL

W Politechnice Opolskiej opracowano koncepcję i zbudowano prototyp pojazdu rekonfigurowalnego o nazwie Kameleon. Jest to efekt projektu mającego na celu zaprojektowanie i wykonanie małogabarytowego pojazdu o małej masie (do 50 kg), którego konstrukcja umożliwiałaby realizację wybranych zadań transportowych, a konstrukcja pozwalała na szybką zmianę lub wymianę elementów składowych prowadząca do zmiany właściwości jezdnych, trakcyjnych i wytrzymałościowych. Spodziewano się wytworzyć pojazd za pomocą którego mogą być testowane pomysły i rozwiązania konstrukcyjne dla jak największej gamy małogabarytowych pojazdów. Pojazd Kameleon został przetestowany zarówno podczas jazdy po równej nawierzchni oraz podczas jazdy w terenie (nierówna nawierzchnia trawiasta). Testowano zarówno napęd elektryczny jak i napęd pneumatyczny oraz współdziałanie tych dwóch jednostek napędowych w układzie napędowym hybrydowym.

3

An Overview of ATmega AVR Microcontrollers Used in Scientific Research and Industrial Applications

Kunikowski W., Czerwiński E., Olejnik P., Awrejcewicz J.

Pomiary Automatyka Robotyka

|

2015

|

R. 19, nr 1

15--19

EN

Nowadays, microcontrollers are commonly used in many fields of industrial applications previously dominated by other devices. Their strengths such as: processing power, low cost, and small sizes enable them to become substitutes for industrial PLC controllers, analog electronic circuits, and many more. In first part of this article an overview of the Atmel AVR microprocessor family can be found, alongside with many scientific and industrial applications. Second part of this article contains a detailed description of two implementations of ATmega644PA microprocessor. First one is a controller with PID regulation that supports a DC motor driver. Second one is a differential equation solver with 4-th order Runge-Kutta method implemented. It is used for solving a torsion pendulum dynamics. Finally, some general conclusions regarding the two presented implementations are made.

PL

W dzisiejszych czasach mikrokontrolery są często używane w miejscach poprzednio zdominowanych przez inne układy logiczne. Argumenty przemawiające za stosowaniem tych układów, takie jak: moc obliczeniowa, niski koszt i małe rozmiary, pozwalają na zastępowanie nimi przemysłowych sterowników PLC i innych elektronicznych układów analogowych. W pierwszej części artykułu przedstawiono przegląd dostępnych mikroprocesorów Atmel AVR, uwzględniając przykłady naukowych i przemysłowych zastosowań. Druga część zawiera szczegółowy opis dwóch implementacji procesora ATmega644PA, przeprowadzonych przez autorów pracy. Pierwsza przedstawia regulator PID silnika prądu stałego obciążonego zmiennym momentem. Kolejna przedstawia implementację metody Runge-Kutty czwartego rzędu, stosowanej często do rozwiązywania równań różniczkowych. Algorytm został zastosowany do rozwiązania zadania dynamiki ruchu obrotowego wahadła torsyjnego na mikrokontrolerze.

4

Modeling and parameter identification of vibrations of a double torsion pendulum with friction

Czerwiński E., Olejnik P., Awrejcewicz J.

Acta Mechanica et Automatica

|

2015

|

Vol. 9, no. 4

204--212

EN

The purpose of this paper is to investigate a double torsion pendulum with planar frictional contact. The single torsion pendulum with one-degree-of-freedom is an angular equivalent of the linear harmonic oscillator. The second degree of freedom has been obtained by adding a free body to the inverted single torsion pendulum. The free body’s angular displacement is caused by frictional forces appearing in the interface (contact zone) between the free body and the pendulum column’s head kinematically excited at its base by a mechanism with torsion spiral spring. An experimental station has been set up and run to find most unknown parameters of the pendulum from the time series of state variables taken as inputs to the Nelder-Mead method of identification. The obtained results proved significant usability of the identification method in the case of numerical simulation of the pendulum’s dynamical model. It has not been satisfactorily proved in the case of time characteristics coming from a real system that exhibits also some unrecognized physical effects.

5

Metody numeryczne rozwiązywania, analizy i kontroli nieciągłych układów dynamicznych

Olejnik P.

Zeszyty Naukowe. Rozprawy Naukowe / Politechnika Łódzka

|

2013

|

Z. 444

1--117

EN

This monograph describes some mathematical methods and numerical procedures for finding solutions to the problems devoted to modeling and control of discontinuous dynamical systems. The desired accuracy of the solution of differential equations modeling the dynamic state of a system with friction, ambiguity of parameters or a time delay requires to use some dedicated methods. Experiments aimed at improving the performance of numerical methods with respect to solution and analysis of discontinuous systems reveal the existing range of difficulty, extracting interesting mathematical estimations and mathematical derivations described in this monograph. This allows for a better understanding and more accurate approximation of the physical processes taking place in the real oscillating systems. Analyzing the basic mechanism of the appearance of discontinuities, that is based on a solution crossing the boundary of regions defined by various differential equations in a state-space, the time of stick-slip transition such as in systems with dry friction could be determined imprecisely due to the omission of specific points in the numerical procedure. It causes escalation of inaccuracies in numerical modeling of important physical features and behavior of the corresponding real object. A method of approximation of differential equations by differential inclusions and a modified Hénon method developed independently in this monograph increase the accuracy of numerical computations in simulation of discontinuous systems determined by dynamics conditioned by existence of state-space boundaries. Modern design methods and optimization techniques coexist with numerical modeling and computer simulations. Using such tools, a relevant information about critical values, dynamics of the state changes and expected wear of the designed or investigated real object is obtained. Based on the mathematical description of human’s chest represented by a simplified mechanical model, the influence of time delays on the amplitude of response of a few degrees-of-freedom dynamical system subjected to an elastic impact has been proved. An extended representation of linear differential equations with time delays, describing five interconnected subsystems with time-varying parameters has been proposed and then successfully used in numerical simulation. In the case of modeling of parameter changes of N-linked subsystems there has been solved a problem of discontinuities’ modeling expressed using the switching characteristics. Referring to the case of discontinuities caused by dry friction, there is even shown that the step change of parameters determined by rheological properties takes the qualitatively different form of disturbance (next to the external excitation), which directly affects the internal system state. Modeling of state discontinuity of parameters of the selected dynamical system has been based on a matrix notation defining a set of gain matrices covering all the time-dependent parameters. In the scope of dynamical analysis presented in this monograph, the numerical estimate of the nature of time trajectories by means of Lyapunov exponents is described. Moreover, bifurcation theory that is the strongly developing branch of dynamics of a wide range of analytical derivations and numerical optimization schemes has been used. This part of the work presents some analytical and numerical methods allowing to know bifurcation schemes, and even to determine discrete bifurcation diagrams of the separation boundary and numerical solutions of discontinuous dynamical system with dry friction. The Filippov’s theory applied in the analysis of the considered system with a modified Henon’s method of numerical integration have allowed to perform a numerical estimation of bifurcations of the stick-slip solutions, that are observed in motion of a piecewise-continuous dynamical system with one degree-of-freedom and harmonic excitation. For the purpose of a numerical solution, an oscillating boundary of discontinuity has been described by a function of velocity of the moving base and one has made it dependent on the form of an external forcing. In a part of the monograph devoted to the control of a nonlinear dynamical system, there are presented methods for the numerical modeling and speed control of a DC motor. The analyzed direct current engine was used as an exemplary object subjected to the forces of resistance occurring in the sliding bearings of its rotor and coming from the following phenomena: Coulomb friction, the friction associated with the exponential curve of kinetic friction characteristics appearing due to the Stribeck effect, viscous friction and the friction dependent on the angular position of the rotor. The problem of controlling the plant has been defined, namely, to design a compensation technique allowing to change the engine’s rotational velocity along with the desired time trajectory. In the next step, the problem was solved by introducing a sliding surface function used in modern control theory of discontinuous systems. Performance of the proposed, two-stage follow-up control measured by precision of mapping of the desired function of changes of rotational velocity has been tested on the basis of exemplary parameters of a selected DC motor. There have been shown some time trajectories of the angular velocity, that follow the desired trajectory confirming robustness of the follow-up control realized in the numerical procedure. Active control strategies are applied to optimize the mechanical or biomechanical systems of many degrees-of-freedom. With this in mind, a methodology based on the use of one control force decreasing the relative deformation of a mechanical model of a human thorax caused by an elastic impact has been developed and described. Visible reduction in the relative displacement inside of the thorax was obtained by solving the problem of linear-quadratic optimization of a performance index. In addition, control parameters influencing the characteristics of the optimal response of the test plant have been adjusted. Based on a proportional gain vector’s estimation, a technique of computation of the objective function in the controlled discontinuous system have been proposed. The monograph has been supported with the numerical procedures verifying carried out numerical experiments of which results are drawn in the time and parametric histories.

PL

Praca przedstawia opis metod matematycznych i procedur numerycznych służących do rozwiązywania zagadnień modelowania i sterowania nieciągłych układów dynamicznych. Uzyskanie pożądanej dokładności rozwiązania równań różniczkowych modelujących stan układu dynamicznego z tarciem, niejednoznacznością parametrów lub opóźnieniem czasowym wymaga stosowania metod dedykowanych. Rozwiązywanie i analiza układów nieciągłych związana z poprawą wydajności metod numerycznych odkrywa istniejący zakres trudności, wyodrębniając interesujące oszacowania i wyprowadzenia matematyczne opisane w tej monografii. Pozwala to na lepsze zrozumienie i dokładniejsze przybliżenie procesów fizycznych zachodzących w rzeczywistych układach drgających. Podstawowy mechanizm pojawiania się nieciągłości jest związany z przejściem rozwiązania przez granicę rozdziału obszarów określonych w przestrzeni stanu przez różniące się równania różniczkowe. Chwila czasowa przejścia, np. od utwierdzenia do poślizgu w układach z tarciem suchym może być wyznaczona nieprecyzyjnie. Jest to wynikiem pominięcia w procedurze numerycznej punktów szczególnych, a w modelowaniu numerycznym skutkuje narastaniem niedokładności odwzorowania ważnych cech fizycznych obiektu rzeczywistego. Metoda aproksymacji równań różniczkowych przez inkluzje różniczkowe i zmodyfikowana metoda Hénona opracowana w tej monografii zwiększają dokładność obliczeń numerycznych podczas symulacji układów nieciągłych o dynamice uwarunkowanej występowaniem granic rozdziału w przestrzeni stanu. Nowoczesne metody projektowania i techniki optymalizacyjne współistnieją z modelowaniem numerycznym i symulacjami komputerowymi. Stosując takie narzędzia, uzyskuje się istotne informacje dotyczące, np. wartości krytycznych, dynamiki zmian stanu, spodziewanego zużycia projektowanego lub badanego obiektu rzeczywistego. Na podstawie opisu matematycznego układu klatki piersiowej człowieka reprezentowanej przez uproszczony model mechaniczny, pokazano wpływ opóźnień czasowych na odpowiedź obiektu wielowymiarowego poddanego uderzeniu sprężystemu. Rozwiązanie numeryczne równań różniczkowych z opóźnieniem przedstawionym w rozszerzonej reprezentacji układu liniowego pięciu połączonych podukładów o parametrach zmiennych w czasie wpływa na dokładność symulacji numerycznych. W przypadku modelowania zmian parametrów N-połączonych podukładów, rozwiązano problem modelowania nieciągłości wyrażonych za pomocą charakterystyk przełączających. Odnosząc się do przypadku nieciągłości wywołanych tarciem suchym, pokazano, że skokowa zmiana parametrów determinowana własnościami reologicznymi jest jakościowo inną, obok wymuszeń zewnętrznych, formą zaburzenia wpływającego bezpośrednio na wewnętrzny stan układu. Modelowanie stanowej nieciągłości parametrów wybranego układu dynamicznego oparto na zapisie macierzowym, definiując zbiór macierzy wzmocnień wyczerpujących wszystkie wartości parametrów zależnych od czasu. W zakresie analizy dynamicznej przedstawionej w tej monografii opisano liczbowe oszacowanie charakteru trajektorii czasowych za pomocą wykładników Lapunowa. Wykorzystano również teorię bifurkacji, będącą silnie rozwijaną gałęzią dynamiki o szerokim spektrum rozważań analitycznych i optymalizacyjnych dotyczących schematów numerycznych. W tej części pracy przedstawiono metody analityczne i numeryczne umożliwiające poznanie schematów bifurkacji oraz wyznaczenie dyskretnych diagramów bifurkacji granicy rozdziału w przestrzeni stanu i rozwiązań numerycznych nieciągłego układu dynamicznego z tarciem suchym. Teoria Filipowa stosowana do analizy układów tego typu wsparta zmodyfikowaną metodą całkowania numerycznego Henona pozwoliła na wykonanie numerycznej estymacji bifurkacji rozwiązań utwierdzenie-poślizg, jakie obserwuje się w kawałkami-ciągłym układzie dynamicznym o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym. Na potrzeby rozwiązania numerycznego wprowadzono oscylującą granicę nieciągłości, opisano ją funkcją zależną od prędkości podstawy i uzależniono od postaci wymuszenia zewnętrznego. W części monografii dotyczącej sterowania nieliniowych układów dynamicznych przedstawiono metody numerycznego modelowania i regulacji prędkości obrotowej silnika prądu stałego. Pewien model silnika posłużył jako przykład obiektu poddanego działaniu sił oporu występujących w łożyskowaniu ślizgowym wirnika i pochodzących od sił tarcia Coulomba, tarcia związanego z krzywą eksponencjalną charakterystyki tarcia kinetycznego pojawiającą się na skutek efektu Stribecka, tarcia wiskotycznego i tarcia zależnego od położenia kątowego wirnika. Poddano rozwiązaniu zadanie sterowania tym obiektem, polegające na zaprojektowaniu kompensatora umożliwiającego zmianę prędkości obrotowej wzdłuż zadanej trajektorii czasowej. Schematy aktywnej kontroli można adoptować do optymalizacji układów mechanicznych lub biomechanicznych o wielu stopniach swobody. Biorąc to pod uwagę, zaprojektowano i opisano metodykę opartą na zastosowaniu siły sterującej zmniejszającej względną deformację modelu mechanicznego klatki piersiowej człowieka wywołaną uderzeniem sprężystym. Widoczną redukcję przemieszczeń względnych wewnątrz klatki piersiowej otrzymano, rozwiązując zagadnienie optymalizacji liniowo-kwadratowej wskaźnika wydajności. Praca została wzbogacona o kod procedur numerycznych, napisanych w języku programowania Python, weryfikujących prowadzone eksperymenty numeryczne, których wyniki przedstawiono na wykresach czasowych i parametrycznych.

6

Solution of the Kalman filtering problem in control and modeling of a double inverted pendulum with rolling friction

Olejnik P., Awrejcewicz J., Niełaczny M.

Pomiary Automatyka Robotyka

|

2013

|

R. 17, nr 1

63-70

EN

The problem of control and dynamical modeling of a unicycle-cyclist system treated as a double inverted pendulum with rolling friction and vibrating in the plane that is perpendicular to the direction of movement is studied. The object of analysis consists of two basic parts: the wheel and the double pendulum. The equations of motion have been derived using the Lagrange equation of the second kind. The kinematic excitation has been applied to the cyclist. The aim of control is to maintain the unicyclecyclist system in an unstable equilibrium around given angular position. Control moment of force has been applied to the wheel in a numerical procedure performed in Simulink. Kalman filtering problem has been solved basing on the feedback control system and functions included in Control System Toolbox of MATLAB. The proposed approach could be extended in future to solve some dynamical problem of transverse vibrations.

PL

Praca podejmuje rozwiązanie zagadnienia kontroli i modelowania dynamicznego układu monocykl-rowerzysta rozpatrzonego jako podwójne wahadło odwrócone z tarciem tocznym drgające w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ruchu. Analizowany obiekt składa się z dwóch podstawowych części, tzn. koła i podwójnego wahadła. Równania ruchu układu mechanicznego, w którym wymuszenie kinematyczne przyłożono do masy reprezentującej ciało rowerzysty wyprowadzono stosując równania Lagrange’a drugiego rodzaju. Zadaniem kontroli było utrzymanie modelu układu monocykl-rowerzysta w niestabilnym położeniu równowagi w pobliżu zadanej wartości kąta obrotu. W procedurze numerycznej zrealizowanej w Simulinku moment siły kontroli przyłożono do koła napędzającego układ modelowy. Zagadnienie doboru filtru Kalmana rozwiązano w układzie sterowania ze sprzężeniem zwrotnym przy użyciu wbudowanych funkcji numerycznych wchodzących w skład biblioteki Control System Toolbox pakietu MATLAB. Zaproponowane podejście można rozszerzyć w przyszłości w celu rozwiązania podobnego problemu dynamicznego uwzględniającego drgania poprzeczne.

7

Magnetic levitation of a light cylindrical-shape mass with control of damping of the transition-state vibrations

Olejnik P., Awrejcewicz J.

Vibrations in Physical Systems

|

2010

|

Vol. 24

301--306

EN

Development in the direction of future applications of fast and accurate position control systems used in optoelectronics, computer hardware, precision machining, robotics and automobile industry stimulates high engagement in creation of non-conventional implementations [1, 2]. The work presents a numerical analysis devoted to that domain basing on a non-contact (frictionless) fixing of some cylindrical-shape’s mass in an alternating magnetic field. These considerations precede identification of electromagnet parameter and created by it magnetic field in the real experimental realisation of the problem shown on a photo in Fig 1. The mass levitates in field generated by the electromagnet’s system sourced by voltage of 12V. Next to the numerical algorithm of voltage feedback there has been even used a modified PID control [2] of transition state’s oscillations of the levitated light mass that are recorded until it reaches the stable equilibrium position. Results of the experiments have been presented on time-history charts of h(t) displacement measured between themselves faced surfaces of the electromagnet’s core and surface of the levitated mass.

PL

Rozwój w kierunku przyszłych aplikacji szybkich i dokładnych układów pozycjonujących stosowanych w optoelektronice, sprzęcie komputerowym, obróbce precyzyjnej, robotyce czy też przemyśle samochodowym wzmaga wysokie zaangażowanie w tworzenie implementacji niekonwencjonalnych. Praca przedstawia analizę numeryczną dotyczącą tego obszaru zastosowań bazującą na bezkontaktowym podwieszeniu pewnej przewodzącej masy o kształcie cylindrycznym w zmiennym polu magnetycznym. Rozważania te poprzedzają identyfikację parametrów elektromagnesu oraz wytworzonego przez niego pola elektromagnetycznego na rzeczywistym stanowisku doświadczalnym pokazanym na fotografii na rysunku 1. Masa lewituje w polu magnetycznym generowanym przez układ elektromagnesu zasilany napięciem 12V. Algorytm numeryczny obok sprzężenia napięciowego zawiera także zmodyfikowaną kontrolę typu PID oscylacji w stanie przejściowym lewitującej masy o mały ciężarze poprzedzającym osiągnięcie przez nią stabilnego położenia równowagi. Wyniki tych doświadczeń pokazano na wykresach czasowych przemieszczenia h(t) zmierzonego pomiędzy skierowanymi do siebie powierzchnią rdzenia elektromagnesu i powierzchnią lewitującej masy.

8

Reduction of deformation in a spring-mass realisation of human chest occurred after action of impact

Olejnik P., Awrejcewicz J.

Journal of KONES

|

2010

|

Vol. 17, No. 1

327-335

EN

This paper takes into consideration active control of a mechanical construction modelling a human chest subject to impulsive elastic loading coming from a fast moving light mass. The effect of impact causes some essential deformation in the form of distance decreasing between the front and back side of the chest resulting from compression of internal organs. One can attenuate such a destructive proces s by introduction of fast-response active control elements attached to the front or back side of the chest i.e., from the direction of impacting mass or between back and support of the body. The problem of one- or two-dimensional control is not easy to perform because of the consideration of the very short time of system's reaction. At this stage there has been used an effective numerical procedure for both solution and LQR control method application in a dynamical system of three separated elastically (rheologically as well) linked masses. Direction-dependent coefficients of the rheological link (extending our system to the seventh state-space dimension) govern different properties of internal organs during their stretching and compression. It puts into the control scheme's matrices time-dependent coefficients of damping influencing the optimal linear quadratic regulator used in control.

9

Occurrence of stick-slip phenomenon

Awrejcewicz J., Olejnik P.

Journal of Theoretical and Applied Mechanics

|

2007

|

Vol. 45 nr 1

33-40

EN

A self-excited system wit h unilateral friction contact modelled by a two degrees-of-freedom mechanical system, where the normaI farce varies during displacement of a block has been studied. The constructed real laboratory rig approximates the investigated system, and it includes feedback reinforcement of the friction force acting on the vibrated block. Some methods of data acquisition and data handling procedures are proposed for experimentally observed results and data collection. A novel static friction force model for both positive and negative velocities of the base is proposed.

PL

Analizie poddany jest układ samowzbudny z jednostronnym kontaktem ciernym, który zamodelowano jako układ mechaniczny o dwóch stopniach z tarciem oraz ze zmienną siłą nacisku wywieraną na podstawę podczas przemieszczenia się badanego ciała sztywnego. Skonstruowane stanowisko doświadczalne przybliża w pewnym stopniu rozważany układ i zawiera sprzężenie ruchu drgającego ciała z siłą normalną pochodzącą od nacisku. Zgodnie z obserwacjami eksperymentalnymi i dla zmierzonych sygnałów podano metody akwizycji danych oraz procedury ich obsługi. Zaproponowano nowy, statyczny model siły tarcia dla odpowiednich dodatnich i ujemnych prędkości przemieszczania się podstawy.

10

Active control of two degrees-of-freedom building-ground system

Awrejcewicz J., Olejnik P.

Archives of Control Sciences

|

2007

|

Vol. 17, no. 4

393-408

EN

The presented idea of active control of buildings is valid for the general concept of stabilization of some constructions subjected to an excitation coming, for instance, from earthquakes. The problem is analyzed in a two case studies describing not excited and externally loaded two degrees-of-freedom dynamical system. 2-DOF linear system is used to model the building-ground interactions. Algorithm that actively controls the system has been implemented and tested as well. The task finally reduces the investigations conducted in the work to estimation of the control force which could guarantee the sufficient minimization of the cost function proposed. On the basis of both analytical derivations and numerical analysis performed a few time histories of convergence of control force, components of the matrix of gain and accelerations of system masses have been illustrated and shortly described.

11

Experimental Modelling and Simulation of a Duo-Servo Brake Mechanism

Awrejcewicz J., Olejnik P.

Vibrations in Physical Systems

|

2004

|

Vol. 21

75--78

12

Calculating Lyapunov exponents from an interpolated time series

Awrejcewicz J., Olejnik P.

Vibrations in Physical Systems

|

2002

|

Vol. 20

94--95

13

Modyfikacja trajektorii czasowej podczas obliczania wykładników Lapunowa

Awrejcewicz J., Olejnik P.

Prace Naukowe Instytutu Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Politechniki Wrocławskiej. Konferencje

|

2002

|

Vol. 85, nr 25

35-40

PL

Interpolację Lagrange'a zastosowano w celu zmniejszenia liczby punktów trajektorii czasowej wykorzystywanej do oszacowania numerycznego wykładników Lapunowa. W pracy przeprowadzono analizę dynamicznego układu samowzbudnego o dwóch stopniach swobody z tarciem. Interpolacji dokonano na każdej trajektorii czasowej we współrzędnych fazowych układu (rozwiązanego metodą Henona), a następnie obliczono wykładniki Lapunowa dla kilku przykładowych ruchów i porównano wyniki.

EN

The Lagrange interpolation is applied to decrease number of points of a time history. Two-degrees-of-freedom dynamical self-excited system with friction is considered. The Lagrange interpolation has been performed for each time history of phase coordinates of the system and solved by Hénon's method. Some examples of behaviour of the system have been reported by calculation of the Lyapunov exponents from time series.

14

Numerical Analysis of Self-Excited by Friction Chaotic Oscilations in Two-Degrees-of-Freedom System Using Exact Hénon Method

Awrejcewicz J., Olejnik P.

Machine Dynamics Problems

|

2002

|

Vol. 26, No. 4

9-20

EN

In this paper the algorithm for numerical integration of the ordinary differential equations including discontinuous term describing friction is proposed. The introduced algorithm is based on the Hénon method, which is extremely useful to locate and track the stick to slip and slip to stick transitions. This numerical technique further referred as the "exact" one is used to investigate and to estimate a validity of various approximations to frictional behaviour widely used in many references (the Stribeck-curve, Coulomb type and experimental friction models). A simple two-degrees-of-freedom mechanical system has been applied for estimation of validity of the different friction models as well as to take a proper value of the control parameter E used for smooth friction approximation by arctan function. The relative errors have been calculated as well as the differences in the phase spaces have been tracked. In addition, some interesting examples of stick-slip regular and chaotic dynamics exhibited by the investigated two-degrees-of-freedom system have been illustrated and discussed.

15

Dynamika regularna i chaotyczna w układzie o dwóch stopniach swobody

Awrejcewicz J., Olejnik P.

Vibrations in Physical Systems

|

2000

|

Vol. 19

51--52