Wyniki wyszukiwania - BazTech

1

Duration problem: basic concept and some extensions

Porosiński Z., Skarupski M., Szajowski K.

Mathematica Applicanda

|

2016

|

Vol. 44, No. 1

87--112

EN

We consider a sequence of independent random variables with the known distribution observed sequentially. The observation n is assumed to be a value of one order statistics such as s : n-th, where 1 ≤ s ≤ n. It the instances following the nth observation it may remain of the s : m or it will be the value of the order statistics r : m (of m > n observations). Changing the rank of the observation, along with expanding a set of observations there is a random phenomenon that is difficult to predict. From practical reasons it is of great interest. Among others, we pose the question of the moment in which the observation appears and whose rank will not change significantly until the end of sampling of a certain size. We also attempt to answer which observation should be kept to have the “good quality observation” as long as possible. This last question was analysed by Ferguson, Hardwick and Tamaki (1991) in the abstract form which they called the problem of duration. This article gives a systematical presentation of the known duration models and a new modifications. We collect results from different papers on the duration of the extremal observation in the no-information (denoted as rank based) case and the full-information case. In the case of non-extremal observation duration models the most appealing are various settings related to the two extremal order statistics. In the no-information case it will be the maximizing duration of owning the relatively best or the second best object. The idea was formulated and the problem was solved by Szajowski and Tamaki (2006). The full-information duration problem with special requirement was presented by Kurushima and Ano (2010).

PL

Rozważmy ciąg niezależnych zmiennych losowych o znanym rozkładzie. N-ta obserwacja jest wartością pewnej statystyki pozycyjnej, powiedzmy s : n, gdzie 1 ≤ s ≤ n. W chwilach następujących po n-tej obserwacji może ona pozostać s : m lub zmieni swoją pozycję tak, iż stanie się statystyką pozycyjną r : m (gdzie m > n jest liczbą obserwacji). Zmiana rangi naszej obserwacji pośród wciąż powiększającego się zbioru wszystkich obserwacji jest zjawiskiem, które nie jest łatwo przewidzieć. Z pewnych względów jest to interesujący problem. Stawiamy zatem pytanie o moment pojawienia się obserwacji, której ranga się nie zmieni znacząco aż do czasu, gdy skończymy obserwować zjawisko. Można również postawić problem w następujący sposób: ”Który obserwowalny obiekt powinniśmy zatrzymać tak, aby posiadać obiekt dobrej jakości najdłużej jak to tylko możliwe?” Pytanie to było rozważane przez Fergusona, Hardwicka and Tamaki’ego (1991) w problemie, który został nazwany ‘problem of duration’, a który został tu nazwamy problemem okresu trwania. Niniejsza praca ma na celu uporządkowanie znanych do tej pory modeli problemu okresu trwania oraz prezentację kilku nowych rozszerzeń. Zebrane zostały wyniki z różnych prac na temat okresu trwania dla ekstremalnej obserwacji w przypadku bezinformacyjnym (nazywanym również modelem rangowym, no-information case) oraz w przypadku pełno-informacyjnym (full-information case). W przypadkach obserwacji nieekstremalnych najczęściej pojawiającym się modelem jest model dla pierwszej i/lub drugiej statystyki pozycyjnej. Model bez-informacyjny mówi o maksymalizacji okresu trwania dla pierwszego lub drugiego najlepszego obiektu. Idea ta została sformułowana przez Szajowskiego i Tamaki’ego (2006). Przypadek pełno-informacyjny z pewnymi ograniczeniami został zaprezentowany przez Kurushima i Ano(2010).

2

Recenzja książki pt. Statistics for imaging, optics, and photonics autorstwa: Piotra Bajorskiego

Szajowski K.

Mathematica Applicanda

|

2015

|

Vol. 43, No. 2

317--321

EN

The book under review presents necessary analytical techniques in the context of real examples from various areas within the field, including remote sensing, color science, printing, and astronomy. Except the textbook the author provided a web-page related material containing the data sets and various other material which makes the book more useful as the course monograph.

3

An apartment problem

Szajowski K.

Mathematica Applicanda

|

2014

|

Vol. 42, No. 2

193--206

EN

In the 60 - ies of the last century, several optimization problems referring to the sequential methods were investigated. These tasks may include the Robbins’ problem of optimal stopping, the secretary problem (see the discussion paper by Ferguson [18]), the parking problem or the job search problem. Subtle details of the wording in these issues cause that each of these terms include family of problems that differ significantly in detail. These issues focused attention of a large group of mathematicians. One of the related topic has been the subject of Professor Jerzy Zabczyk attention. Based on the discussions with Professor Richard Cowan1 the model of choosing the best facility available from a random number of offers was established. In contemporary classification of the best choice problems it is the noinformation, continuous time, secretary problem with the Poisson stream of options and the finite horizon.

PL

W latach 60 -tych poprzedniego wieku analizowano wielu matematyków skupiało swoja uwagę na zadaniach optymalizacyjnych nawiązujących do sekwencyjnego przeszukiwania czy obserwacji. Do tych zadań można zaliczyć problem optymalnego zatrzymania Robbinsa, problem sekretarki, (dość obszerną analizę tego zagadnienia przeprowadził Ferguson [18]), zadanie optymalnego parkowania czy też problem poszukiwania pracy. Subtelne szczegóły tych zagadnień powodują, iż każde zagadnienie z wymienionych ma liczne wersje różniące się szczegółami, które powodują, iż mamy do czynienia całą rodziną modeli. Jedno z zagadnień zainteresowało profesora Jerzy Zabczyk. W wyniku dyskusji z profesorem Richardem Cowanem (w Warszawie ) stworzyli model poszukiwania najlepszego obiektu, gdy dostępnych obiektów jest losowa liczba. Wg współczesnej klasyfikacji problemów wyboru najlepszego obiektu jest to przypadek poszukiwania najlepszego obiektu przy braku informacji, z czasem ciągłym, gdy strumień zgłoszeń jest poissonowski a horyzont jest skończony, ustalony.

4

On a random number of disorders

Szajowski K.

Probability and Mathematical Statistics

|

2011

|

Vol. 31, Fasc. 1

17--45

EN

We register a random sequence which has three segments being the homogeneous Markov processes. Each segment has its own onestep transition probability law and the length of the segment is unknown and random. It means that at two random moments θ1, θ2, where 0 ≤ θ1 ≤ θ2, the source of observation is changed. In effect, the number of homogeneous segments is random. The transition probabilities of each process are known and the a priori distribution of the disorder moments is given. The former research on such a problem has been devoted to various questions concerning the distribution changes. The random number of distributional segments creates new problems in solutions with relation to analysis of the model with deterministic number of segments. Two cases are presented in detail. In the first one the objective is to stop on or between the disorder moments while in the second one our objective is to find the strategy which immediately detects the distribution changes. Both problems are reformulated to optimal stopping of the observed sequences. The detailed analysis of the problem is presented to show the form of optimal decision function.

5

Discrete-time Markovian jump linear systems

Szajowski K., Koning W.

Control and Cybernetics

|

1998

|

Vol. 27, no 1

63-80

EN

The paper considers a problem of optimal control of a linear system with the parameters dependent on the states of a Markov chain. The cost criterion is quadratic in the controls and states of the system. The criterion parameters also depend on the states of the Markov chain. Two models of observation of the Markov chain are adopted - delay for one step and no delay. It is shown that under appopriate mean square detectability and stabilizability conditions the infinite horizon optimal control problem for the general case of Markovian jump linear quadratic systems has a unigue mean square stabilizing solution. Necessary and sufficient conditions are given to determine if a system is mean square stabilizable.