BazTech - Yadda

1

Further results on the neutrix composition of distributions involving the delta function and the function cosh-1+(x1/r + 1)

Fisher Brian, Tas Kenan

Demonstratio Mathematica

|

2019

|

Vol. 52, nr 1

249--255

EN

The neutrix composition F(f(x)) of a distribution F(x) and a locally summable function f(x) is said to exist and be equal to the distribution h(x) if the neutrix limit of the sequence {Fn(f(x))} is equal to h(x), where Fn(x) = F(x)*δn(x) and {δn(x)} is a certain sequence of infinitely differentiable functions converging to the Dirac delta-function δ(x).The function cosh-1+(x + 1) is defined by cosh-1+(x + 1) =H(x) cosh-1(|x| + 1), where H(x) denotes Heaviside’s function. It is then proved that the neutrix composition δ(s)[cosh-1+(x1/r+1)] exists and (…), for r,s = 1,2,.... Further results are also proved. Our results improve, extend and generalize the main theorem of [Fisher B., Al-Sirehy F., Some results on the neutrix composition of distributions involving the delta function and the function cosh-1+(x + 1), Appl. Math. Sci. (Ruse), 2014, 8(153), 7629–7640].

2

Rasčet stacionarnogo temperaturnogo polâ v mnogoslojnoj plite s učetom vnutrennih istočnikov tepla pri usloviâh neidealʹnogo teplovogo kontakta meždu sloâmi

Taciy R. M., Pazen O. Yu.

Bezpieczeństwo i Technika Pożarnicza

|

2015

|

Nr 4

51--59

EN

Aim: The article examines the issue of a stationary temperature field distribution for a multi-layered panel, in the presence of both dispersed and concentrated internal heat sources, taking into account imperfect heat transfer conditions between individual layers. Introduction: Testing of temperature fields for multi-layered structures continues to be a target of interest for many studies, because structures of this type have many applications in the construction industry. High temperatures pose a threat of structural damage associated with the emergence of significant thermal stress during the heating process. It is commonly known, that the computation of this stress is only possible by solving appropriate heat conductivity equations. Many scientific papers are devoted to the determination of temperature fields in multi-layer structures. Majority of these studies do not take into account thermal sources or the application of coupled equation methods. When the number of layers becomes n> 3 the allotted time to, and volume of calculations increases dramatically. Moreover, a procedure for deriving the coefficient for partial-differential equations inevitably leads to the problem of multiplicity in generalised distributions. This study established that such a procedure is not necessary, and can be substituted by applying a quasi-derived concept. Methodology: At the equation formulation stage, the coefficient of thermal conductivity and intensity of internal sources of heat were recorded as splains using characteristic functions of half-length intervals and inclusion of the intensity of concentrated sources is accomplished by using the Dirac δ-function, which is introduced on the right hand side of the corresponding quasi differential equation (QDE). To such an equation are added known stress conditions and starting position, and further augmented by discretionary two-point boundary conditions. Subsequently, with the aid of the quasi-derived concept, the described equation is linked with the Cauchy equation of equivalence for appropriate arrangement of differential equations concerning impulses. Conclusions: The study identifies a solution to the equation dealing with the issue of a stationary temperature field distribution for a multi-layered panel, by taking account of dispersed as well as concentrated sources of heat produced in imperfect heat transfer conditions between layers. The paper articulates an example of temperature field calculations for an eight layered panel, which is exposed to different thermal influences between layers as well as simultaneous or non concurrent sources of dispersed and concentrated heat. Based on assumptions from physics, appropriate differential equations were identified for the Cartesian coordinate arrangements. However, the proposed method can be adopted, without difficulty, to similar exercises involving cylindrical or spherical coordinate arrangements.

PL

Cel: W artykule omówiono zagadnienie równania rozkładu stacjonarnego pola temperatury w wielowarstwowej płycie przy obecności zarówno rozłożonych, jak i skupionych wewnętrznych źródeł ciepła z uwzględnieniem nieidealnego kontaktu termicznego między warstwami. Wprowadzenie: Badanie pól temperatury w wielowarstwowych konstrukcjach jest wciąż aktualne, ponieważ konstrukcje tego typu wykorzystywane są na przykład w budownictwie. Wysokie temperatury stwarzają zagrożenie zniszczenia konstrukcji, wskutek pojawienia się znacznych naprężeń cieplnych w związku z procesem nagrzewania. Powszechnie wiadomo, że wyliczenie takich naprężeń możliwe jest tylko poprzez rozwiązanie odpowiednich równań przewodnictwa cieplnego. Zagadnieniom określania pól temperatury w wielowarstwowych strukturach poświęconych jest wiele prac. W większości tych prac rozwiązanie takich zadań odbywało się bez uwzględnienia źródeł ciepła, przy czym używano metodę równań sprzężonych. Przy liczbie warstw równej n>3 objętość przeprowadzanych obliczeń dramatycznie wzrasta. Ponadto wykorzystywana jest procedura różniczkowania współczynników równań quazi-różniczkowych, co prowadzi do problemu zwielokrotnienia funkcji uogólnionych. Taka procedura nie jest konieczna i łatwo ją zastąpić koncepcją quazi-pochodnych. Metodologia: Podczas formułowania zadania współczynnik przewodzenia ciepła i intensywność wewnętrznych źródeł ciepła zapisywane były w postaci splajnów za pomocą charakterystycznych funkcji przedziałów, a uwzględnienia intensywności skupionych źródeł dokonywano z wykorzystaniem funkcji Diraca (δ) poprzez prowadzenie po prawej stronie odpowiedniego równania quasi-różniczkowego. Do takiego równania dodawane są znane warunki naprężenia i warunki początkowe, do których, jednoznacznie można sprowadzić dowolne dwupunktowe warunki brzegowe. Następnie z wykorzystaniem koncepcji quazi-pochodnych przedstawione zadanie sprowadza się do ekwiwalentnego zagadnienia Cauchy'ego dla odpowiednich systemów równań różniczkowych z oddziaływaniem impulsowym. Wnioski: W danym opracowaniu otrzymano rozwiązanie równania rozkładu stacjonarnego pola temperatury w płycie wielowarstwowej z uwzględnieniem zarówno rozłożonych, jaki i skupionych źródeł ciepła w warunkach nieidealnego kontaktu cieplnego (termicznego) między warstwami. Podano przykład obliczenia pola temperatury w ośmiowarstwowej płycie poddawanej różnym kontaktom cieplnym między warstwami, jak również równoczesnym lub nierównoczesnym rozłożonym i skupionym źródłom ciepła. Bazując na założeniach fizyki, odpowiednie równanie różniczkowe zapisywane było w kartezjańskim układzie współrzędnych, jednak przedstawiona metoda bez większych trudności może znaleźć zastosowanie w podobnych zadaniach z użyciem cylindrycznych lub sferycznych układów współrzędnych.

3

Probabilistyczny model opóźnień transmisji w jednorodnym systemie bezprzewodowym poddawanym zaburzeniom

Jakubiec J., Krupanek B.

Przegląd Elektrotechniczny

|

2014

|

R. 90, nr 11

20--22

PL

W artykule scharakteryzowano metodę probabilistycznego modelowania opóźnień w systemie bezprzewodowym, w którym zastosowano elementy komunikacyjne tego samego rodzaju. Transmisja w systemie ulega zaburzeniom, co powoduje konieczność retransmisji danych. Metoda polega na zastosowaniu funkcji delta Dirac’a do opisu opóźnień stałych i skończonych szeregów funkcyjnych do modelowania transmisji wielokrotnych. Przedstawiono przykładowy opis analityczny funkcji gęstości prawdopodobieństwa opóźnienia w wieloelementowym torze komunikacyjnym. Opis ten zweryfikowano przy użyciu metody Monte Carlo.

EN

A method of probabilistic modeling of delays in a wireless system consisting of devices applying the same communication elements has been presented in the paper. A transmission in the system is disturbed which needs retransmissions of the sent message. The presented method consists in using Dirac’s delta function to describe constant delays and the finite function sequences to model multi-transmissions. The exemplary analytical description of the delays in a multi-element communication chain is presented and verified by using Monte Carlo method.

4

Funkcja delta Diraca o zespolonym argumencie i przykład jej zastosowania w elektromagnetyzmie

Apanasewicz S., Pawłowski S., Plewako J.

Przegląd Elektrotechniczny

|

2011

|

R. 87, nr 12b

9-11

PL

Bazując na dwóch znanych reprezentacjach funkcji Diraca o argumencie rzeczywistym w pracy zaproponowano jej uogólnienie na przypadek argumentu zespolonego. Na tej podstawie uzyskano szereg wzorów całkowych mogących znaleźć zastosowanie w rozwiązywaniu zagadnień fizyki matematycznej. Zaprezentowano przykład zastosowania funkcji delta Diraca o argumencie zespolonym w rozwiązywaniu zagadnienia rozpraszania fali elektromagnetycznej na narożu przewodzącym.

EN

In the paper, based on two known Dirac function representations with real argument they generalization for complex argument was proposed. Following, the set of integral formulas was derived, which could be applied for solving various problems as mathematical physics. As illustration an example of application of Dirac function with complex argument for solving problem of an electromagnetic wave scattering on a conductive corner was presented. (Dirac function with complex argument and example of its application in electromagnetism).

5

Generalization of probability density of random variables

Ziółkowski M.

Scientific Issues of Jan Długosz University in Częstochowa. Mathematics

|

2009

|

Vol. 14

163-172

EN

In this paper we present generalization of probability density of random variables. It is obvious that probability density is definite only for absolute continuous variables. However, in many practical applications we need to define the analogous concept also for variables of other types. It can be easily shown that we are able to generalize the concept of density using distributions, especially Dirac’s delta function.

6

The convolution of functions and distributions

Fisher B., Zhenhai L., Nicholas J.

Demonstratio Mathematica

|

2000

|

Vol. 33, nr 4

835-841

EN

The non-commutative convolution product f* g of two distributions f and g in D' is defined to be the limit of the sequence {(/frn) * g}, provided the limit exists, where {r-n} is a certain sequence of functions rn in 'D converging to 1.