Using the hyperbolic algebra for efficient analysis of nonlinear switched dynamical circuits

• Autorzy: Trzaska Z.

Identyfikatory

DOI

10.15199/ELE-2014-021

Warianty tytułu

PL

Efektywna analiza nieliniowych przełączanych obwodów dynamicznych z wykorzystaniem algebry hiperbolicznej

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The article presents the basic concepts of hyperbolic algebra for their effective use for analysis of oscillations, mainly with non-sinusoidal waveforms, which can be excited by sources of nonsmooth signals or discontinuous in time. The analysis uses the representation of circuit response on the non-smooth (shock) source signals by the course of continuous and discontinuous components, where the last component is associated with rectangular cosine function. The advantages of triangular sine function are also used. With both of the non-classical functions have been given the appropriate interpretations. It has been shown that in the case of periodic non-sinusoidal conditions an answer of the circuit with lumped parameters includes the appropriate boundary conditions. The emphasis is put on determination of relationships between the dynamics of the shock and hyperbolic algebra, analogous to the case of sinusoidal oscillations and conventional complex numbers. Results of computer simulations that illustrate the given formulas are also presented.

PL

W artykule przedstawiono podstawowe zagadnienia z zakresu algebry hiperbolicznej pod kątem ich efektywnego wykorzystania do analizy drgań, głównie przebiegów niesinusoidalnych, które mogą być wzbudzane źródłowymi sygnałami, niegładkimi lub nieciągłymi w czasie. W analizie wykorzystano reprezentację odpowiedzi obwodu na niegładkie (udarowe) wymuszenia za pomocą składowej o przebiegu ciągłym oraz składowej nieciągłej związanej z funkcją prostokątny kosinus. Wykorzystano również zalety funkcji trójkątny sinus. Obydwóm tym nieklasycznym funkcjom nadano odpowiednią interpretację. Wykazano, że w przypadku stanów okresowych niesinusoidalnych należy wyznaczać odpowiedź obwodu o parametrach skupionych uwzględniając odpowiednie warunki brzegowe. Nacisk położony został na ustalenie powiązań między dynamiką uderzeniową i algebrą hiperboliczną, analogicznie do przypadku drgań sinusoidalnych i konwencjonalnych liczb zespolonych. Przedstawione zostały też wyniki symulacji komputerowych, które ilustrują podane zależności.

Słowa kluczowe

EN

hyperbolic algebra; triangular sine; rectangular cosine; nonlinear circuit; nonsmooth excitations; periodic non-sinusoidal; oscillations; boundary conditions

PL

algebra hiperboliczna; trójkątny sinus; prostokątny kosinus; obwód nieliniowy; wymuszenia o przebiegach niegładkich; drgania okresowe niesinusoidalne; warunki brzegowe

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Elektronika : konstrukcje, technologie, zastosowania
• Rocznik: 2014
• Tom: Vol. 55, nr 5
• Strony: 35--41
• Opis fizyczny: Bibliogr. 30 poz., wykr.

Twórcy

autor

Trzaska Z.

• University of Ecology and Management, Warsaw

Bibliografia

• [1] Gurvich N.L., The Main Principles of Cardiac Defibrillation. (In Russian), Moscow, Medicine, 1975.
• [2] Marszałek W. and Trzaska Z., Mixed-Mode Oscillations and Chaotic Solutions of Jerk (Newtonian) Equations. International Journal of Computational and Applied Mathematics, 262(2014), 373–383.
• [3] Marszalek W. and Trzaska Z., Mixed-mode and chaotic oscillating systems: bifurcations and newtonian properties, 56th IEEE Int. Midwest Symp. Circuits and Systems (MWSCAS), 4-7 Aug. 2013, Columbus (OH), DOI: 10.1109/MWSCAS.2013.6674759.
• [4] Marszalek W. and Trzaska Z., Mixed-mode oscillations in a modified Chua’s circuit, Circuits, Systems, and Signal Processing, 29,(6) (2010), 1075–1087.
• [5] Kudrewicz J., Fractals and chaos. (In Polish), 3rd ed., Scientific-Technical Publishing Office, Warsaw, 1996.
• [6] Yang F. and Patterson R., Optimal Transvenous Coil Position on Active-can Single-coil ICD Defibrillation Efficacy: A Simulation Study. Annals of Biomedical Engineering, 36(10) (2008), 1659–1667.
• [7] Ulrych S., Relativistic quantum physics with hyperbolic numbers, Physics Letters B, 625 (2005), 313–323.
• [8] Pilipchuk V.N., Nonlinear dynamics: between linear and impact limits. Berlin, Springer, 2010.
• [9] Kisil V.V.: Induced representations and hypercomplex numbers. Advances in Applied Clifford Algebras, 23(2) (2013), 417–440.
• [10] Vostrikov V.A. and Syrkin A.L., External shock therapy of arterial fibrillation. (In Russian), Kardiologiya i serdechno-sosudistaya khirurgiya, 1(3) (2008), 9–13.
• [11] Catoni F., Boccaletti D., Cannata R., Catoni V., Nichelatti E.and Zampetti P., Trigonometry in the Minkowski plane. Chapter 4 in The Mathematics of Minkowski Space-Time, Basel, Birkhäuser Verlag, 2008.
• [12] Trzaska Z., Straightforward Method for Studies of Periodic Non-Harmonic States of Linear Systems. Archives of Electrical Engineering, 53(2) (2004), 191–215.
• [13] Hestenes D. and Sobczyk G., Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics, Kluwer, Dordrecht, 1992.
• [14] Trzaska Z., Differential-Algebraic Models of Dynamical Systems. Properties and Applications. Publishing Office of the Warsaw University of Ecology and Management, Warsaw, 2013.
• [15] Trzaska Z., Modeling of Energy Processes in Wheel-Rail Contacts Operating under Influence of Periodic Discontinuous Forces. Journal of Transportation Technologies, 3(2) (2012), 129–143.
• [16] Tadeusiewicz M. and Hałgas S., Computer methods of analysis of analog systems. Theory and applications. (In Polish), Scientific-Technical Publishing Office, Warsaw, 2008.
• [17] Modzelewski J., Analysis of power supply circuit of class-D resonant power amplifier. Elektronika, (1) (2013), 54–59.
• [18] Poodiack R. D. and LeClair K. J., Fundamental theorems of algebra for the perplexes, The College Mathematics Journal, 40(5) (2009), 322–335.
• [19] Trzaska Z. and Trzaska M., Nonlinear circuit models of bipolar pulse electrocrystalization processes. (In Polish) Inżynieria Materiałowa, 33(6) (2012), 705–709.
• [20] Trzaska Z., Dynamical processes in sequential-bipolar pulse sources supplying nonlinear loads. Eletrotechnical Reviews, 90(3) (2014), 147–152.
• [21] Warmus M., Calculus of Approximations, Bulletin de l’Academie Polonaise de Sciences, 4(5) (1956), 253–257.
• [22] Trzaska Z., Efficient Approach to Determine the Steady-State Energy in Networks with Periodic Discontinuous Excitations. Internat. Journal on Electrical and Electronic Education (IJEEE), 44 (4) (2007), 378–392.
• [23] Trzaska Z., Analysis and design of electric circuits. (In Polish), Publishing Office of the Warsaw University of Technology, Warsaw, 2008.
• [24] Knezević-Miljanović J., Periodic Solutions of Nonlinear Differential Equations. Advances in Dynamical Systems and Applications, 7(1) (2012), 89–93.
• [25] Hazewinkel M. (ed.), Gibbs phenomenon, Encyclopedia of Mathematics, Springer, New York, 2001.
• [26] Trzaska M. and Trzaska Z., The Time Domain Analysis of Interactions in The Wheel - Rail Contacts Due to Discontinuous Time Periodic Loads. Journal of KONES Powertrain and Transport, 19(2) (2012), 531–542.
• [27] Campbell S.L. and Marszalek W., Mixed symbolic-numerical computations with general DAEs II: an applications case study, Numerical Algorithms, 19(1) (1998), 85–94.
• [28] Higham D. J. and Higham N. J., MATLAB Guide, Second Edition. SIAM, Cambridge University Press (UK), 2005.
• [29] Trzaska Z., Symbolic computing in automatics and robotics. (In Polish), Publishing Office of the Warsaw University of Ecology and Management, Warsaw, 2010.
• [30] Awrejcewicz J., Bifurcation and Chaos: Theory and Applications. Springer, New York, 2011.