Some remarks on a mathematical model of COVID-19 pandemic with health care capacity

• Autorzy: Krawczyk Joanna , Kowalewska Agnieszka , Bodnar Marek

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v50i1.7113

Warianty tytułu

PL

Kilka uwag o modelu pandemii COVID-19 z uwzględnieniem wydolności służby zdrowia

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this paper, a SEIR model proposed in an article “Dynamic analysis of mathematical model with health care capacity for COVID-19 pandemic” by S. Çakan (2020) is analysed. The model describes COVID-19 pandemic spread affected by healthcare capacity and is expressed by a system of delay differential equations. To prove the local stability of stationary states, S. Çakan uses linearization technique, though she does this as if the equations did not depend on the delay. Additionally, it is shown that the crucial argument used by S. Çakan to prove boundedness of the solutions is not correct, which implies that the proofs of global stability in the original article are not correct either. In this paper, improved proofs of local and global stability of the stationary states are provided. For local stability of the stationary states a standard linearization technique is used. Global stability of the stationary states is proved based on Lyapunov’s functionals. Although the functionals are the same as those proposed by S. Çakan, additional properties of the solutions (in the case of disease–free stationary state) and the functional (in the case of the endemic stationary state) are proved.

PL

W artykule rozważono model epidemiologiczny typu SEIR opisujący dynamikę rozprzestrzeniania się pandemii COVID-19 z uwzględnieniem wydolności służby zdrowia, zaproponowany przez S. Çakan w “Dynamic analysis of mathematical model with health care capacity for COVID-19 pandemic” (2020). Model jest opisany za pomocą układu równań różniczkowych z opóźnieniem. Nieznacznie zmodyfikowaliśmy układ zaproponowany przez S. Çakan i przeprowadziliśmy jego pogłębioną analizę. Dowody lokalnej stabilności przedstawione w oryginalnym artykule były oparte na linearyzacji, jednak pomijały zależność układu równań od opóźnienia. Dodatkowo wykazaliśmy, że kluczowy argument używany przez S. Çakan w dowodzie ograniczoności rozwiązań jest niepoprawny, co oznacza, że przedstawione przez nią powodu przedstawiamy tutaj poprawione dowody lokalnej i globalnej stabilności stanów stacjonarnych. W dowodzie lokalnej stabilności skorzystaliśmy z twierdzenia o linearyzacji dla układów równań różniczkowych z opóźnieniem, natomiast globalną stabilność wykazaliśmy korzystając z funkcjonałów Lapunowa. Przyjęliśmy funkcjonały Lapunowa zaproponowane przez S. Çakan, jednak po wcześniejszym udowodnieniu dodatkowych własności rozwiązań (dla stanu stacjonarnego wolnego od infekcji) oraz funkcjonału (w przypadku endemicznego stanu stacjonarnego). Dzięki temu uzyskaliśmy poprawne dowody globalnej i lokalnej stabilności stanów stacjonarnych.

Słowa kluczowe

EN

delay differential equations; Lyapunov's functional; COVID-19; spread; healthcare; stationary states; local stability; global stability

PL

równania różniczkowe z opóźnieniem; funkcjonały Lyapunova; pandemia COVID-19; modelowanie; ochrona zdrowia; stany stacjonarne; lokalna stabilność; globalna stabilność

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2022
• Tom: Vol. 50, no. 1
• Strony: 23--42
• Opis fizyczny: Bibliogr. 8 poz., wykr.

Twórcy

autor

Krawczyk Joanna

• studentka Bioinformatyki i Biologii Systemów na Uniwersytecie Warszawskim

• https://orcid.org/0000-0002-9545-4085

autor

Kowalewska Agnieszka

• studentka Bioinformatyki i Biologii Systemów na Uniwersytecie Warszawskim

• https://orcid.org/0000-0002-4148-8300

autor

Bodnar Marek

• University of Warsaw Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Banacha 2, 02-097 Warsaw, Poland

• https://orcid.org/0000-0001-5571-2476

Bibliografia

• [1] H. Adekola, I. Adekunle, H. Egberongbe, S. Onitilo, and I. Abdullahi. Mathematical modeling for infectious viral disease: The covid-19 perspective. Journal of Public Affairs, 20, 2020.
• [2] S. Çakan. Dynamic analysis of a mathematical model with health care capacity for covid-19 pandemic. Chaos, Solitons & Fractals, 139:110033, 2020.
• [3] F. Brauer. Absolute stability in delay equations. Journal of Differential Equations, 69(2):185-191, 1987.
• [4] O. Diekmann, J. Heesterbeek, and M. Roberts. The construction of nextgeneration matrices for compartmental epidemic models. J. R. Soc. Interface, 7:873-885, 2010.
• [5] J. Hale and W. Huang. Global geometry of the stable regions for two delay differential equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 178(2):344-362, 1993.
• [6] F. i. T. M. Kochańczyk. Dynamics of covid-19 pandemic at constant and time-dependent contact rates. Mathematical Modelling of Natural Phenomena, 7, 2020.
• [7] H. Smith. An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences. Springer New York, 2011.
• [8] P. van den Driessche and J. Watmough. Reproduction numbers and subthreshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Mathematical Biosciences, 180(1):29-48, 2002.

Uwagi

PL

Opracowanie rekordu ze środków MEiN, umowa nr SONP/SP/546092/2022 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2022-2023).