Revisiting the Logistic Growth with Random Disturbances

• Autorzy: Klimasara Paweł

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v47i2.6483

Warianty tytułu

PL

Ponowna analiza modelu logistycznego z losowymi skokami

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We reconsider a one-dimensional probabilistic model of a fire-induced tree-grass coexistence in savannas introduced by D'Odorico, Laio and Ridol in [5]. We rewrite it as a logistic growth model with random tree biomass losses caused by fire occurring at random times. We study it by using the stochastic semigroup theory and we give new suffcient conditions for the existence and stability of a unique stationary density of woody biomass.

PL

Modele populacyjne oparte o równanie logistyczne wciąż są popularne w modelowaniu ekosytemów i pozwalają lepiej zrozumieć różne zjawiska. W tym artykule rozważamy prosty 1-wymiarowy model sawanny zaproponowany przez D'Odorico, Laio i Ridolfi'ego w pracy [5], który jest modelem współistnienia traw i drzew na sawannach indukowanego losowymi pożarami. Jednak zamiast wprowadzać ubytki biomasy spowodowane występowaniem pożarów bezpośrednio do równań modelu, definiujemy odpowiedni proces stochastyczny. Następnie badamy go z wykorzystaniem teorii półgrup stochastycznych. Zasadniczym wynikiem jest twierdzenie 3.1 określające, kiedy przedstawiony model może opisywać stabilne współistnienie traw i drzew charakterystyczne dla sawann. Mianowicie przy spełnionym warunku (7) istnieje jedyny absolutnie ciągły rozkład stacjonarny biomasy drzew, do którego cały układ będzie dążył, natomiast w sytuacji (8) taki rozkład nie istnieje. Powyższy wynik można łatwo przenieść na wyższe wymiary i zastosować np. w dwuwymiarowym modelu podanym w poprzedniej pracy (na ten temat) autora i Marty Tyran-Kamińskiej [7].

Słowa kluczowe

EN

population dynamics; logistic growth; ecological modeling; savanna; savanna question; stationary density; piecewise deterministic Markov processes

PL

dynamika populacji; równanie logistyczne; modelowanie ekosystemów; sawanna; gęstość stacjonarna; kawałkami deterministyczne procesy Markova

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2019
• Tom: Vol. 47, no. 2
• Strony: 177--186
• Opis fizyczny: Bibliogr. 15 poz.

Twórcy

autor

Klimasara Paweł

• University of Silesia in Katowice, Institute of Mathematics, Bankowa 14, 40-007 Katowice

Bibliografia

• [1] B. Beckage, L. J. Gross, and W. J. Platt. Grass feedbacks on fire stabilize savannas. Ecological Modelling, 222 (14):2227-2233, 2011. ISSN 0304-3800. doi: 10.1016/j.ecolmodel.2011.01.015. Cited on p. 178.
• [2] W. Biedrzycka and M. Tyran-Kamińska. Existence of invariant densities for semiflows with jumps. J. Math. Anal. Appl., 435 (1):61-84, 2016. ISSN 0022-247X. doi: 10.1016/j.jmaa.2015.10.019. URL https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.10.019. Cited on p. 182.
• [3] A. Bodini and N. Clerici. Vegetation, herbivores and fires in savanna ecosystems: A network perspective. Ecological Complexity, 28:36-46, 2016. Cited on p. 177.
• [4] M. H. A. Davis. Piecewise-deterministic Markov processes: a general class of nondiffusion stochastic models. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 46 (3):353-388, 1984. Cited on p. 178.
• [5] P. D'Odorico, F. Laio, and L. Ridolfi. A probabilistic analysis of fire-reinduced tree-grass coexistence in savannas. The American Naturalist, 167 (3):E79-E87, 2006. Cited on pp. 177, 178, 179, 181, 183, and 185.
• [6] S. I. Higgins, W. J. Bond, E. C. February, A. Bronn, D. I. Euston-Brown, B. Enslin, N. Govender, L. Rademan, S. O'Regan, A. L. Potgieter, et al. Effects of four decades of fire manipulation on woody vegetation structure in savanna. Ecology, 88 (5):1119-1125, 2007. Cited on p. 177.
• [7] P. Klimasara and M. Tyran-Kamińska. A model for random fire induced tree-grass coexistence in savannas. Annales Societatis Mathematicae Polonae. Series III. Math. Appl. (Matematyka Stosowana), 46 (1): 87-96, 2018. ISSN 2299-4009. doi: 10.14708/ma.v46i1.6382. MR 3841813. Cited on pp. 177, 178, 183, and 186.
• [8] M. C. Mackey and M. Tyran-Kamińska. Dynamics and density evolution in piecewise deterministic growth processes. Ann. Polon. Math., 94 (2): 111-129, 2008. ISSN 0066-2216. doi: 10.4064/ap94-2-2. Cited on pp. 178 and 183.
• [9] S. D. Peckham, E. C. Waymire, and P. De Leenheer. Critical thresholds for eventual extinction in randomly disturbed population growth models. J. Math. Biol., 77 (2):495-525, 2018. ISSN 0303-6812. doi: 10.1007/s00285-018-1217-y. MR 3830273. Cited on pp. 178, 179, 180, and 184.
• [10] R. Rudnicki and M. Tyran-Kamińska. Piecewise deterministic processes in biological models. Springer Briefs in Applied Sciences and Technology, Springer Briefs in Mathematical Methods. Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-61295-9. Cited on pp. 181 and 183.
• [11] G. Sarmiento. The ecology of neotropical savannas. Harvard University Press, Cambridge, 1984. Sarmiento, Guillermo and Otto Solbrig. 2014. The Ecology of Neotropical Savannas. Cambridge: Harvard University Press. Retrieved 17 Aug. 2019, from https://www.degruyter.com/view/product/254565. Cited on p. 177.
• [12] T. M. Scanlon, K. K. Caylor, S. Manfreda, S. A. Levin, and I. Rodriguez-Iturbe. Dynamic response of grass cover to rainfall variability: implications for the function and persistence of savanna ecosystems. Advances in Water Resources, 28 (3):291-302, 2005. Cited on p. 178.
• [13] L. Trollope and L. A. Trollope. Fire effects and management in african grasslands and savannas. Range and Animal Sciences and Resources Management, 2:121-145, 2010. Cited on p. 177.
• [14] F. van Langevelde, C. van de Vijver, L. Kumar, J. van de Koppel, N. de Ridder, J. van Andel, A. Skidmore, J. Hearne, L. Stroosnijder, W. Bond, H. Prins, and M. Rietkerk. Effects of fire and herbivory on the stability of savanna ecosystems. Ecology, 84 (2):337-350, 2 2003. ISSN 0012-9658. URL https://www.jstor.org/stable/3107889. Cited on p. 178.
• [15] V. Yatat, P. Couteron, J. J. Tewa, S. Bowong, and Y. Dumont. An impulsive modelling framework of fire occurrence in a size-structured model of tree-grass interactions for savanna ecosystems. J. Math. Biol., 74 (6):1425-1482, 2017. ISSN 0303-6812. doi: 10.1007/s00285-016-1060-y. MR 3634789. Cited on p. 177.

Uwagi

Opracowanie rekordu ze środków MNiSW, umowa Nr 461252 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2020).