Derivation of equations of motion and supplementary natural boundary conditions for a slender single column subjected to Euler’s load using Hamilton’s principle

• Autorzy: Kuliński Krzysztof

Identyfikatory

DOI

10.17512/znb.2023.1.09

Warianty tytułu

PL

Wykorzystanie zasady Hamiltona przy wyprowadzaniu równań ruchu oraz naturalnych warunków brzegowych w odniesieniu do smukłego jednogałęziowego słupa poddanego obciążeniu Eulera

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this paper the derivation process of motion equations and boundary conditions for a slender mechanical system on the basis of Hamilton’s principle is presented. In order to apply the Hamilton’s principle, first of all it is necessary to define appropriate general variables that describe the motion of the considered system. In the case of slender mechanical systems, natural coordinates are usually used, which are well suited to the system geometry and its motional characteristics. Based on Hamilton's principle, an appropriate action functional is constructed, which is the Lagrangian integral covering the appropriate general variables and time. The Lagrangian describes the well-known difference between the kinetic and potential energy of a system. A step by step derivation of a motion equation and supplementary natural boundary conditions in regard to an example of a slender clamped-free column subjected to Euler’s load is discussed. The obtained equation with a set of geometrical and natural boundary conditions gives the possibility to thoroughly analyse both analytically or numerically system dynamics and/or static response. Despite that the discussed method is time consuming and requires advanced mathematical techniques, it makes it possible to obtain exact or approximate motion equations even for complex problems, what can be difficult or even impossible to achieve using other known methods.

PL

Przedstawiono proces wyprowadzania rownań ruchu i naturalnych warunkow brzegowych smukłego układu mechanicznego na podstawie zasady Hamiltona. Aby zastosować zasadę Hamiltona, należy przede wszystkim zdefiniować odpowiednie zmienne ogolne opisujące ruch rozpatrywanego układu. W przypadku smukłych układow mechanicznych stosuje się zwykle tzw. wspołrzędne naturalne, ktore są dobrze dopasowane do geometrii układu i jego charakterystyk ruchu. Wykorzystując zasadę Hamiltona, konstruuje się odpowiedni funkcjonał ruchu, ktorym jest całka Lagrange’a smukłego układu po odpowiednich zmiennych ogolnych i czasie. Lagranżjan opisuje dobrze znaną rożnicę między energią kinetyczną i potencjalną układu. W pracy przedstawiono proces krok po kroku wyprowadzania rownania ruchu i uzupełniających naturalnych warunkow brzegowych w odniesieniu do smukłego słupa o jednym końcu utwierdzonym, a drugim wolnym, ktory to poddany jest obciążeniu Eulera. Otrzymane rownanie wraz ze zbiorem geometrycznych i naturalnych warunków brzegowych daje możliwość dokładnej analizy analitycznej lub numerycznej odpowiedzi dynamicznej i/lub statycznej układu. Pomimo tego, że omawiana metoda jest czasochłonna i wymaga zaawansowanych technik matematycznych, pozwala ona na uzyskanie dokładnych lub przybliżonych rownań ruchu nawet dla złożonych problemow, co przy innych znanych metodach może być trudne lub wręcz niemożliwe do osiągnięcia.

Słowa kluczowe

EN

Hamilton’s principle; slender system; equations of motion derivation; static and dynamic response; Euler’s load

PL

zasada Hamiltona; układy smukłe; wyprowadzanie równań ruchu; dynamiczna odpowiedź konstrukcji; statyczna odpowiedź konstrukcji; obciążenie Eulera

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe Politechniki Częstochowskiej. Budownictwo
• Rocznik: 2023
• Tom: Z. 29 (179)
• Strony: 61--66
• Opis fizyczny: Bibliogr. 12 poz., rys.

Twórcy

autor

Kuliński Krzysztof

• Czestochowa University of Technology, Faculty of Civil Engineering, ul. Akademicka 3, 42-218 Częstochowa, Poland

• https://orcid.org/0000-0001-9850-9144

Bibliografia

• 1. Pedersen N.L., Pedersen M.L., A direct derivation of the equations of motion for 3D-flexible mechanical systems, International Journal for Numerical Methods in Engineering 1998, 41(4), 697-719.
• 2. Vassiliou M.F., Makris N., Dynamics of the vertically restrained rocking column, Journal of Engineering Mechanics 2015, 141(12), 04015049.
• 3. Kounadis A.N., On the derivation of equations of motion for a vibrating Timoshenko column, Journal of Sound and Vibration 1980, 73(2), 177-184.
• 4. Tomski L., Uzny S., Free vibrations and the stability of a geometrically non-linear column loaded by a follower force directed towards the positive pole, International Journal of Solids and Structures 2008, 45(1), 87-112.
• 5. Sokoł K., An influence of the parameters of the loading heads on stability and free vibrations of a damaged column subjected to a specific load, Journal of Vibroengineering 2018, 20(3), 1299-1310.
• 6. Yoo W.S., Haug E.J., Dynamics of articulated structures – Part I, Journal of Structural Mechanics 1986, 14(1), 105-126.
• 7. Rao S.S., Vibration of Continuous Systems, John Wiley & Sons, Hoboken 2019.
• 8. Leissa A.W., Qatu M.S., Vibrations of Continuous Systems, McGraw-Hill Education, New York 2011.
• 9. Shabana A.A., Ling F.F., Vibration of Discrete and Continuous Systems, Springer, New York 1997.
• 10. Kuliński K., On Innovative Concrete-Rubber Composite Blocks Reducing Effects of Dynamic Mechanical Impact: The Review of Structural Solutions, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2019, 603(4), 042018.
• 11. Major M., Major I., Kucharova D., Kuliński K., Reduction of dynamic impacts in block made of concrete-rubber composites, Civil and Environmental Engineering 2018, 14(1), 61-68.
• 12. Major M., Kuliński K., Major I., Dynamic analysis of an impact load applied to the composite wall structure, MATEC Web of Conferences 2017, 107, 00055.

Uwagi

Opracowanie rekordu ze środków MNiSW, umowa nr SONP/SP/546092/2022 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2024).