Mathematical induction in proving of theorems about natural numbers divisibility

• Autorzy: Żywuszko K. , Czajkowski A. A.

Warianty tytułu

PL

Indukcja matematyczna w dowodzeniu twierdzeń o podzielności liczb naturalnych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Introduction and aims: This paper presents the concept of the division of mathematical expressions with natural variable related to the problem of divisibility. The paper shows some proofs of selected problem. The main aim of this paper is to show a few proofs of theorems about divisibility of expressions by using the method of mathematical induction. Material and methods: In this paper have been solved examples from different sources. Considered problems contain: only polynomials, the sum of powers of different bases (and constant as a component), the sum of the products of powers with different bases (and constant as a component), the sum of the powers and polynomials, the sum of the products of powers and polynomials, the sum containing the power of (-1), Fibonacci sequence, the expression containing a power of the power and problems containing power in divider. In the paper has been used the method of mathematical induction. Results: It has been shown 16 proofs of problems by using mathematical induction. In some examples have been used the additional lemmas which complete the main proof. Conclusion: Using some properties of divisibility theorems and the theorem about mathematical induction allow to show proofs which refer to the divisibility by natural number of various mathematical expressions with natural variable n.

PL

Wstęp i cele: W pracy przedstawiono koncepcję podziału wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną odnoszących się do problemu podzielności a także przedstawiono dowody wybranych zadań. Głównym celem pracy jest pokazanie sposobu dowodzenia twierdzeń o podzielności wyrażeń przy zastosowaniu metody indukcji matematycznej. Materiał i metody: W pracy rozwiązano przykłady z różnych źródeł. Rozważono zadania zawierające: tylko wielomiany, sumy potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy iloczynów potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy potęg i wielomianów, sumy iloczynów potęg i wielomianów, sumy zawierające potęgę (-1), ciąg Fibonacciego, wyrażenia zawierające potęgę potęgi oraz zadania zawierające potęgę w dzielniku. Zastosowano metodę indukcji matematycznej. Wyniki: Przeprowadzono dowody 16 przykładów przy użyciu indukcji matematycznej. W niektórych przykładach zastosowano dodatkowo dowody lematów, które uzupełniają całość dowodu głównego. Wniosek: Korzystanie z pewnych właściwości twierdzeń o podzielności i twierdzenia o indukcji matematycznej pozwala pokazać dowody, które odnoszą się do podzielności przez liczby naturalne różnych wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną.

Słowa kluczowe

EN

natural numbers; divisibility; proof; mathematical induction

PL

liczby naturalne; podzielność; dowód; indukcja matematyczna

• Wydawca: Wyższa Szkoła Techniczno-Ekonomiczna w Szczecinie
• Czasopismo: Problemy Nauk Stosowanych
• Rocznik: 2013
• Tom: T. 1
• Strony: 101--116
• Opis fizyczny: Bibliogr. 9 poz.

Twórcy

autor

Żywuszko K.

• Wyższa Szkoła Techniczno-Ekonomiczna w Szczecinie, Wydział Transportu Samochodowego, Kierunek Edukacja Techniczno-Informatyczna

autor

Czajkowski A. A.

• Wyższa Szkoła Techniczno-Ekonomiczna w Szczecinie, Wydział Transportu Samochodowego, Kierunek Edukacja Techniczno-Informatyczna

Bibliografia

• [1] Башвмаков М.Н., Беккер Б.М., Гольховой В.М.: Задачи по математике. Алгебра и анализ, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Издательство «Наука» под редакцией Д.К. Фаддеева, Библиотека «Квант», выпуск 22, Москва 1982, стр. 71,72.
• [2] Czajkowski A.A., Żywuszko K.: Metoda indukcji matematycznej w dowodzeniu sum potęg kolejnych liczb naturalnych, Dydaktyka Nauk Stosowanych Tom 7: Informatyka i Media, Elektrotechnika, Biomechanika i Neonatologia, Rozwój Nauki i Techniki, (red. A.A. Czajkowski), Uniwersytet Szczeciński, Wydz. Matematyczno-Fizyczny, Kat. Edukacji Informatycznej i Technicznej, Szczecin 2011, s. 33-44.
• [3] Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Стринова С.Ф.: Зборник конкурсных задач по математике с методическим указаням и решеням, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Издательство «Наука», Москва 1986, издание второе, стереотипное стр. 23.
• [4] Jeśmianowicz L., Łoś J.: Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1975, s. 23, 24, w. VI.
• [5] Mostowski A., Stark M.: Elements of higher algebra, PWN, Warsaw 1970, p. 11, 5-th edition.
• [6] Воробъев Н.Н.: Признаки деолимости, Главная Редакция Физико-Математической Литературы, Издательство «Наука», Москва 1974, издание второе, исправленное, стр. 26.
• [7] Вышенский В.А., Карташов Н.В., Михайловский В.И., Ядренко М.И.: Зборник задач кивеских математических олимпиад, Издательство при Кивеском государственном университете издательского объединения «Вуща Школа», Киев 1984, стр. 44, 49.
• [8] http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node67.html (access 2013-09-29).
• [9] http://pl.wikipedia.org/wiki/Indukcja_matematyczna (access 2013-09-29).

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę (zadania 2017).