Recent studies on the Dice Race Problem and its connections

• Autorzy: Louchard G.

Identyfikatory

DOI

doi: 10.14708/ma.v44i1.1124

Warianty tytułu

PL

Nowe obserwacje o grze w kości z kumulacją wyników oraz jej związki z innymi zagadnieniami

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The following type of dice games has been mentioned and/or studied in the literature. Players take turns in rolling a fair die successively, each player accumulating his or her scores as long as the outcome 1 does not occur. If the result 1 turns up, the accumulated score is wiped out, and the turn ends, that is the player gives the die to the next player. At any stage after a roll, the player (she, say) can choose to end her turn and bank her accumulated score. The winner is the first player to reach some fixed target n ϵ N. We present some new results on optimal strategies and winning probability in a one or two players game. For just one player there is no competition of course, and in this case we suppose that the player simply wants to minimize her total expected number of tosses over all possible banking strategies.

PL

W pracy rozważana jest znana i badana w literaturze następująca wersja gry w kości. Gracze na zmianę rzucają kością do gry sumując uzyskane wyniki tak długo aż wypadnie 1. W chwili wyrzucenia jedynki gracz, który ją wyrzucił traci swoją kumulację i jedna tura rozgrywki kończy się, a kość jest przekazywana do drugiego gracza. Po każdym rzucie gracz może zakończyć swoją kolejkę i odebrać uzyskaną wygraną. Zwycięża ten z graczy, który jako pierwszy osiągnie pewną ustaloną wygraną n ϵ N. Przedstawiono nowe wyniki dotyczące optymalnych strategii i wyznaczono prawdopodobieństwa wygranej w grze jedno- lub dwuosobowej. W przypadku jednego gracza nie konkuruje on z nikim, a jedynie chce zminimalizować oczekiwaną liczbę rzutów wybierając strategię prowadzącą do celu z wykorzystaniem wszystkich strategii dopuszczalnych.

Słowa kluczowe

EN

dice game; optimal strategies; one or two players game; number of rounds; winning probability

PL

gra w kości; strategie optymalne; jedno- i dwuosobowe gry optymalne; liczba serii; prawdopodobieństwo wygranej

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2016
• Tom: Vol. 44, No. 1
• Strony: 63--86
• Opis fizyczny: Bibliogr. 17 poz., wykr., fot.

Twórcy

autor

Louchard G.

• Université Libre de Bruxelles, Département d’Informatique, CP 212, Boulevard du Triomphe, B-1050 Bruxelles, Belgium

Bibliografia

• [1] J. J. A. M. Brands, F. W. Steutel and R. J. G. Wilms. On the number of maxima in a discrete sample. Stat. Probab. Lett., 20(3):209–217, 1994. MR 1294106; Zbl 0802.60048; doi: 10.1016/0167-7152(94)90044-2
• [2] F. T. Bruss, M. Drmota, and G. Louchard. The complete solution of the competitive rank selection problem. Algorithmica, 22(4):413–447, 1998. MR 1701621; Zbl 0918.90002; doi: 10.1007/PL00009232
• [3] F. T. Bruss and R. Grübel. On the multiplicity of the maximum in a discrete random sample. Annals of Applied Probability, 13(4):1252–1263, 2003. MR 2023876; Zbl 1038.62047; doi: 10.1214/aoap/1069786498
• [4] F. T. Bruss and C. A. O’Cinneide. On the maximum and its uniqueness for geometric random samples. Journal of Applied Probability, 27:598–610, 1990. MR 1067025; Zbl 0723.60011; doi: 10.2307/3214544
• [5] F. Crocce and E. Mordecki. Optimal minimax strategy in a dice game. Technical report, 2009. arXiv:0912.5518v1.
• [6] E. G. Enns and E. Ferenstein. The horse game. J. Oper. Research Society of Japan, 28:51–62, 1985. MR 0790787; Zbl 0575.90096
• [7] E. G. Enns and E. Ferenstein. A curious recursion arising in game theory. Utilitas Mathematica, 30:219–228, 1986. MR 0864823; Zbl 0605.90138
• [8] E. G. Enns and E. Ferenstein. On a multi-person time-sequential game with priorities. Sequential Analysis, 6:239–256, 1987. MR 0918908; Zbl 0633.90106; doi: 10.1080/07474948708836129
• [9] J. Haigh and M. Roters. Optimal stopping on a dice game. Journal of Applied Probability, 37:1110–1116, 2000. MR 1808874; Zbl 0983.60030
• [10] G. Louchard and H. Prodinger. The number of elements close to near-records in geometric samples. Quaestiones Mathematicae, 29,4:447–470, 2006. MR 2273945; Zbl 1153.05002; doi: 10.2989/16073600609486175
• [11] T. W. Neller and C. G. M. Presser. Optimal play of the dice game pig. The UMAP Journal, 25(1):25–47, 2004.
• [12] T. W. Neller and C. G. M. Presser. Pigtail: A pig addendum. The UMAP Journal, 26(4):443–458, 2005.
• [13] T. W. Neller, I. Russel, and Z. Markov. Solving the dice game pig: an introduction to dynamic programming and value iteration. Technical report, Gettysburg College, 2005.
• [14] D. M. Ramsey and K. Szajowski. Selection of a correlated equilibrium in Markov stopping games. European Journal of Operations Research, 184(1):185–206, 2008. MR 2353354
• [15] M. Roters. Optimal stopping on a dice game. Journal of Applied Probability, 35:229–235, 1998. MR 1622460
• [16] K. Szajowski. Double stopping by two decision makers. Advances in Applied Probability, 25:438–452, 1993. MR 1212620
• [17] K. Szajowski. Markov stopping games with random priority. ZOR- Mathematical Methods of Operations Research, 39:69–84, 1994. MR 1268636

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.