Numerical detection of bifurcation point in the curve

• Autorzy: Gulgowski J.

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v43i1.577

Warianty tytułu

PL

Metoda wykrywania sympleksów bifurkacji na krzywej

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We are presenting a numerical method which detects the presence and position of a bifurcation simplex, the regular -dimensional simplex, which may be considered as "fat bifurcation point", in the curve of zeroes of the C¹ map f : R^k+1 → R^k. On the other hand the bifurcation simplex appears in the neighbourhood of the bifurcation point, meaning that we have the method to locate the bifurcation point as well. The method does not require any estimation of the derivative of the function and refers to the values of the map only in the vertices of certain triangulation. The bifurcation simplex is detected by change of the Brouwer degree value of the restriction of the map to the appropriate -simplex.

PL

W pracy podany jest opis metody numerycznej wykrywającej sympleksy bifurkacji, foremne (k + 1)-wymiarowe sympleksy, które można uważać za ”pogrubione punkty bifurkacji”, leżące na krzywej zawierającej zera odwzorowania klasy C¹ f : R^k+1 → R^k. Sympleksy bifurkacji znajdują się (zwykle) w pobliżu punktów bifurkacji, co oznacza, że podana metoda pozwala zlokalizować przybliżone położenie punktów bifurkacji leżących na krzywej w zbiorze zer odwzorowania f. Podana metoda nie wymaga żadnych oszacowań na pochodną odwzorowania f – odwołuje się jedynie do wartości odwzorowania f w wierzchołkach sympleksów pewnej triangulacji przestrzeni R^k+1. Sympleks bifurkacji wykrywany jest poprzez zmianę wartości stopnia topologicznego (stopnia Brouwera) na odpowiednich obcięciach f do k-wymiarowych sympleksów zawartych w przestrzeni R^k+1.

Słowa kluczowe

EN

path following algorithm; bifurcation point; bifurcation simplex

PL

algorytmy śledzenia krzywych; punkt bifurkacji; sympleks bifurkacji

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2015
• Tom: Vol. 43, No. 1
• Strony: 3--18
• Opis fizyczny: Bibliogr. 10 poz., rys., wykr.

Twórcy

autor

Gulgowski J.

• University of Gdańsk, Institute of Mathematics, ul. Wita Stwosza 57, 80-952 Gdańsk, Poland

Bibliografia

• [1] E. L. Allgower, K. Georg, Introduction to Numerical Continuation Methods, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. doi: 10.1137/1.9780898719154
• [2] E. L. Allgower, K. Georg, Continuation and Path Following, Acta Numerica, Vol. 2, pp. 1 - 64, 1993. doi: 10.1017/S0962492900002336
• [3] N-S. Chow, J.K. Hale, Methods of bifurcation theory, Springer Verlag, 1982. doi:10.1007/978-1-4613-8159-4
• [4] Crandall, Rabinowitz, Bifurcation from simple eigenvalue, J. Func. Analysis 8, 321–340 (1971), doi: 10.1016/0022-1236(71)90015-2
• [5] Crandall, Rabinowitz, Bifurcation, Perturbation of Simple Eigenvalues, and Linearized Stability, Archive for Rational Mechanics and Analysis 21. XI. 1973, Volume 52, Issue 2, pp 161-180, doi: 10.1007/BF00282325
• [6] J. Gulgowski, J.J. Michalski, Topological attitude towards path following, applied to localization of complex dispersion characteristics for a lossy microwave, ferrite-coupled transmission line, IMA J. Appl. Math., 80 (2015), no. 2, 494–507. doi: 10.1093/imamat/hxt055
• [7] W. Krawcewicz, J. Wu, Theory of Degrees, with Applications to Bifurcations and Differential Equations, Wiley-Interscience (1997). MR 1426128
• [8] V.K.Le, K. Schmitt: Global Bifurcation in Variational Inequalities, Springer-Verlag, New York, 1997 MR 1438548
• [9] L. Nirenberg, Topics in nonlinear functional analysis., Courant Institute of Mathematical Sciences New York University, New York (1974). MR 1850453
• [10] P. Liu, J. Shi, Y. Wang, Bifurcation from a degenerate simple eigenvalue, J. Func. Analysis 264 (2013), pp 2269-2299. doi: 10.1016/j.jfa.2013.02.010