Periodic Ateb-functions and the van der Pol method for constructing solutions of two-dimensional nonlinear oscillations models of elastic bodies

• Autorzy: Romanchuk Yaroslav , Sokil Mariia B. , Polishchuk Leonid K.

Identyfikatory

DOI

10.35784/iapgos.6377

Warianty tytułu

PL

Okresowe funkcje Ateb i metoda van der Pola do konstruowania rozwiązań dwuwymiarowych nieliniowych modeli oscylacji ciał sprężystych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In the process of operation, the simplest elements (hereinafter elastic bodies) of machines and mechanisms under the influence of external and internal factors carry out complex oscillations ‒ a combination of longitudinal, bending and torsion combinations in various combinations. In general, mathematical models of the process of such complex phenomena in elastic bodies, even for one-dimensional calculation models, are boundary value problems for systems of partial differential equations. A two-dimensional mathematical model of oscillatory processes in a nonlinear elastic body is considered. A method of constructing an analytical solution of the corresponding boundary-value problems for nonlinear partial differential equations is proposed, which is based on the use of Ateba functions, the van der Pol method, ideas of asymptotic integration, and the principle of single-frequency oscillations. For "undisturbed" analogues of the model equations, single-frequency solutions were obtained in an explicit form, and for "perturbed" ‒ analytical dependences of the basic parameters of the oscillation process on a small perturbation. The dependence of the main frequency of oscillations on the amplitude and non-linearity parameter of elastic properties in the case of single-frequency oscillations of "unperturbed motion" is established. An asymptotic approximation of the solution of the autonomous "perturbed" problem is constructed. Graphs of changes in amplitude and frequency of oscillations depending on the values of the system parameters are given.

PL

W procesie eksploatacji, najprostsze elementy (zwane dalej ciałami sprężystymi) maszyn i mechanizmów pod wpływem czynników zewnętrznych i wewnętrznych wykonują złożone oscylacje – wzdłużne, zginające i skręcające w różnych kombinacjach. Ogólnie rzecz biorąc, modele matematyczne procesu takich złożonych zjawisk w ciałach sprężystych, nawet dla jednowymiarowych modeli obliczeniowych, są problemami wartości brzegowych dla układów równań różniczkowych cząstkowych. Rozważany jest dwuwymiarowy model matematyczny procesów oscylacyjnych w nieliniowym ciele sprężystym. Zaproponowano metodę konstruowania analitycznego rozwiązania odpowiednich problemów wartości brzegowych dla nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych, która opiera się na wykorzystaniu funkcji Ateba, metody van der Pola, idei całkowania asymptotycznego oraz zasady oscylacji jednoczęstotliwościowych. Dla „niezaburzonych” analogów równań modelu uzyskano rozwiązania jednoczęstotliwościowe w postaci jawnej, a dla „zaburzonych” – analityczne zależności podstawowych parametrów procesu oscylacji od niewielkiej perturbacji. Ustalono zależność głównej częstotliwości oscylacji od amplitudy i parametru nieliniowości właściwości sprężystych w przypadku jednoczęstotliwościowych oscylacji „ruchu niezaburzonego”. Skonstruowano asymptotyczne przybliżenie rozwiązania autonomicznego problemu „zaburzonego”. Podano wykresy zmian amplitudy i częstotliwości oscylacji w zależności od wartości parametrów układu.

Słowa kluczowe

EN

oscillations; nonlinear elastic bodies; two-dimensional mathematical model

PL

oscylacje; nieliniowe ciała sprężyste; dwuwymiarowy model matematyczny

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej
• Czasopismo: Informatyka, Automatyka, Pomiary w Gospodarce i Ochronie Środowiska
• Rocznik: 2024
• Tom: T. 14, nr 3
• Strony: 15--20
• Opis fizyczny: Bibliogr. 27 poz., rys., wykr.

Twórcy

autor

Romanchuk Yaroslav

• Hetman Petro Sahaidachny National Army Academy, Lviv, Ukraine

• https://orcid.org/0000-0003-3993-0128

autor

Sokil Mariia B.

• Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine

• https://orcid.org/0000-0003-3352-2131

autor

Polishchuk Leonid K.

• Vinnytsia National Technical University, Vinnytsia, Ukraine

• https://orcid.org/0000-0002-5916-2413

Bibliografia

• [1] Andrukhiv A., Huzyk N., Sokil B., Sokil M.: Methodology of investigation the dynamics of longitudinally moving systems under the action of impulse perturbations. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2023, 012005 [https://doi.org/10.1088/1757-899X/1277/1/012005].
• [2] Andrukhiv A. et al.: Methodology for increasing the efficiency of dynamic process calculations in elastic elements of complex engineering constructions. Electronics (Switzerland) 10(1), 2021, 1–20 [https://doi.org/10.3390/electronics10010040].
• [3] Andrukhiv V. et al.: Influence of Impulse Disturbances on Oscillations of Nonlinearly. Elastic Bodies. Mathematics 9(8), 2021, 1–13 [https://doi.org/10.3390/math9080819].
• [4] Chen L.-Q.: Analysis and control of transverse vibrations of axially moving strings. Appl. Mech. Rev. 58(2), 2005, 91–116 [https://doi.org/10.1115/1.1849169].
• [5] Chen L.-Q., Wang B., Ding H.: Nonlinear parametric vibration of axially moving beams: asymptotic analysis and differential quadrature verification. Journal of Physics: Conference, Series 181, 2009, 1–8 [https://doi.org/10.1088/1742-6596/181/1/012008].
• [6] Cveticanin L:. Period of vibration of axially vibrating truly nonlinear rod. Journal of Sound and Vibration 74, 2016, 199–210.
• [7] Cveticanin L.: Strong Nonlinear Oscillator – Analytical Solutions. Mathematical Engineering. Springer, 2018.
• [8] Cveticanin L., Pogany T.: Oscillator with a sum of non-integer orders non-linearity. Journal of Applied Mathematics, 2012, 649050.
• [9] Delta Function. Mathematics. [Electronic resource]. Available online: https://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html (accessed on 12 June 2023).
• [10] Gendelman O., Vakakis A.: FTransitions from localization to nonlocalization in strongly nonlinear damped oscillators. Chaos, Solitons and Fractals 11(10), 2000, 1535–1542.
• [11] Huzyk N. et al.: On the external and internal resonance phenomena of the elastic bodies with the complex oscillations. Mathematical modeling and computing 9(1), 2022, 152–158 [https://doi.org/10.23939/mmc2022.01.152].
• [12] Kapustyan O. V., Perestyuk M. O., Stenzhytskyi O. M.: Extreme problems: theory, examples and methods of solving. Kyiv University Publishing and Printing Center, 2019.
• [13] Kharchenko E. V., Sokil M. B.: Oscillations of moving nonlinearly elastic media and the asymptotic method in their study. Scientific bulletin of the National Forestry University of Ukraine 16(1), 2006, 134–138.
• [14] Myshkis A. D., Filimonov A. M.: Periodic oscillations in nonlinear one-dimensional continuous media. Proceedings of the IX International Conference on nonlinear oscillations, 1984, 274–276.
• [15] Mytropolskyi Yu. O.: On construction of asymptotic solution of the perturbed Klein-Gordon equation. Ukrainian Mathematical Journal 47(9), 1995, 1378–1386.
• [16] Nazarkevych M.: Study of dependencies of Beta- and Ateb-functions. Bulletin of the Lviv Polytechnic National University 732, 2012, 207–216.
• [17] Olshansky V. P., Olshansky S. V., Tyshchenko L. M.: Dynamics of dissipative oscillators. City print, Kharkiv 2016.
• [18] Perestyuk M. O., Chernikova O. S.: Some modern aspects of the asymptotic of the differential equations theory with impulse action. Ukrainian Mathematical Journal 60(1), 2008, 81–90.
• [19] Polishchuk L., Mamyrbayev O., Gromaszek K.: Mechatronic Systems II. Applications in Material Handling Processes and Robotics. Taylor & Francis Group – CRC Press, Boca Raton, London, New York, Leiden, 2021.
• [20] Polishchuk L., Bilyy O., Kharchenko Y.: Prediction of the propagation of crack-like defects in profile elements of the boom of stack discharge conveyor Eastern-European Journal of Enterprise Technologies 6(1), 2016, 44–52.
• [21] Shatokhin V. et al.: Vibration diagnostic of wear for cylinder-piston couples of pumps of a radial piston hydromachine, Mechatronic Systems I. Applications in Transport, Logistics, Diagnostics and Control, Taylor & Francis Group, CRC Press, Balkema book London, New York, 2021, 39–52.
• [22] Senyk P. M.: Inverse of the incomplete Beta function. Ukrainian Mathematical Journal 21(3), 1969, 325–333.
• [23] Sokil B. І.: On asymptotic expansions of a boundary value problem for a nonlinear partial differential equation]. Ukrainian Mathematical Journal 34(6), 1982, 803–805.
• [24] Sokil B. І.: About one method of constructing single-frequency solutions for a nonlinear wave equation. Ukrainian Mathematical Journal 46(6), 1994, 782–785.
• [25] Sokil B. І. et al.: Asymptotic method and wave theory of motion in studying the effect of periodic impulse forces on systems characterized by longitudinal motion velocity. Mathematical modeling and computing 9(4), 2022, 909–920.
• [26] Wójcik W, Pavlov S., Kalimoldayev M.: Mechatronic Systems I. Applications in Transport, Logistics, Diagnostics and Control. Taylor & Francis Group – CRC Press, London, New York, 2021.
• [27] Zinkovskii A. et al.: Finite element model for analys of characteristics of shrouded rotor blade vibrations, Informatyka, Automatyka, Pomiary w Gospodarce i Ochronie Srodowiska – IAPGOS 12(4), 2022, 11–16.