Discussion on angular asymmetry in the solutions of SLIP model

• Autorzy: Kowalczyk Piotr , Płociniczak Łukasz , Wróblewska Zofia

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v51i2.7194

Warianty tytułu

PL

Dyskusja na temat asymetrii kątowej w rozwiązaniach modelu SLIP

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We consider a spring-mass model of human running which is built upon an inverted elastic pendulum. The model itself consists of two sets of differential equations - one set describes the motion of the centre of mass of a runner in contact with the ground (support phase), and the second set describes the phase of no contact with the ground (flight phase). In our previous approach, we assumed that periodic solutions in the support phase are symmetrical with respect to the touch-down and take-off angles for the large spring constant (or small angle of attack). Based on proposed solutions, we introduce analytical approximations of an asymmetrical boundary value problem, which brings our model closer to real running. By appropriately concatenating asymptotic solutions for the two gait phases, we are able to reduce the dynamics to a one-dimensional apex to apex return map and then to investigate the existence and stability of periodic solutions. Unlike in the symmetrical version, we could not find sufficient conditions for this map to have a unique stable fixed point. Extending the model with the possibility of taking off with the angle other than during landing, the aforementioned asymmetry, is necessary in the context of real run considerations. Thanks to this, our work could be enriched by experimental results. In this paper, we will present the possible reasons for the instability of asymmetric solutions in conjunction with conclusions from the observation of real runs.

PL

W pracy rozważamy model biegu, w którym człowiek sprowadzony jest do punktu masy na nieważkiej sprężynie, a momencie kontaktu z podłożem staje się odwróconym sprężystym wahadłem. Sam model składa się z dwóch zestawów równań różniczkowych - jedno opisuje ruch środka masy biegacza podczas kontaktu stopy z podłożem (faza podparcia), a drugi fazę lotu. W naszym poprzednim podejściu zakładaliśmy, że rozwiązania okresowe w fazie podparcia są symetryczne względem kątów lądowania i odbicia dla dużej wartości sztywności nogi (lub małego kąta ataku). Na podstawie proponowanych rozwiązań wprowadzamy analityczne przybliżenia asymetrycznego problemu brzegowego, co zbliża nasz model do rzeczywistego biegu. Odpowiednio łącząc asymptotyczne rozwiązania dla obu faz biegu, jesteśmy w stanie zredukować dynamikę do jednego wymiaru i utworzyć odwzorowanie powrotu od wierzchołka do kolejnego wierzchołka praboli lotu, a następnie badać istnienie i stabilność rozwiązań okresowych. W odróżnieniu od wersji symetrycznej, nie mogliśmy znaleźć wystarczających warunków, aby to odwzorowanie miało jednoznacznie określony stabilny punkt stały. Rozszerzenie modelu o możliwość odbicia pod innym kątem, niż podczas lądowania (asymetria), jest konieczne w kontekście rozważań nad rzeczywistym biegiem. Dzięki temu nasza praca mogła zostać wzbogacona o wyniki eksperymentalne. W tym artykule przedstawimy możliwe przyczyny niestabilności asymetrycznych rozwiązań w połączeniu z wnioskami z obserwacji rzeczywistych biegów.

Słowa kluczowe

EN

spring-mass model; running; approximate solution; fixed point

PL

model masy sprężynowej; bieganie; rozwiązanie przybliżone; punkt stały

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2023
• Tom: Vol. 51, no. 2
• Strony: 223--237
• Opis fizyczny: Bibliogr. 23 poz., rys.

Twórcy

autor

Kowalczyk Piotr

• Wrocław University of Science and Technology Faculty of Pure and Applied Mathematics Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, Poland

• https://orcid.org/0000-0001-8238-245X+

autor

Płociniczak Łukasz

• Wrocław University of Science and Technology Faculty of Pure and Applied Mathematics Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, Poland

• https://orcid.org/0000-0003-0005-4845+

autor

Wróblewska Zofia

• Wrocław University of Science and Technology Faculty of Pure and Applied Mathematics Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, Poland

• https://orcid.org/0000-0002-1001-8306+

Bibliografia

• [1] A. Arampatzis, G.-P. Brüggemann, and V. Metzler. The effect of speed on leg stiffness and joint kinetics in human running. Journal of Biomechanics, 32:1349–1353, 1999.
• [2] S. I. Balandin, I. Y. Balandina, D. S. Zayko, and I. V. Dmitriev. Biomechanical parameters of running technique in the distance of sprinter finalists of the world championship. Theory and Practice of Physical Culture, 8:3–5, Aug. 2022.
• [3] R. Blickhan. The spring-mass model for running and hopping. Journal of Biomechanics, 22(11/12):1217–1227, 1989.
• [4] M. Brughelli and J. Cronin. Influence of running velocity on vertical, leg and joint stiffness. Sports Medicine, 8(38):647–657, 2008.
• [5] M. Brughelli, J. Cronin, and A. Chaouachi. Effects of running velocity on running kinetics and kinematics. Journal of Strength and Conditioning Research, 25(4):933–939, 2011.
• [6] S. R. Bullimore and J. F. Burn. Ability of the planar spring-mass model to predict mechanical parameters in running humans. Journal of Theoretical Biology, 248:686–695, 2007.
• [7] G. A. Cavagna. The two asymmetries of the bouncing step. European Journal of Applied Physiology, 19(107):739, 2009.
• [8] G. A. Cavagna, F. P. Saibene, and R. Margaria. Mechanical work in running. Journal of Applied Physiology, 19(2):249–256, 1964.
• [9] M. Chan-Roper, I. Hunter, J. W. Myrer, D. L. Eggett, and M. K. Seeley. Kinematic changes during a marathon for fast and slow runners. Journal of Sports Science and Medicine, 11(1):77–82, 2012.
• [10] D. P. Ferris, M. Louie, and C. T. Farley. Running in the real world: adjusting leg stiffness for different surfaces. The Royal Society, 265:989–993, 1998.
• [11] F. García-Pinillos, A. Cartón-Llorente, D. Jaén-Carrillo, P. Delgado-Floody, V. Carrasco-Alarcóna, C. Martínez, and L. E. Roche-Seruendo. Does fatigue alter step characteristics and stiffness during running? Gait & Posture, 76:259–263, 2020.
• [12] H. Geyer, A. Seyfarth, and R. Blickhan. Spring-mass running: simple approximate solution and application to gait stability. Journal of Theoretical Biology, 232:315–328, 2005.
• [13] M. Ghigliazza, R. Altendorfer, P. Holmes, and D. Koditschek. A simply stabilized running model. SIAM J. Applied Dynamical Systems, 2(2):187–218, 2009.
• [14] H. Knuesel, H. Geyer, and A. Seyfarth. Influence of swing leg movement on running stability. Human Movement Science, 24:532–543, 2005.
• [15] P. Kowalczyk, Ł. Płociniczak, and Z. Wróblewska. Energy variations and periodic solutions in a switched inverted pendulum model of human running gaits. Physica D, 443:12, 2023.
• [16] T. A. McMahon and G. C. Cheng. The mechanics of running: How does stiffness couple with speed? Journal of Biomechanic, 23(1):65–78, 1990.
• [17] J.-B. Morin, G. Dalleau, H. Kyröläinen, T. Jeannin, and A. Belli. A simple method for measuring stiffness during running. Journal of Applied Biomechanics, 21:167–180, 2005.
• [18] H. Okrasińska-Płociniczak and Ł. Płociniczak. Asymptotic solution of a boundary value problem for a spring-mass model of legged locomotion. J. Nonlinear Sci., 30(6):2971–2988, 2020.
• [19] Ł. Płociniczak and Z. Wróblewska. Solution and asymptotic analysis of a boundary value problem in the spring-mass model of running. Nonlinear Dyn., 99(4):2693–2705, 2020.
• [20] A. Seyfarth, H. Geyer, M. Günther, and R. Blickhan. A movement criterion for running. Journal of Biomechanics, 35:649–655, 2002.
• [21] Z. Wróblewska. Approximate solutions and numerical analysis of a spring-mass running model. Math. Appl., 48(1):25–48, 2020.
• [22] Z. Wróblewska, P. Kowalczyk, and K. Przednowek. Leg stiffness and energy in stable human running gaits. unpublished, submitted to Sports Engineering, 2023.
• [23] Z. Wróblewska, P. Kowalczyk, and Ł. Płociniczak. Stability of fixed points in an approximate solution of the spring-mass running model. IMA J. Appl. Math., 88(3):429–454, 2023.

Uwagi

PL

Opracowanie rekordu ze środków MNiSW, umowa nr SONP/SP/546092/2022 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2024).