The synthesis of mathematical models of nonlinear dynamic systems using Volterra integral equation

• Autorzy: Mokin Boris I. , Mokin Vitalii B. , Mokin Oleksander B. , Mamyrbayev Orken , Smailova Saule

Identyfikatory

DOI

10.35784/iapgos.2947

Warianty tytułu

PL

Synteza matematycznych modeli nieliniowych układów dynamicznych z wykorzystaniem równania całkowego Volterry

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The problem of creating mathematical models of nonlinear dynamical systems does not have an unambiguous solution and requires the creation of a separate synthesis method for each such object. To develop a method for synthesizing mathematical models of an extensive class of nonlinear dynamical systems with polynomial nonlinearities. The work uses a method based on the solution of the Volterra integral equation in the ideology set forth in Van Trees H.L., according to which the structure of a nonlinear dynamical object present47s a series connection of the linear part, characterizing the inertial properties of the system, and the nonlinear element, given by static characteristic. The difference of the suggested version of the method from the classical one, proposed in the works of Van Trees H.L., is an expansion of their input and output signals into Fourier series and a representation of the inertial part of these systems by their Bode plots, connected into one structure with input and output signals and non-linearity by Volterra integral equation. The algorithm of the proposed method is disclosed by the example of solving the problem of identifying a nonlinear dynamical system which impulse response of the inertial part satisfies the separability requirement, the order of the polynomial nonlinearity is three, and the model of the input signal has the form of a sinusoid "raised" over the time axis on a priori given constant level. A computational experiment was carried out on the example of nonlinear dynamical systems with the third order of the nonlinear characteristic and the first and second orders of the model of the inertial part of these systems with the specified algorithms of their parametric identification. The suggested method allows to synthesis the mathematical model of a nonlinear dynamical system with the polynomial static characteristic to the case when the input signal has an arbitrary number of harmonics, and the model of the inertial part and the nonlinear polynomial function have an arbitrary order.

PL

Problem tworzenia modeli matematycznych nieliniowych układów dynamicznych nie ma jednoznacznego rozwiązania i wymaga stworzenia odrębnej metody syntezy dla każdego takiego obiektu. Celem pracy jest opracowanie metody syntezy modeli matematycznych rozległej klasy nieliniowych układów dynamicznych o wielomianowej nieliniowości. W pracy zastosowano metodę opartą na rozwiązaniu całkowego równania Volterry w ideologii przedstawionej przez Van Trees H.L., zgodnie z którą struktura nieliniowego obiektu dynamicznego przedstawia szeregowe połączenie części liniowej, charakteryzującej własności inercyjne układu, oraz elementu nieliniowego, zadanego charakterystyką statyczną. Różnica proponowanej wersji metody od klasycznej, zaproponowanej w pracach Van Treesa H.L., polega na rozwinięciu sygnałów wejściowych i wyjściowych w szeregi Fouriera oraz przedstawieniu części inercyjnej tych układów za pomocą ich charakterystyk Bodego, połączonych w jedną strukturę z sygnałami wejściowymi i wyjściowymi oraz nieliniowością za pomocą całkowego równania Volterry. Algorytm proponowanej metody ujawniono na przykładzie rozwiązania problemu identyfikacji nieliniowego układu dynamicznego, którego odpowiedź impulsowa części inercyjnej spełnia warunek rozdzielności, rząd nieliniowości wielomianowej jest trzeci, a model sygnału wejściowego ma postać sinusoidy "uniesionej" nad osią czasu na zadanym z góry stałym poziomie. Przeprowadzono eksperyment obliczeniowy na przykładzie nieliniowych układów dynamicznych o trzecim rzędzie charakterystyki nieliniowej oraz pierwszego i drugiego rzędu modelu części inercyjnej tych układów z zadanymi algorytmami ich identyfikacji parametrycznej. Zaproponowana metoda pozwala na syntezę modelu matematycznego nieliniowego układu dynamicznego o wielomianowej charakterystyce statycznej dla przypadku, gdy sygnał wejściowy ma dowolną liczbę harmonicznych, a model części inercyjnej i nieliniowa funkcja wielomianowa mają dowolny rząd.

Słowa kluczowe

EN

nonlinear dynamical system; mathematical model; polynomial nonlinearity function; Bode plot; Fourier series; Volterra integral equation

PL

nieliniowy układ dynamiczny; model matematyczny; wielomianowa funkcja nieliniowości; charakterystyki Bodego; szereg Fouriera; równanie całkowe Volterry

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej
• Czasopismo: Informatyka, Automatyka, Pomiary w Gospodarce i Ochronie Środowiska
• Rocznik: 2022
• Tom: T. 12, nr 2
• Strony: 15--19
• Opis fizyczny: Bibliogr. 18 poz.

Twórcy

autor

Mokin Boris I.

• Vinnytsia National Technical University, Faculty of Intelligent Information Technologies and Automation, Vinnytsia, Ukraine

• https://orcid.org/0000-0002-5906-6122

autor

Mokin Vitalii B.

• Vinnytsia National Technical University, Faculty of Intelligent Information Technologies and Automation, Vinnytsia, Ukraine

• https://orcid.org/0000-0003-1946-0202

autor

Mokin Oleksander B.

• Vinnytsia National Technical University, Faculty of Intelligent Information Technologies and Automation, Vinnytsia, Ukraine

• https://orcid.org/0000-0002-9277-3312

autor

Mamyrbayev Orken

• Al Farabi Kazakh National University, Institute of Information and Computer Technologies, Almaty, Kazakhstan

• https://orcid.org/0000-0001-8318-3794

autor

Smailova Saule

• D. Serikbayev East Kazakhstan Technical University, Ust-Kamenogorsk, Kazakhstan

• https://orcid.org/0000-0002-8411-3584

Bibliografia

• [1] Chua L. O., Ng C-Y.: Frequency domain analysis of nonlinear systems: general theory. Electronic Circuits and Systems 3(2), 1979, 165–185.
• [2] Chua L. O., Ng C-Y.: Frequency domain analysis of nonlinear systems: formulation of transfer functions. Electronic Circuits and Systems 3(4), 1979, 257–269.
• [3] Halas M., Huba M., Kotta Ü.: An overview of transfer function formalism for nonlinear systems. Journal of Cybernetics and Informatics 8(3), 2009, 28–35.
• [4] Halas M.: An algebraic framework generalizing the concept of transfer functions to nonlinear systems. Automatica 44(2), 2008, 1181–1190 [http://doi.org/10.1016/j.automatica.2007.09.008].
• [5] Halas М., Kotta Ü.: A transfer function approach to the realization problem of nonlinear systems. International Journal of Control 85(1), 2012, 320–331 [http://doi.org/10.1080/00207179.2011.651748].
• [6] Kerschen G., Worden K., Vakakis A. F. et al.: Past, present and future of nonlinear system identification in structural dynamics. Mechanical Systems and Signal Processing 20(3), 2006, 505–592 [http://doi.org/10.1016/j.ymssp.2005.04.008].
• [7] Mokin A. B., Mokin V. B., Mokin B. I. et al.: Determining the Conditions and Designing the Methods for Description of Processes in Complex Dynamic Objects by Equivalent Models not Higher than the Third-Order. Journal of Automation and Information Sciences 48(3), 2016, 83–97 [http://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.90].
• [8] Mokin B. I., Mokin O. B.: The Fourier Integral Method in the Problems of Identification and Input Signal Renewal of Nonlinear Dynamical Systems. Visnyk of Vinnytsia Polytechnical Institute 3, 2000, 107–112.
• [9] Mokin B. I.: Vossstanovleniye vkhodnykh signalov snelineynymi kharakteristikami preobrazovaniya. Metody teorii identifikatsii v zadachakh izmeritel'noy tekhniki i metrologii: III Vsesoyuznyy simpozium. 1982, 207– 209.
• [10] Mokin O. B., Mokin B. I., Khomiuk Ya. V.: Conditions of Equivalentiation of Nonlinear Dynamic Systems with Power Nonlinearities in the Frequency Domain. Visnyk of Vinnytsia Polytechnical Institute 5, 2016, 40–44.
• [11] Mokin O. B., Mokin B. I.: Modeling and optimization of movement of multi-mass electric vehicles with difficult terrain surfaces. Vinnytsia National Technical University, Vinnytsia 2013.
• [12] Mokin O. B., Mokin B. I.: Renewal of input signals of nonlinear Measuring converters by Fourier-integral method. International Measurement Confederation (IMEKO): XVII World Congress of the (Metrology in the 3rd Millennium), Dubrovnik 2003, 468–471.
• [13] Nassirharand А., Mousavi Firdeh S.R.: Design of nonlinear controllers using describing functions with application to servomechanism. Asian Journal of Control 11(3), 2009, 446–450.
• [14] Nassirharand А., Mousavi Firdeh S.R.: Design of nonlinear lead and/or lag compensators. International Journal of Control, Automation and Systems 6(3), 2008, 394–400.
• [15] Nassirharand А., Teh S.H.: Describing function-based identification of nonlinear transfer functions for nonlinear systems from experimental/simulation data. Int. J. Modelling, Identification and Control 25(2), 2016, 93–101 [http://doi.org/10.1504/IJMIC.2016.075270].
• [16] Pavlenko V. Speranskyy V.: Polyharmonic test signals application for identification of nonlinear dynamical systems based on volterra model. International Conference on Information and Telecommunication Technologies and Radio Electronics (UkrMiCo), 2017, 1–5 [http://doi.org/10.1109/UkrMiCo.2017.8095372].
• [17] Rijlaarsdam D., Nuij P., Schoukens J., Steinbuch M.: A comparative overview of frequency domain methods for nonlinear systems. Mechatronics 42, 2017, 11–24 [http://doi.org/10.1016/j.mechatronics.2016.12.008].
• [18] Van Trees H. L.: Synthesis of Optimum Non-Linear Control Systems. Massachusetts Inst. of Technology, Cambridge 1962.

Uwagi

Opracowanie rekordu ze środków MEiN, umowa nr SONP/SP/546092/2022 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2022-2023).