Random walks on the nonnegative integers with a left-bounded generator

• Autorzy: Delorme C. , Rinkel M.
• Języki publikacji: EN

Abstrakty

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This paper studies the random walks S₀ +ΣX_i on the nonnegative integers, where the Xi’s are independent identically distributed random variables with generating function of type Φ(z) =Σ_i≥-s ^ciz, s a positive integer, with a convergence radius greater than 1. We infer from a link between the number of zeros of z 7→ 1 − Φ(z) inside the unit disc and inf X_i a factorisation of the symbol f(θ) = 1 − Φ(e^iθ) which allows a geometrical computation of the potentials associated with these random walks. Examples illustrate this theory.

Słowa kluczowe

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potentials; random walks; Toeplitz matrices

• Wydawca: Wrocław University of Science and Technology
• Czasopismo: Probability and Mathematical Statistics
• Rocznik: 2011
• Tom: Vol. 31, Fasc. 1
• Strony: 119--139
• Opis fizyczny: Bibliogr. 17 poz., tab.

Twórcy

autor

Delorme C.

• LRI, Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex France

autor

Rinkel M.

• Département de Mathématiques, Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex France

Bibliografia

• [1] A. Böttcher and B. Silbermann, Analysis of Toeplitz Operators, Springer, 1990.
• [2] A. Böttcher and B. Silbermann, Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices, Springer, 1998.
• [3] H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann, Paris 1972.
• [4] J. Chanzy, Inverse du Laplacien discret dans le problème de Poisson-Dirichlet à deux dimensions sur un rectangle, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 15 (2006), pp. 485-552.
• [5] C. Delorme and J.-M. Rinkel, About the generating function of a left-bounded integervalued random variable, Bull. Soc. Math. France 136 (4) (2008), pp. 565-573.
• [6] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Applications, Wiley, New York 1966.
• [7] H. Kesten, Random walk with absorbing barriers and Toeplitz forms, Illinois J. Math. 5 (1961), pp. 267-290.
• [8] H. Minc, Nonnegative Matrices, Wiley-Interscience, 1988.
• [9] P. Rambour and J.-M. Rinkel, Application of the exact inverse of the Toeplitz matrix with singular rational symbol to random walks, Probab. Math. Statist. 25 (2005), pp. 183-195.
• [10] P. Rambour and J.-M. Rinkel, Un théorème de Spitzer-Stone fort pour une matrice de Toeplitz à symbole singulier défini par une classe de fonctions analytiques, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 2 (2007), pp. 331-367.
• [11] P. Rambour and J.-M. Rinkel, Calculs exacts et asymptotiques de potentiels de marches aléatoires dans le plan et application au nombre de collisions, Ann. Sci. Math. Québec 32 (1) (2008), pp. 63-104.
• [12] P. Rambour and A. Seghier, Une extension d’un résultat de Szegö sur les valeurs propres des matrices de Toeplitz, Bull. Sci. Math. France 131 (2007), pp. 258-275.
• [13] J.-M. Rinkel, Inverses et propriétés spectrales des matrices de Toeplitz à symbole singulier, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 11 (2002), pp. 71-103.
• [14] W. Rudin, Real and Complex Analysis, third edition, McGraw-Hill, New York 1974.
• [15] A. Seghier, Inversion de la matrice de Toeplitz en d-dimension et développement asymptotique de la trace de l’inverse à l’ordre d, J. Funct. Anal. 67 (1986), pp. 380-412.
• [16] F. Spitzer, Principles of Random Walk, second edition, Springer, 2001.
• [17] F. L. Spitzer and C. J. Stone, A class of Toeplitz forms and their applications to probability theory, Illinois J. Math. 4 (1960), pp. 253-277.