Why must we work in the phase space?

Sławianowski, J. J.; Schroeck Jr, F. E.; Martens, A.

Artykuł - szczegóły

Tytuł artykułu

Why must we work in the phase space?

Autorzy

Sławianowski J. J. , Schroeck Jr F. E. , Martens A.

Treść / Zawartość

Pełne teksty:

IPPT_Reports_2016_1 Jan J. Slawianowski, Frank E. Schroeck Jr., A. Martens, 11 May 2016.pdf

Pobierz

Identyfikatory

Warianty tytułu

Języki publikacji

Abstrakty

We are going to prove that the phase-space description is fundamental both in the classical and quantum physics. It is shown that many problems in statistical mechanics, quantum mechanics, quasi-classical theory and in the theory of integrable systems may be well-formulated only in the phase-space language. There are some misunderstandings and confusions concerning the concept of induced probability and entropy on the submanifolds of the phase space. First of all, they are restricted only to hypersurfaces in the phase space, i.e., to the manifolds of the defect of dimension equal to one. But what is more important, it was assumed there that the phase-space geometry was metrical-Euclidean and the resulting metric geometry of the microcanonical ensemble was obtained by the reduction of the primary Euclidean geometry to the corresponding submanifold. But it is well-known that the phase-space manifold has no natural metric geometry and that all concepts to be used must be of symplectic origin. Otherwise they are just accidental or artificial. So, instead we show that even if the configuration space is endowed with some metric, then in general the true geometry of submanifolds in the corresponding cotangent bundle (phase-space) is of different origin which has nothing to do with the mentioned configuration space Riemannian geometry, instead it is of purely symplectic origin. And this is sufficient to constructing microcanonical ensemble and entropy concepts. In any case, the purely symplectic phase-space geometry is sufficient to obtain everything within the completely metric-free language.

Chcemy wykazać, że opis zjawisk mechanicznych oparty na pojęciu przestrzeni fazowej jest fundamentalny zarówno z klasycznego jak i kwantowego punktu widzenia. Pokazujemy, że liczne problemy mechaniki statystycznej, teorii kwantów i mechaniki quasiklasycznej oraz teorii układów całkowalnych mogą być dobrze sformułowane wyłącznie w języku symplektycznej przestrzeni fazowej. Istnieje mnóstwo nieporozumień czy wręcz błędów dotyczących pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego i entropii w przypadku podrozmaitości przestrzeni fazowej. Przede wszystkim są one zazwyczaj definiowane dla przypadku powierzchni o defekcie wymiaru jeden. Co jednak dużo ważniejsze, zwykle zakłada się, że przestrzeń fazowa ma jednocześnie metryczną geometrię Euklidesową. Geometria metryczna podrozmaitości, używana w konstrukcji zespołu mikrokanonicznego, jest otrzymywana jako redukcja, ograniczenie pierwotnej geometrii Euklidesowej. Wiadomo jednak, że rozmaitość przestrzeni fazowej nie ma żadnej „wrodzonej” geometrii metrycznej i że wszystkie podstawowe pojęcia, wyjąwszy dynamikę konkretnych modeli, muszą mieć czysto symplektyczną genezę. W przeciwnym wypadku są one przypadkowe lub wręcz sztuczne. Zatem, nawet jeśli wyjściowa przestrzeń konfiguracyjna ma zadaną geometrię typu metrycznego, to na ogół właściwa geometria podrozmaitości w wiązce ko-stycznej, przynajmniej ta istotna dla pojęć statystycznych, nie jest związana z metryką konfiguracyjną i ma czysto symplektyczną genezę. I to wystarcza dla skonstruowania pojęcia zespołu mikrokanonicznego i entropii. W każdym razie, czysto symplektyczna geometria przestrzeni fazowej wystarcza do otrzymania pojęć mechaniki statystycznej w obrębie języka całkowicie niemetrycznego. W przypadku, gdy przestrzeń konfiguracyjna jest Euklidesowa, implikowane przez metrykę pojęcia statystyczne pokrywają się z symplektycznymi. W ogólnym wypadku nie musi tak być. Pokazujemy, że pojęcia te dadzą się wprowadzić w języku czysto symplektycznym, niezależnym od metryki konfiguracyjnej. Dotyczy to także uogólnionych rozkładów mikrokanonicznych.

Słowa kluczowe

phase space statistical mechanics quantum mechanics

przestrzeń fazowa mechanika statystyczna mechanika kwantowa

Wydawca

Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN

Czasopismo

IPPT Reports on Fundamental Technological Research

Rocznik

2016

Tom

nr 1

Strony

1--162

Opis fizyczny

Bibliogr. 63 poz.

Twórcy

autor

Sławianowski J. J.

Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk

autor

Schroeck Jr F. E.

Wydział Matematyki, Uniwersytet w Denver

autor

Martens A.

Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk

Bibliografia

1. E. A. Abbott. Flatland: A Romance of Many Dimensions. London: Seely and Co., 1884.
2. R. Abraham and J. E. Marsden. Foundations of Mechanics (second edition). London, Amsterdam, don Mills, Ontario, Sydney, Tokyo: The Benjamin and Cummings Publishing Company, Inc., 1978.
3. S. T. Ali and M. Engliš. Quantization methods: a guide for physicists and analysts. Rev. Math. Phys., 17:391–490, 2005.
4. G. Ali, R. Beneduci, G. Mascali, F. E. Schroeck, Jr., and J. J. Sławianowski. Solid state physics from the mathematicians’ point of view. In preparation.
5. S. T. Ali and E. Prugovečki. Mathematical problems of stochastic quantum mechanics: Harmonic analysis on phase space and quantum geometry. Acta Appl. Math., 6:1–18,1986.
6. V. I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer Graduate Texts in Mechanics, 60. New York: Springer Verlag, 1978.
7. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin. Solid State Physics. Harcourt, 1976.
8. L. Ballentine. Quantum Mechanics: A Modern Development. Singapore, New Jersey, London, Hong-Kong: World Scientific Publishing Co. Ltd., 1998.
9. E. C. Beltrametti and S. Bugajski. A classical extension of quantum mechanics. J. Phys. A.: Math. Gen., 28:3329–3343, 1995.
10. R. Beneduci, J. Brook, R. Curran and F. E. Schroeck, Jr. Classical mechanics in Hilbert space. Part I. Int. J. Theor. Phys., 50:3682–3696, 2011.
11. R. Beneduci, J. Brook, R. Curran and F. E. Schroeck, Jr. Classical mechanics in Hilbert space. Part II. Int. J. Theor. Phys., 50:3697–3723, 2011.
12. F. A. Berezin. General concept of quantization. Comm. Math. Phys., 40(2):153–174, 1975.
13. L. Boltzmann. Über die Beziehung zwischen dem zweiten Haupsatz der mechanischen Wärmtheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wiener Academische Sitz., 1876, publ. 1877; to be found in R.H. Ellis. Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics, 12(61): 373–435, 1985.
14. J. A. Brooke and F. E. Schroeck, Jr. Localization of the photon on phase space. J. Math. Phys., 37:5958–5986, 1996.
15. P. Busch. Informationally complete sets of physical quantities. Int. J. Theor. Phys., 30(9):1217–1227, 1991.
16. P. A. M. Dirac. Generalized Hamiltonian dynamics. Canad. J. Math., 2:129–148, 1950.
17. B. R. Fischer. On the geometric quantization of symplectic Lie group actions. Florida Atlantic University, dissertation, 1995.
18. J. W. Gibbs. Elementary Principles in Statistical Mechanics. Yale University Press, 1902.
19. A. M. Gleason. Measures on the closed subspaces of a Hilbert space. J. Math. Mech., 6:885–893, 1957.
20. V. Guillemin and S. Sternberg. Geometric Asymptotics. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
21. V. Guillemin and S. Sternberg. Symplectic Techniques in Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.
22. R. L. Hudson. When is the Wigner quasi-probability density non-negative? Rep. on Math. Phys., 6(2):249–252, 1974.
23. M. V. Karasev and V. P. Maslov. Nonlinear Poisson Brackets. Geometry and Quantization. Moscow: Nauka, 1991 (in Russian).
24. K. Huang. Statistical Mechanics. New York, London: John Wiley & Sons, Inc., 1963.
25. A. A. Kirillov. Elements of the Theory of Representations. New York: Springer-Verlag, 1976.
26. A. A. Kirillov. Lectures on the Orbit Method. Providence, Rhode Island: Graduate Studies in Mathematics 64, American Mathematical Society, 2004.
27. J. R. Klauder. Beyond Conventional Quantization. New York: Academic Press, 2000.
28. B. O. Koopman. Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 17(5):315–318, 1931.
29. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Statistical Physics. Vol. V, Part I. London: Pergamon Press, 1958.
30. G. W. Mackey. Induced representations of locally compact groups II. Ann. Math., 58:193–221, 1953.
31. G. W. Mackey. The Mathematical Foundation of Quantum Mechanics. New York, Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc., 1963.
32. J. E. Marsden and T. Ratiu. Introduction to Mechanics and Symmetry. New York: Springer, 1994.
33. J. E. Marsden and T. Ratiu. Introduction to Mechanics and Symmetry. A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems (second ed.). New York: Springer, 1999.
34. A. Martens. Dynamics of holonomically constrained affinely-rigid body. Rep. Math. Phys., 49(2/3):295–303, 2002.
35. A. Martens. Quantization of an affinely rigid body with constraints. Rep. Math. Phys., 51(2/3):287–295, 2003.
36. A. Martens. Hamiltonian dynamics of planar affinely-rigid body. J. Nonl. Math. Phys., 11:145–150, Supplement 2004.
37. A. Martens. Quantization of the planar affinely-rigid body. J. Nonl. Math. Phys., 11:151–156, Supplement 2004.
38. A. Martens. Quantization of two-dimensional affine bodies with stabilized dilatations Rep. Math. Phys., 62(2):145–155, 2008.
39. A. Martens and J. J. Sławianowski. Affinely-rigid body and oscillatory dynamical models on GL(2, R). Acta Phys. Pol. B, 41(8):1847–1880, 2010.
40. A. Martens. Test rigid bodies in Riemannian spaces and their quantization. Rep. Math. Phys., 71(3):381–398, 2013.
41. A. Martens. Test affinely-rigid bodies in Riemannian spaces and their quantization. Acta Phys. Pol. B, 46(4):843–862, 2015.
42. E. Prugovečki. Stochastic Quantum Mechanics and Quantum Spacetime. Dordrecht, Boston: D. Reidel, 1984.
43. A. Rubinowicz. Quantum Mechanics. Amsterdam, New York (etc.), Warsaw: Elsevier Pub. Co., PWN-Polish Scientific Publishers, 1968.
44. F. E. Schroeck, Jr. Quantum fields for reproducing kernel Hilbert spaces. Rep. on Math. Phys., 26(2):197–210, 1988.
45. F. E. Schroeck, Jr. Quantum Mechanics on Phase Space. Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1996.
46. F. E. Schroeck, Jr. An Algebra of effects in the formalism of quantum mechanics on phase space. Int. J. Theor. Phys., 44(11):2091–2100, 2005.
47. F. E. Schroeck, Jr. Bloch’s paradox does not appear in quantum mechanics on phase space. J. Phys. A: Math. Theor. 42(15), doi:10.1088/1751-8113/42/15/155301, 2009.
48. F. E. Schroeck, Jr. Probability in the formalism of quantum mechanics on phase space. J. Phys. A: Math. Theor., 45(6), doi:10.1088/1751-8113/45/6/065303, 2012.
49. F. E. Schroeck, Jr. The C* axioms and the phase space formalism of quantum mechanics. In Contributions in Mathematical Physics, a Tribute to Gerard G. Emch, pages 197–212, S.T. Ali and K.B. Sinha, eds. New Delhi: Hindustan Book Agency, 2007.
50. F. E. Schroeck, Jr. The phase space formalism for quantum mechanics and C* axioms. Int. J. Theor. Phys., 47(1):175–184, 2008.
51. S. S. Schweber. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory. New York: Harper & Row, Pubs., Inc., 1961 or 1962.
52. C. E. Shannon. A mathematical theory of communication. Bell System Tech. J., 27(3):379–423, 1948.
53. D. J. Simms and N. M. J. Woodhouse. Lecture Notes in Physics. Berlin, Heidelberg, New York: 53 Springer, 1976.
54. J. C. Slater, Symmetry and energy bands in crystals, Dover Publs. Inc., New York, 151 (1972).
55. J. J. Sławianowski. Geometry of Phase Spaces. Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa: John Wiley & Sons, 1991.
56. J. J. Sławianowski, V. Kovalchuk, A. Martens, B. Gołubowska, and E. E. Rożko. Quasiclassical and quantum systems of angular momentum. Part I. Group algebras as a framework for quantum-mechanical models with symmetries. J. Geom. Symm. Phys., 21:61–94, 2011.
57. J. J. Sławianowski, V. Kovalchuk, A. Martens, B. Gołubowska and E. E. Rożko. Quasiclassical and quantum systems of angular momentum. Part II. Quantum mechanics on Lie groups and methods of group algebras. J. Geom. Symm. Phys., 22:67–94, 2011.
58. J. J. Sławianowski, V. Kovalchuk, A. Martens, B. Gołubowska and E. E. Rożko. Quasiclassical and quantum systems of angular momentum. Part III. Group algebra SU(2), quantum angular momentum and quasiclassical asymptotics. J. Geom. Symm. Phys., 23:59–95, 2011.
59. J. J. Sławianowski, V. Kovalchuk, A. Martens, B. Gołubowska and E. E. Rożko. Essential nonlinearity implied by symmetry group. Problems of affine invariance in mechanics and physics. Discr. Cont. Dyn. Syst. Ser. B, 17(2):699–733, 2012.
60. J. L. Synge. Classical Dynamics. Berlin: Springer Verlag, 1960.
61. J. Śniatycki. Geometric Quantization and Quantum Mechanics. New York: Applied Mathematical Sciences Series of Springer-Verlag, 1980.
62. A. Wehrl. General properties of entropy. Rev. Mod. Phys., 50(2):221–260, 1978.
63. D. N. Zubarev. Nonequilibrium Statistical Thermodynamics. New York: Plenum, 1974.

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.

Typ dokumentu

Bibliografia

Identyfikator YADDA

bwmeta1.element.baztech-c2eee0f4-d397-4244-b65e-e479a3ca0fe4