Analiza modeli całkowania i różniczkowania ułamkowego

• Autorzy: Marushchak Y. , Kopchak B.

Identyfikatory

DOI

10.7862/re.2015.17

Warianty tytułu

EN

Analysis of the model of integration-differential fractional

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W artykule przeanalizowano dokładność modeli ułamkowych członów całkoworóżniczkowych w ujęciu Riemanna, Riemanna-Liouville’a, Grünwald–Letnikov i Oustaloupa względem modelu opracowanego na podstawie przekształcenia Laplace'a jako modelu wzorcowego. Pokazano wady i zalety każdego z tych modeli. Zaproponowano modyfikację aproksymacji Oustaloupa, która pozwala realizować regulatory systemów elektrotechnicznych ułamkowego rzędu przy użyciu mikrokontrolera. Badania prowadzone przez autorów dotyczące możliwości aproksymacji ułamkowych członów transmitancją rzędu całkowitego wykazały, że reprezentacja całkującego członu ułamkowego za pomocą pakietu NINTEGER z dość wysokim rzędem aproksymacji (N≥5) zgadza się z wynikami aproksymacji Oustaloupa. Jednak w pierwszej chwili odpowiedzi jednostkowe zmieniają się skokowo, z czym nie można się zgodzić dla członu całkującego. Aby rozwiązać ten problem zaproponowano modyfikację metody aproksymacji Oustaloupa. Modyfikacja ta polega na tym, że stopień wielomianu licznika jest zmniejszony o jeden. Dla weryfikacji takiego postępowania zostało przeprowadzone badanie możliwości pominięcia jednego zera w transmitancji aproksymacyjnej, albo usunięcia składowej wielomianu licznika najwyższego stopnia s. Wyniki takich badań wykazały korzyść drugiego podejścia. Dokładność modeli NINTEGER i Oustaloupa jest praktycznie jednakowa, tylko model Oustaloupa realizuje się w programie MATLAB, a model NINTEGER w programie MATLAB Simulink. Tym samym wyniki symulacji z wykorzystaniem modelu Oustaloupa znajdują się w pamięci programu MATLAB co ułatwia ich analizę. Należy zaznaczyć, że model Oustaloupa pozwala w dość prosty sposób realizować ułamkowe regulatory wskutek prostoty procedury obliczeń, chociaż dokładność tego modelu nie jest wysoka.

EN

The authors’ research on the possibility of approximation of fractional order units by transfer functions of integer order proved that representation of fractional integral unit in the NINTEGER package with high approximation order (n ≥ 5) is consistent with the results of approximation by Oustoloup transformation. As for the integral unit, there is a leap in its transition function which is not characteristic of integral regulator. To tackle this issue, we have proposed the modification of Oustaloup method, in which the order of a numerator polynomial is reduced by one. With the aim to calculate the accuracy of such representation, the research was done on the possibility of neglecting one zero in the resulting transfer function of integer order by means of reducing the numerator polynomial order by one or by exclusion of the item with the highest degree of s operator. The accuracy of the NINTEGER and Oustaloup models is almost the same, but the Oustaloup method is implemented in MATLAB program while the NINTEGER model is put into effect in MATLAB Simulink. Thus, the simulation results with the use of Oustaloup model are recorded in MATLAB memory, which facilitates their analysis. It should be noted that the Oustaloup method enables to easily implement fractional controllers because of the relative simplicity of calculation procedures, although the accuracy of the model is not high.

Słowa kluczowe

PL

model; całkowanie ułamkowe; różniczkowanie ułamkowe; regulatory; transmitancja ułamkowa; transformacja Laplace'a

EN

model; fractional integration; fractional differentiation; fractional order controllers model; regulators; transmittance fractional; Laplace transform; integrated units; differential units

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej. Elektrotechnika
• Rocznik: 2015
• Tom: z. 34 [292], nr 2
• Strony: 213--222
• Opis fizyczny: Bibliogr. 10 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Marushchak Y.

• Politechnika Rzeszowska, Katedra Elektrotechniki i Podstaw Informatyki, ul. W. Pola 2, 35-959 Rzeszów

autor

Kopchak B.

• Politechnika Lwowska, Katedra Maszyn Elektrycznych. ul. S. Bandery 12, 79-013 Lwów Ukraina

Bibliografia

• [1] Busłowicz M. Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych i ciągłych układów niecałkowitego rzędu. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2010, str. 93-114.
• [2] Duarte Pedro Mata de Oliveira Valerio. Ninteger v 2.3 Fractional control toolbox for Matlab. User and programmer manual. Universidade tecnica de Lisboa instituto superior tecnico. 2005. pp. 96
• [3] Dzieliński A., Sierociuk D., Sarwas G. Some applications of fractional order calculus A. Bulletin Of Polish Academy Of Sciences. Warsaw: Technical Sciences, vol. 58 (4). 2010. pp. 583 – 592.
• [4] Fortuna L., Graziani S., Muscato G., Nunnari G., Porto D. Approximation of HighOrder Lumped Systems by using Non-Integer Order Transfer Functions. Proc. of the 7th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED99). 1999. pp. 2222–2230.
• [5] Leon O. Chua. Fractional order systems. Modeling and control Applications. World scientific series on nonlinear sciences. Series A. vol.72. Chapter 1. Fractional Order Systems. pp. 1-32.
• [6] Maiti D., Biswas S., Konar A. Design of a Fractional Order PID Controller Using Particle Swarm Optimization Technique. Proc. 2nd - National Conference on Recent Trends in Information Systems (ReTIS-08). 2008. p.5.
• [7] Marushchak Y.Y., Kopczak B.L. Ułamkowe standardowe formy stosowane do syntezy systemów elektromechanicznych. Czasopismo „Systemy elektrotechniczne i komputerowe.” Wydanie tematyczne „Problemy Automatyzowanego Napędu Elektrycznego. Teoria i praktyka”. „Technika”. Kijev. Wyd. 15(91). 2014. ss.57-60. (w j.ukrainskim).
• [8] Mehdi Dalir. Application of fractional calculus. Applied Mathematical Sciences, Vol. 4, 2010, pp. 1021-1032.
• [9] Podlubny I. Fractional Differential Equations/Mathematics in Science and Engineering. Vol. 198. Academic Press. 1999. pp. 340.
• [10] Wasilew W.W., Simak L.A.: Ułamkowe obliczenia i metody aproksymacyjne w modeluwaniu systemów dynamicznych, NAN, Kijev, ss. 256. 2008 (w j. rosyjskim).