Investigating the links of internal and external reliability with the system conditionality in Gauss-Markov models with uncorrelated observations

• Autorzy: Prószyński W.

Warianty tytułu

PL

Badanie związków między niezawodnością wewnętrzną i zewnętrzną a uwarunkowaniem układu w modelach Gaussa-Markova z nieskorelowanymi obserwacjami

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The relationship between internal response-based reliability and conditionality is investigated for Gauss-Markov (GM) models with uncorrelated observations. The models with design matrices of full rank and of incomplete rank are taken into consideration. The formulas based on the Singular Value Decomposition (SVD) of the design matrix are derived which clearly indicate that the investigated concepts are independent of each other. The methods are presented of constructing for a given design matrix the matrices equivalent with respect to internal response-based reliability as well as the matrices equivalent with respect to conditionality. To analyze conditionality of GM models, in general being inconsistent systems, a substitute for condition number commonly used in numerical linear algebra is developed, called a pseudo-condition^number. Also on the basis of the SVD a formula for external reliability is proposed, being the 2-norm of a vector of parameter distortions induced by minimal detectable error in a particular observation. For systems with equal nonzero singular values of the design matrix, the formula can be expressed in terms of the index of internal response-based reliability and the pseudo-condition^number. With these measures appearing in explicit form, the formula shows, although only for the above specific systems, the character of the impact of internal response-based reliability and conditionality of the model upon its external reliability. Proofs for complementary properties concerning the pseudo-condition^number and the 2-norm of parameter distortions in systems with minimal constraints are given in the Appendices. Numerical examples are provided to illustrate the theory.

PL

Badany jest związek między niezawodnością wewnętrzną bazującą na odpowiedziach modelu a uwarunkowaniem układu dla modeli Gaussa-Markova z obserwacjami nieskorelowanymi. Rozpatrywane są przy tym modele z macierzami projektu pełnego i niepełnego rzędu. Wzory wyprowadzone przy użyciu rozkładu macierzy ze względu na wartości szczególne (SVD) wskazują wyraźnie, że te dwa badane pojęcia są wzajemnie niezależne. Przedstawione są metody konstruowania dla danej macierzy projektu macierzy równoważnych pod względem niezawodności wewnętrznej oraz macierzy równoważnych pod względem uwarunkowania. Aby umożliwić analizę uwarunkowania modeli GM stanowiących w ogólności układy sprzeczne, wyprowadzono pseudo-wskaźnik zastępujący wskaźnik uwarunkowania układu powszechnie stosowany w numerycznej algebrze liniowej. Także na podstawie rozkładu SVD zaproponowano wzór określający niezawodność zewnętrzną bazujący na 2-giej normie wektora zniekształceń parametrów indukowanych przez minimalny wykrywalny błąd w danej obserwacji. Dla układów z jednakowymi niezerowymi wartościami szczególnymi wzór ten może być wyrażony poprzez wskaźnik niezawodności wewnętrznej oraz pseudo-wskaźnik uwarunkowania. Z tymi miarami występującymi w postaci jawnej, wzór ukazuje, chociaż jedynie dla powyższych specyficznych układów, charakter wpływu niezawodności wewnętrznej i uwarunkowania modelu na jego niezawodność zewnętrzną. Dowody uzupełniających własności dotyczących pseudo-wskaźnika uwarunkowania oraz 2-giej normy wektora zniekształceń parametrów w układach z minimalnymi ograniczeniami, zamieszczone są w Dodatkach. Teoria ilustrowana jest na przykładach numerycznych.

Słowa kluczowe

EN

internal reliability; external reliability; system conditionality; singular value decomposition; uncorrelated observations

PL

niezawodność; system warunkowości; rozkład wartości pojedynczej

• Wydawca: Komitet Geodezji PAN
• Czasopismo: Geodesy and Cartography
• Rocznik: 2013
• Tom: Vol. 62, no. 2
• Strony: 157--181
• Opis fizyczny: Bibliogr. 18 poz., rys., wykr.

Twórcy

autor

Prószyński W.

• Warsaw University of Technology Faculty of Geodesy and Cartography Pl. Politechniki 1, 00-661, Warsaw, Poland

Bibliografia

• Baarda, W. (1968). A testing procedure for use in geodetic networks. Publications on Geodesy, New Series, vol.2, no.5. Delft: Netherlands Geodetic Commission.
• Caspary, W. F. (1988). Concepts of network and deformation analysis. Monograph 11. School of surveying. Kensington: the University of New South Wales.
• Cheney, E. W & Kincaid D. R. (2008). Numerical mathematics and computing. Sixth Edition, New Yourk, Thomson Learning Inc.
• Golub, G. H. & Reinsch C. (1970). Singular value decomposition and least squares. Numer. Math. Vol. 14(5), 403 - 420.
• Kalitkin, N. N., Yukhno L. F. & Kuzmina L. V. (2010). A conditionality criterion for systems of linear algebraic equations. Doklady Mathematics, Pleiades Publishing, 82(2), 820 - 823.
• Kiełbasiński, A. & Schwetlick H. (1992). Numeryczna algebra liniowa. Wprowadzenie do obliczeń zautomatyzowanych. [Numerical linear algebra. Introduction to automated numerical computation]. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.
• Knight, N. L., Wang J. & Rizos C. (2010). Generalized measures of reliability for multiple outliers. Journal of Geodesy, 84, 625 - 635. DOI: 10.1007/s00190-010-0392-4.
• Koch, K. R. (1999). Parameter estimation and hypothesis testing in linear models. New York: Springer.
• Meyer, C. D. (2000). Matrix analysis and applied linear algebra. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).
• Prószyński, W. (1994) Criteria for internal reliability of linear least squares models. Bulletin Géodésique, 68, 161 - 167.
• Prószyński, W. (1997). Measuring the robustness potential of the least squares estimation: geodetic illustration. Journal of Geodesy, 71, 652 - 659.
• Prószyński, W. (2013). An approach to response-based reliability analysis of quasi-linear Errors-in- Variables models. Journal of Geodesy, 87( 1), 89 - 99, DOI 10.1007/s00190-012-0590-3.
• Rao, C. R. (1973). Linear statistical inference and its applications. New York: John Wiley.
• Rao, C. R & Mitra S. K. (1971). Generalized inverse of matrices and its applications. New York: John Wiley.
• Schaffrin, B. (1997). Reliability measures for correlated observations. Journal of Surveying Engineering, 123, 126 - 137.
• Teunissen, P. J. G. (1996). Testing theory, an introduction. Delft: Delft University Press.
• Wang, J. & Chen Y. Q. (1994). On the reliability measure of observations. Acta Geodaet. et Cartograph. Sinica, English Edition, 42 - 51.
• Wang, J. & Chen Y. Q. (1999). Outlier detection and reliability measures for singular adjustment models. Geomatics Research Australasia, 71, 57 - 72.