Obliczanie wyznaczników przy analizie obwodów metodą węzłową

• Autorzy: Dmytryszyn R.

Identyfikatory

DOI

10.7862/re.2013.6

Warianty tytułu

EN

Calculation of the determinant in analysis of circuits by node voltage method

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W artykule opisano niestandardowe zastosowanie wyznaczników do analizy obwodów liniowych metodą węzłową. Pokazano, że dla otrzymania tej samej dokładności obliczenia wyznaczników algorytm permutacji Leibniza wymaga arytmetyki o dłuższej mantysie w porównaniu do algorytmu redukcji Gaussa. Opracowano nową metodę obliczania wskaźnika uwarunkowania wyznacznika macierzy (WUWM). Nowy wzór może być również stosowany i do analizy dokładności rozwiązania systemu liniowych równań algebraicznych, w jakości pierwszego przybliżenia ze strony krótszej mantysy. Badania dokładności obliczenia wyznaczników macierzy metodą Monte-Carlo potwierdzają skuteczność nowego wzoru oraz pozwalają rozszerzyć wiedzę na temat uwarunkowania obliczeń. Wyprowadzenie wzoru do obliczenia WUWM oparto na podejściu probabilistycznym, wykorzystującym badania Monte-Carlo. Zaproponowany algorytm porównania liczb przy odejmowaniu w czasie obliczenia wyznacznika pozwala sprawdzić wystarczalność długości mantysy, bez konieczności obliczania odwrotnej macierzy. Zaproponowano nowy, rekurencyjny wzór do obliczania WUWM. Dokładność obliczenia wyznacznika kontrolowana jest w oparciu o analizę operacji odejmowania. Opracowano nową metodę poprawy dokładności obliczenia wyznacznika macierzy. Nowy algorytm poprawy dokładności obliczenia wyznacznika metodą eliminacji Gaussa jest skuteczny przy analizie metodą węzłową obwodów zawierających źródła sterowane. W ogólnym przypadku ten algorytm nigdy nie obniża dokładności obliczeń wyznacznika macierzy, a może ją tylko poprawić.

EN

The new method of the estimation of precision of the condition number of determinant matrix (CNDM) calculation is worked out. The determinants are used by linear circuits’ analysis with the node method. The estimation of precision is based on the calculus of probability using Monte-Carlo method. Random change of matrix elements leads to a dispersion value of its determinant. Greater dispersion of determinant means that the matrix is more difficult for the calculations. The new formula for the calculation of condition number of matrix using the product of values of the every entry of the matrix A on its minor was developed. Obtained values of condition number are more accurate comparing to classic values. The accuracy of the new formula was proven with the Monte-Carlo method. The convenience of the usage as value of inaccuracy the number of lost (inaccurate) digits of mantissa versa condition number matrix was shown as added benefit. Monte-Carlo calculations to determine the required precision matrix determinant is relatively complicated and lengthy process. Therefore author proposed a new formula for the calculation of the condition number of the matrix determinant (CNMD) without the Monte-Carlo calculus. The method of the control of precision of calculation on the basis of analysis of subtraction is worked out. A new method for improving the precision of the calculation of the determinant of a matrix is proposed. The Hilbert matrices are canonical examples of ill-conditioned matrices, making them notoriously difficult to use in numerical computation and of the determinant calculation.

Słowa kluczowe

PL

metoda węzłowa; wyznacznik macierzy; wskaźnik uwarunkowania macierzy; wskaźnik uwarunkowania wyznacznika macierzy

EN

node voltage method; determinant of the matrix; condition number of the matrix; condition number of the matrix determinant

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej. Elektrotechnika
• Rocznik: 2013
• Tom: z. 33 [289]
• Strony: 79--104
• Opis fizyczny: Bibliogr. 16 poz., rys., tab., wykr.

Twórcy

autor

Dmytryszyn R.

• Politechnika Rzeszowska, ul. W. Pola 2, 35-959 Rzeszów

Bibliografia

• [1] Bajorek J.: Sygnały i układy. Materiały pomocnicze. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1999.
• [2] Bolkowski S.: Obwody elektryczne, WNT, Warszawa, 2000.
• [3] Osowski I., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów, WNT, Warszawa, 2000.
• [4] Dorf R.: Introduction to Electric Circuits, Jon Wiley & Sons, New York, 1989.
• [5] Dmytryszyn R., Rusin I, Rzepka K, „Wielomianowa redukcja obwodów”, XXII Seminarium z podstaw elektrotechniki i teorii obwodów SPETO-99, Politechnika Śląska, Gliwice, pp. 487-490, 1999.
• [6] Sigorski W., Petrenko A.: Podstawy teorii obwodow elektronicznych, “Wyzsza Szkoła”, Kiev, pp. 573. 1971 (w j. rosyjskim).
• [7] Bronsztejn I., Siemiendiajew K.: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa, 2004.
• [8] Leibniz G.: Formula_for_determinants, http://en.wikipedia.org/ wiki/Leibniz _formula_for_determinants, [dostęp 01-03-2009]
• [9] Feusner W.: Über Stromverzweigung in Netzförmigen Leitern, Annalen der Physik, Leipzig, vol.9, pp.1304-1329, 1902.
• [10] Dmytryszyn R.: Analiza obwodów liniowych metodą Feussnera, XXVII IC-SPETO, Międzynarodowa konferencja z podstaw elektrotechniki i teorii obwodów, Politechnika Śląska, Gliwice-Ustroń, 2003, ss. 509-512.
• [11] Bachvalov N.: „Numerical methods”, Nauka, Moskau, 1975. (In Russian)
• [12] James Kesling J.: The Condition Number for a Matrix, www.math.ufl.edu/~kees/ ConditionNumber.pdf [dostęp 01-04-2010].
• [13] Gantmacher F.: Theory of matrices, AMS Chelsea publishing., 1959.
• [14] Dmytryshyn R.: Modification of Gauss Method, Proc. of the Conference “Problems of physical and biomedical electronic”, Kiev, pp. 156-159, 1996 (in Ukrainian).
• [15] Dmytryshyn R.: Modified Feussner’s method,.7th International Workshop on Symbolic Methods and Applications in Circuit Design, SMACD-2002, Rumunia, Sinaia, pp. 47-52, 2002.
• [16] Dmytryszyn R.: The Improvement of the Gauss Method Accuracy, Proc. of CMS’09 Computer Methods and Systems, Krakow, ISSN 83-916420-5-4, pp. 419-424, 2009. [dostęp 10-01-2010].