Metody numeryczne rozwiązywania, analizy i kontroli nieciągłych układów dynamicznych

• Autorzy: Olejnik P.

Warianty tytułu

EN

Numerical methods of solution, analysis and control of discontinuous dynamical systems

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Praca przedstawia opis metod matematycznych i procedur numerycznych służących do rozwiązywania zagadnień modelowania i sterowania nieciągłych układów dynamicznych. Uzyskanie pożądanej dokładności rozwiązania równań różniczkowych modelujących stan układu dynamicznego z tarciem, niejednoznacznością parametrów lub opóźnieniem czasowym wymaga stosowania metod dedykowanych. Rozwiązywanie i analiza układów nieciągłych związana z poprawą wydajności metod numerycznych odkrywa istniejący zakres trudności, wyodrębniając interesujące oszacowania i wyprowadzenia matematyczne opisane w tej monografii. Pozwala to na lepsze zrozumienie i dokładniejsze przybliżenie procesów fizycznych zachodzących w rzeczywistych układach drgających. Podstawowy mechanizm pojawiania się nieciągłości jest związany z przejściem rozwiązania przez granicę rozdziału obszarów określonych w przestrzeni stanu przez różniące się równania różniczkowe. Chwila czasowa przejścia, np. od utwierdzenia do poślizgu w układach z tarciem suchym może być wyznaczona nieprecyzyjnie. Jest to wynikiem pominięcia w procedurze numerycznej punktów szczególnych, a w modelowaniu numerycznym skutkuje narastaniem niedokładności odwzorowania ważnych cech fizycznych obiektu rzeczywistego. Metoda aproksymacji równań różniczkowych przez inkluzje różniczkowe i zmodyfikowana metoda Hénona opracowana w tej monografii zwiększają dokładność obliczeń numerycznych podczas symulacji układów nieciągłych o dynamice uwarunkowanej występowaniem granic rozdziału w przestrzeni stanu. Nowoczesne metody projektowania i techniki optymalizacyjne współistnieją z modelowaniem numerycznym i symulacjami komputerowymi. Stosując takie narzędzia, uzyskuje się istotne informacje dotyczące, np. wartości krytycznych, dynamiki zmian stanu, spodziewanego zużycia projektowanego lub badanego obiektu rzeczywistego. Na podstawie opisu matematycznego układu klatki piersiowej człowieka reprezentowanej przez uproszczony model mechaniczny, pokazano wpływ opóźnień czasowych na odpowiedź obiektu wielowymiarowego poddanego uderzeniu sprężystemu. Rozwiązanie numeryczne równań różniczkowych z opóźnieniem przedstawionym w rozszerzonej reprezentacji układu liniowego pięciu połączonych podukładów o parametrach zmiennych w czasie wpływa na dokładność symulacji numerycznych. W przypadku modelowania zmian parametrów N-połączonych podukładów, rozwiązano problem modelowania nieciągłości wyrażonych za pomocą charakterystyk przełączających. Odnosząc się do przypadku nieciągłości wywołanych tarciem suchym, pokazano, że skokowa zmiana parametrów determinowana własnościami reologicznymi jest jakościowo inną, obok wymuszeń zewnętrznych, formą zaburzenia wpływającego bezpośrednio na wewnętrzny stan układu. Modelowanie stanowej nieciągłości parametrów wybranego układu dynamicznego oparto na zapisie macierzowym, definiując zbiór macierzy wzmocnień wyczerpujących wszystkie wartości parametrów zależnych od czasu. W zakresie analizy dynamicznej przedstawionej w tej monografii opisano liczbowe oszacowanie charakteru trajektorii czasowych za pomocą wykładników Lapunowa. Wykorzystano również teorię bifurkacji, będącą silnie rozwijaną gałęzią dynamiki o szerokim spektrum rozważań analitycznych i optymalizacyjnych dotyczących schematów numerycznych. W tej części pracy przedstawiono metody analityczne i numeryczne umożliwiające poznanie schematów bifurkacji oraz wyznaczenie dyskretnych diagramów bifurkacji granicy rozdziału w przestrzeni stanu i rozwiązań numerycznych nieciągłego układu dynamicznego z tarciem suchym. Teoria Filipowa stosowana do analizy układów tego typu wsparta zmodyfikowaną metodą całkowania numerycznego Henona pozwoliła na wykonanie numerycznej estymacji bifurkacji rozwiązań utwierdzenie-poślizg, jakie obserwuje się w kawałkami-ciągłym układzie dynamicznym o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym. Na potrzeby rozwiązania numerycznego wprowadzono oscylującą granicę nieciągłości, opisano ją funkcją zależną od prędkości podstawy i uzależniono od postaci wymuszenia zewnętrznego. W części monografii dotyczącej sterowania nieliniowych układów dynamicznych przedstawiono metody numerycznego modelowania i regulacji prędkości obrotowej silnika prądu stałego. Pewien model silnika posłużył jako przykład obiektu poddanego działaniu sił oporu występujących w łożyskowaniu ślizgowym wirnika i pochodzących od sił tarcia Coulomba, tarcia związanego z krzywą eksponencjalną charakterystyki tarcia kinetycznego pojawiającą się na skutek efektu Stribecka, tarcia wiskotycznego i tarcia zależnego od położenia kątowego wirnika. Poddano rozwiązaniu zadanie sterowania tym obiektem, polegające na zaprojektowaniu kompensatora umożliwiającego zmianę prędkości obrotowej wzdłuż zadanej trajektorii czasowej. Schematy aktywnej kontroli można adoptować do optymalizacji układów mechanicznych lub biomechanicznych o wielu stopniach swobody. Biorąc to pod uwagę, zaprojektowano i opisano metodykę opartą na zastosowaniu siły sterującej zmniejszającej względną deformację modelu mechanicznego klatki piersiowej człowieka wywołaną uderzeniem sprężystym. Widoczną redukcję przemieszczeń względnych wewnątrz klatki piersiowej otrzymano, rozwiązując zagadnienie optymalizacji liniowo-kwadratowej wskaźnika wydajności. Praca została wzbogacona o kod procedur numerycznych, napisanych w języku programowania Python, weryfikujących prowadzone eksperymenty numeryczne, których wyniki przedstawiono na wykresach czasowych i parametrycznych.

EN

This monograph describes some mathematical methods and numerical procedures for finding solutions to the problems devoted to modeling and control of discontinuous dynamical systems. The desired accuracy of the solution of differential equations modeling the dynamic state of a system with friction, ambiguity of parameters or a time delay requires to use some dedicated methods. Experiments aimed at improving the performance of numerical methods with respect to solution and analysis of discontinuous systems reveal the existing range of difficulty, extracting interesting mathematical estimations and mathematical derivations described in this monograph. This allows for a better understanding and more accurate approximation of the physical processes taking place in the real oscillating systems. Analyzing the basic mechanism of the appearance of discontinuities, that is based on a solution crossing the boundary of regions defined by various differential equations in a state-space, the time of stick-slip transition such as in systems with dry friction could be determined imprecisely due to the omission of specific points in the numerical procedure. It causes escalation of inaccuracies in numerical modeling of important physical features and behavior of the corresponding real object. A method of approximation of differential equations by differential inclusions and a modified Hénon method developed independently in this monograph increase the accuracy of numerical computations in simulation of discontinuous systems determined by dynamics conditioned by existence of state-space boundaries. Modern design methods and optimization techniques coexist with numerical modeling and computer simulations. Using such tools, a relevant information about critical values, dynamics of the state changes and expected wear of the designed or investigated real object is obtained. Based on the mathematical description of human’s chest represented by a simplified mechanical model, the influence of time delays on the amplitude of response of a few degrees-of-freedom dynamical system subjected to an elastic impact has been proved. An extended representation of linear differential equations with time delays, describing five interconnected subsystems with time-varying parameters has been proposed and then successfully used in numerical simulation. In the case of modeling of parameter changes of N-linked subsystems there has been solved a problem of discontinuities’ modeling expressed using the switching characteristics. Referring to the case of discontinuities caused by dry friction, there is even shown that the step change of parameters determined by rheological properties takes the qualitatively different form of disturbance (next to the external excitation), which directly affects the internal system state. Modeling of state discontinuity of parameters of the selected dynamical system has been based on a matrix notation defining a set of gain matrices covering all the time-dependent parameters. In the scope of dynamical analysis presented in this monograph, the numerical estimate of the nature of time trajectories by means of Lyapunov exponents is described. Moreover, bifurcation theory that is the strongly developing branch of dynamics of a wide range of analytical derivations and numerical optimization schemes has been used. This part of the work presents some analytical and numerical methods allowing to know bifurcation schemes, and even to determine discrete bifurcation diagrams of the separation boundary and numerical solutions of discontinuous dynamical system with dry friction. The Filippov’s theory applied in the analysis of the considered system with a modified Henon’s method of numerical integration have allowed to perform a numerical estimation of bifurcations of the stick-slip solutions, that are observed in motion of a piecewise-continuous dynamical system with one degree-of-freedom and harmonic excitation. For the purpose of a numerical solution, an oscillating boundary of discontinuity has been described by a function of velocity of the moving base and one has made it dependent on the form of an external forcing. In a part of the monograph devoted to the control of a nonlinear dynamical system, there are presented methods for the numerical modeling and speed control of a DC motor. The analyzed direct current engine was used as an exemplary object subjected to the forces of resistance occurring in the sliding bearings of its rotor and coming from the following phenomena: Coulomb friction, the friction associated with the exponential curve of kinetic friction characteristics appearing due to the Stribeck effect, viscous friction and the friction dependent on the angular position of the rotor. The problem of controlling the plant has been defined, namely, to design a compensation technique allowing to change the engine’s rotational velocity along with the desired time trajectory. In the next step, the problem was solved by introducing a sliding surface function used in modern control theory of discontinuous systems. Performance of the proposed, two-stage follow-up control measured by precision of mapping of the desired function of changes of rotational velocity has been tested on the basis of exemplary parameters of a selected DC motor. There have been shown some time trajectories of the angular velocity, that follow the desired trajectory confirming robustness of the follow-up control realized in the numerical procedure. Active control strategies are applied to optimize the mechanical or biomechanical systems of many degrees-of-freedom. With this in mind, a methodology based on the use of one control force decreasing the relative deformation of a mechanical model of a human thorax caused by an elastic impact has been developed and described. Visible reduction in the relative displacement inside of the thorax was obtained by solving the problem of linear-quadratic optimization of a performance index. In addition, control parameters influencing the characteristics of the optimal response of the test plant have been adjusted. Based on a proportional gain vector’s estimation, a technique of computation of the objective function in the controlled discontinuous system have been proposed. The monograph has been supported with the numerical procedures verifying carried out numerical experiments of which results are drawn in the time and parametric histories.

Słowa kluczowe

PL

nieciągły układ dynamiczny; układ drgający; modelowanie układów dynamicznych; sterowanie układu dynamicznego

EN

discontinuous dynamical system; oscillating system; dynamic systems modelling; dynamic system controlling

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Rozprawy Naukowe / Politechnika Łódzka
• Rocznik: 2013
• Tom: Z. 444
• Strony: 1--117
• Opis fizyczny: Bibliogr. 75 poz., rys., wykr.

Twórcy

autor

Olejnik P.

• Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki Politechniki Łódzkiej

Bibliografia

• 1. ADAMS J., PAYANDEH S. Methods for low-velocity friction compensation: Theory and experimental study. J. Robotic Systems 13, 6 (1996), 391-404.
• 2. ALAVINSAB A., MOHARAMI H., KHAJEPOUR A. Active control of structures using energy-based LQR method. Computer-Aided Civ. and Infrastruct. Engineering 21 (2006), 605-611.
• 3. ANGELOV T. A., LIOLIOS A. A. An iterative solution procedure for Winkler-type contact problems with friction. Z. Angew. Math. Mech. 84 (2004), 136-143.
• 4. AWREJCEWICZ J. Dynamika Nieliniowa Maszyn. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 1994.
• 5. AWREJCEWICZ J. Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Dynamika. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2011.
• 6. AWREJCEWICZ J., FEčKAN M., OLEJNIK P. On continuous approximation of discontinuous systems. Nonlinear Analysis 62 (2005), 1317-1331.
• 7. AWREJCEWICZ J., FEčKAN M., OLEJNIK P. Bifurcations of planar sliding homoclinics. Mathematical Problems in Engineering 2006 (2006), 1-13.
• 8. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. Modyfikacja trajektorii czasowej podczas obliczania wykładników Lapunowa. XVII Ogólnopolska Konferencja Naukowo-Dydaktyczna Teorii Maszyn i Mechanizmów (Wrocław - Lądek Zdrój, 18-20 wrzesień 2002), 35-40.
• 9. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. Numerical analysis of self-excited by friction chaotic oscillations in two-degrees-of-freedom system using exact Hénon method. Machine Dynamics Problems 26, 4 (2002), 9-20.
• 10. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. Stick-slip dynamics of a two degree-of-freedom system. International Journal of Bifurcations and Chaos 13, 4 (2003), 843-861.
• 11. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. Analysis of dynamic systems with various friction laws. Applied Mechanics Reviews - Transactions of ASME 58, 6 (2005), 389-411.
• 12. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. Friction pair modeling by 2-DOF system: numerical and experimental investigations. International Journal of Bifurcations and Chaos 15, 6 (2005), 1931-1944.
• 13. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. Sliding solutions of a simple two degrees-of-freedom dynamical system with friction. Proceedings of 5-th EUROMECH (Eindhoven, The Netherlands, August 7-12 2005), vol. 01-196 of Nonlinear Dynamics Conference ENOC, 277-282.
• 14. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. Bifurkacje rozwiązań wokół zmiennego obszaru stanu nieciągłości układu dynamicznego o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym. I Kongres Mechaniki Polskiej (Warszawa, 28-31 sierpień 2007), J. Kubik, W. Kurnik, W. Nowacki, Eds.
• 15. AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P. On the performance index optimization of a rheological dynamical system via numerical active control. IUTAM Symposium on Dynamics Modeling and Interaction Control in Virtual and Real Environments, G. Stépán, L. Kovács, A. Tóth, Eds., IUTAM Bookseries. Springer, 2011, 185-195.
• 16. AWREJCEWICZ J., PYRYEV J., KUDRA G., OLEJNIK P. Matematyczne i Numeryczne Metody Analizy Bifurkacji i Dynamiki Chaotycznej Układów Mechanicznych z Tarciem i Uderzeniami. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2006.
• 17. AWREJCEWICZ J., SENDKOWSKI D. Stick-slip chaos detection in coupled oscillators with friction. International Journal of Solids and Structures 42, 22 (2005), 5669-5682.
• 18. BANERJEE S., RANJAN P., GREBOGI C. Bifurcations in two-dimensional piecewise smooth maps - theory and applications in switching circuits. IEEE Trans. ISCAS-I 47, 5 (2000), 633-643.
• 19. BATTELLI F., FEčKAN M. Bifurcation and chaos near sliding homoclinics. Journal of Differential Equations 2Ą8, 9 (2010), 2227-2262.
• 20. BELLEN A., ZENNARO M. Numerical Methods for Delay Differential Equations. Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford, 2003.
• 21. BENETTIN G., GALGANI L., GIORGILLI A., STRELCYN J. M. Lyapunov exponents for smooth dynamical systems and hamiltonian systems; a method for computing all of them. Meccanica 15 (1980), 9-30.
• 22. BENNETTIN G., FROESCHLE C., SCHEIDECKER J. P. Kolmogorov entropy of a dynamical system with increasing number of degrees of freedom. Phys. Rev. A 19 (1979), 2454-2460.
• 23. BERNUSSOU J., PERES P. L. D., GEROMEL J. C. A linear programming oriented procedure for quadratic stabilization of uncertain systems. Syst. Control Lett. 13 (1989), 65-72.
• 24. CAI L., SONG G. Jointstick-slip friction compensation of robot manipulators by using smooth robust controllers. J. Robotic Systems 11, 6 (1994), 451-470.
• 25. CHATTERJEE S., SAHA A. On the theoretical basis of vibro-frictional actuation in microsystems. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C: Journal of Mechanical Engineering Science 221 (2007), 119-133.
• 26. DEIMLING K. Multivalued Differential Equations. Walter de Gruyter, 1992.
• 27. DEUFHARD P., FIEDLER B., KUNKEL P. Efficient numerical pathfollowing beyond critical points. SIAM Journal of Numerical Analysis 18 (1987), 949-987.
• 28. DI BERNARDO M., GAROFALO F., IANNELLI L., VASCA F. Bifurcations in piecewise-smooth feedback systems. Int. J. Control 75, 16-17 (2002), 1243-1259.
• 29. DIMOVA S., GEORGIEV V. Numerical algorithm for the dynamic analysis of base-isolated structures with dry friction. Natural Hazards 6 (1992), 71-86.
• 30. DRIESSEN B. J., SADEGH N. Convergence theory for multi-input discrete-time iterative learning control with Coulomb friction, continuous outputs, and input bounds. Int. J. Adapt. Control Signal Process. 18 (2004), 457-471.
• 31. ECKMAN J. P., RUELLE D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys. 57 (1985), 617-656.
• 32. FEENY B., MOON F. C. Chaos in a forced dry friction oscillator: experiment and numerical modelling. J. Sound and Vibrations 170, 3 (1994), 303-323.
• 33. FIDLIN A. On the asymptotic analysis of discontinuous systems. Z. Angew. Math. Mech. 82 (2001), 75-88.
• 34. FILIPPOV A. F. Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Side. Mathematics and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1988.
• 35. GALVANETTO U. Sliding bifurcations in the dynamics of mechanical systems with dry friction - remarks for engineers and applied scientists. J. Sound and Vibrations 276 (2004), 121-139.
• 36. GRASSBERGER P., PROCACCIA I. Characterization of strange attractors. Phys. Rev. Lett. 50 (1983), 346-349.
• 37. HARRIGAN T. P., HAMILTON J. J. Necessary and sufficient conditions for global stability and uniqueness in finite element simulations of adaptive bone. International Journal of Solids and Structures 31, 1 (1994), 97-107.
• 38. HECKL M. A., ABRAHAMS I. D. Active control of friction-driven oscillations. J. Sound and Vibrations 193, 1 (1996), 417-426.
• 39. HÉNON M. On the numerical computation of Poincare maps. Physica D 5 (1982), 412-413.
• 40. HIRSCHON R. M., MILLER G. Control of nonlinear systems with friction. IEEE Trans. Control Syst. Technology 7, 5 (1999), 588-595.
• 41. HUANG S. N., TAN K. K., LEE T. H. Adaptive friction compensation using neural network approximations. IEEE Trans. Syst., Man. Cybern. - Part C: Applications and Reviews 30, 4 (2000), 551-557.
• 42. KIM B. J., CHOE G. H. High precision numerical estimation of the largest Lyapunov exponent. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 15 (2010), 1378-1384.
• 43. KIM Y. H., LEWIS F. L. Optimal design of cmac neural network controller for robot manipulators. IEEE Trans. Syst., Man. Cybern.- Part C: Applications and Reviews 30, 1 (2000), 22-31.
• 44. KORUBA Z., OSIECKI J. Elementy Mechaniki Zaawansowanej. Wydawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, 2007.
• 45. KUBO T. Guaranteed lqr properties control of uncertain linear systems with time delay of retarded type. Electrical Engineering in Japan 152, 1 (2005), 43-49.
• 46. KUDRA G. Modelowanie Sil Tarda Suchego w Dynamice Ciała Sztywnego w Przestrzeni. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2012.
• 47. KUZNETSOV Y. A., RINALDI S., GRAGNANI A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems. International Journal of Bifurcations and Chaos 13, 8 (2003), 2157-2188.
• 48. KWAKERNAAK H., RAPHAEL S. Linear Optimal Control Systems. Wiley-Interscience, New York, 1972.
• 49. LAMARQUE C.-H., BASTIEN J. Numerical study of a forced pendulum with friction. Nonlinear Dynamics 23 (2000), 335-352.
• 50. LEINE R. I., VAN CAMPEN D. H., VAN DE VRANDE B. L. Bifurcations in nonlinear discontinuous systems. Nonlinear Dynamics 23 (2000), 105-164.
• 51. LEWIS F. L., ABDALLAH C. T., DAWSON D. M. Control of Robot Manipulators. Macmillan Publishing Company, New York, 1993.
• 52. Li Z., WANG Q., GAO H. Friction driven oscillator control by Lyapunov redesign based on delayed state feedback. Acta Mech. Sin. 25 (2009), 257-264.
• 53. LIGURSKY T., HASLINGER J., CERA R. K. Approximation and numerical realization of 3D contact problems with Coulomb friction and a solution-dependent coefficient of friction. Int. J. Numer. Meth. Engng. 82 (2006), 1180-1206.
• 54. LIN C. L., HUANG H. T. Linear servo motor control using adaptive neural networks. Proc. Instn. Mech. Engrs., Part I: J. Systems and Control Engineering 216 (2002), 407-427.
• 55. MROZOWSKI J., AWREJCEWICZ J. Changes in the gait characteristic caused by external load, ground slope and velocity variation. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 16, 11 (2011), 2313-2318.
• 56. OLEJNIK P. Analiza numeryczna i eksperymentalna drgań samowzbudnych regularnych i chaotycznych w układzie o dwóch stopniach swobody z tarciem. Praca doktorska, Politechnika Łódzka, Katedra Automatyki i Biomechaniki, Łódź, 2002.
• 57. OLEJNIK P., AWREJCEWICZ J. Reduction of deformation in a spring-mass realisation of human chest occurred after action of impact. J. KONES Po-wertrain and Transport 7, 1 (2010), 327-335.
• 58. OLEJNIK P., AWREJCEWICZ J. One-dimensional discrete LQR control of compression of the human chest impulsively loaded by fast moving point mass. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 16, 5 (2011), 2225-2229.
• 59. OLEJNIK P., AWREJCEWICZ J. Low-speed voltage-input tracking control of a DC-motor numerically modelled by a dynamical system with stick-slip friction. Differential Equations and Dynamical Systems 21, 1-2 (2013), 3-13.
• 60. OSELEDEC V. I. A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems. Trans. Moscow Math. Soc. 19 (1968), 197-231.
• 61. OTTEN G., DE VRIES T. J. A., VAN AMERONGEN J., RANKERS A. M., GAAL E. W. Linear motor motion control using a learning feedforward controller. IEEE/ASME Trans. Mechatr. 2, 3 (1997), 179-187.
• 62. PIETRABISSA R., QUAGLINI V., VILLA T. Experimental methods in testing of tissues and implants. Meccanica 31 (2002), 477-488.
• 63. SANO M., SAWADA Y. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series. Phys. Rev. Lett. 55, 10 (1985), 1082-1085.
• 64. SLOTINE J. J. E., Li W. On the adaptive control of robot manipulators. Int. J. Robotic Research 6, 3 (1987), 49-59.
• 65. SONG G., CAI L., WANG Y., LONGMAN R. W. A sliding-mode based smooth adaptive robust controller for friction compensation. Int. J. Robust Nonlinear Control 8 (1998), 725-739.
• 66. STUDER C, LEINE R. I., GLOCKER C Step size adjustment and extrapolation for time-stepping schemes in non-smooth dynamics. Int. J. Numer. Meth. Engng. 16 (2008), 1747-1781.
• 67. TEIXEIRA M. A., DA SILVA P. R. Regularization and singular perturbation techniques for non-smooth systems. Physica D: Nonlinear Phenomena 2Ą1, 22 (2012), 1948-1955.
• 68. UCHIDA K., SHIMEMURA E., KUBO T., ABE N. The linear quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay. Automatica 24 (1988), 773-780.
• 69. VAN DE VRANDE B. L., VAN CAMPEN D. H., DE KRAKER A. An approximate analysis of dry-friction-induced stick-slip vibrations by a smoothing procedure. Nonlinear Dynamics 19 (1999), 157-169.
• 70. VASILEVA A. B., BUTZOV V. F. Asymptotic Expansion of Solutions of Singularly Perturbed Equations. Nauka, Moscow, 1973.
• 71. WATANABE I. Development of practical and simplified human whole body fern model. JSAE Rev. 22 (2001), 189-194.
• 72. WOLF A., SWIFT J. B., SWINNEY H. L., VASTANO J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D 16 (1985), 285-317.
• 73. WULFF C, SCHEBESH A. Numerical continuation of hamiltonian relative periodic orbits. Journal of Nonlinear Science 18 (2008), 343-390.
• 74. WYK M. A., STEEB W. H. Chaos in Electronics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Nethelands, 1997.
• 75. XUCHENG W., LIANGMING C, ZHANGZHI C. Effective numerical methods for elasto-plastic contact problems with friction. Acta Mechanica Sinica 6 (1990), 349-356.