Modelowanie pomiarów w algebraicznych strukturach rozmytych

• Autorzy: Urbański M.K.

Warianty tytułu

EN

Algebraic fuzzy structures models of measurements

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Przedmiotem pracy jest modelowanie matematyczne pomiarów nieidealnych (z błędem pomiarowym) wielkości ekstensywnych (addytywnych) mierzonych bezpośrednio, przez porównanie ze wzorcem. Pomiar opisuje się jako odwzorowanie ze struktury empirycznej w strukturę matematyczną reprezentującą mierzone właściwości. Struktura empiryczna opisana jest jako zbiór obiektów z relacją poprzedzania, zadaną przez operację komparacji, oraz z addytywną operacją składania obiektów. W pracy założono, że taką strukturę można modelować zbiorami rozmytymi z arytmetyką zadaną przez t-normy i porządkiem opisanym przez dodatniość różnicy w tej arytmetyce. Odejmowanie zbiorów rozmytych w arytmetyce opartej na t-normach opisuje operacje komparacji. Wynikiem surowym pomiaru jest seria liczb, będąca bezpośrednimi odczytami wskazań (uzyskanych dzieki komparacji) przyrządów. Natomiast końcowym wynikiem reprezentującym badany obiekt jest wartość mezurandu i niepewność. W pracy zaprezentowano algorytm wyznaczania funkcji przynależności na podstawie serii pomiarowej oraz analizy eksperckiej systemu pomiarowego. Niepewność wyznaczana jest jako promień przekroju funkcji przynależności, natomiast mezurand opisany jest środkiem rdzenia funkcji przynależności. Zaproponowano też algorytm numerycznego wyznaczania t-normy, reprezentującej empiryczne uśrednianie danych pomiarowych, na podstawie danych empirycznych. Modelowanie pomiarów zostało przedstawione w sposób aksjomatyczny w celu opisania pomiaru w terminach elementarnych, reprezentujących elementarne operacje pomiarowe, i nieredukowalnych do innych pojęć. W związku z tym omówiono podstawy teorii reprezentacji, opisano algebraiczny model niepewności i zaproponowano strukturę z niepewnością, odpowiadającą matematycznie reprezentacjom z progiem. Pokazano, że w modelu czysto algebraicznym, w którym do opisu pomiaru potrzebne są dwie operacje - komparacji i powielania - można opisać błędy systematyczne i niesystematyczne. Powielanie jest operacją składania, którą można wykonywać jedynie na jednakowych obiektach. Warunkiem występowania błędów niesystematycznych jest subhomotetyczność relacji poprzedzania.

EN

The main topic of this work is a mathematical description of non-ideal mesurements (with errors) of extensive (additive) quantities by comparison with a standard. Measurement is represented by a function which maps an empirical structure of objects into a mathematical structure describing the measured proprties. The empirical structure is characterised as a set of objects endowed with a precedence relation determined by an operation of comparison and additive operation of concatenation. In this work it is assumed that such a structure can be modelled by fuzzy sets together with a t-norm-based arithmetic and the precedence relation detrmined by a positivity condition of a difference of two fuzzy sets. The subtraction of fuzzy sets based on a t-norm arithmetic describes the operation of comparison. A raw result of any measurement is a sequence of numbers which are direct readings of a measurement device. The final result representing a measured object consist of the value of the measurand and the uncertainty. The work proposes an algorithm of the estimation of a membership function of the fuzzy set representing a given object. The algorithm uses both the measurement series, as well as expert knowledge. The uncertatinty is estimated as a radius of a specified α-cut of the fuzzy set, while the value of the mesurand is given by a middle of the kernel of the fuzzy set. Moreover, the empirical algorithm of the estimation of a t-norm is proposed. The work presents an axiomatic appproach to the measurement modelling. It allows to describe the process of a measurement by means of elementary operations and irreducible concepts. In order to present such an approach, fundamentals of the representation theory are desribed and the algebaraic model corresponding to representations with thresholds is discussed. It is shown that in the purely algebraic model containing only two operations, comparison and copying, it is possible to describe both systematic and non-systematic errors. The copying is the concatenation operation which can be applied to the identical elements only. If non-systematic errors are to be described, it is necessary for the comparison operation to be subhomothetic, which directly implies the subhomotheticity of the precedence relation.

Słowa kluczowe

PL

teoria pomiarów; zbiory rozmyte; algebraiczne struktury rozmyte; niepewność pomiarów; błąd systematyczny; błąd niesystematyczny; próg rozróżnialności

EN

measurement theory; fuzzy sets; algebraic fuzzy structures; uncertainty of measurement; systematic errors; nonsystematic errors; threshold representation

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej
• Czasopismo: Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej. Fizyka
• Rocznik: 2011
• Tom: z. 55
• Strony: 3--209
• Opis fizyczny: Bibliogr. 146 poz., tab., rys., wykr.

Twórcy

autor

Urbański M.K.

• Wydział Fizyki

Bibliografia

• [1] Adams E.W., Elements of a theory of inexact measurement, Philosophy of Science, 32 (1965) 205.
• [2] Airy G.B., On the Algebraic and Numerical Theory of Errors of Observations and the Combination of Observations, Macmillian, London, 1861.
• [3] Aleskerov F.T., Threshold Utility, Choice, and Binary Relations, Automation and Remote Control, 64 (2003) 350-367.
• [4] Alekserov F., Bouyssou D., Monjardet B., Utility Maximization, Choice and Preference, Springer, 2007.
• [5] Alsina C., Frank M.J., Schweizer B., Associative Functions, Triangular Norms and Copulas, World Scientific, 2006.
• [6] Alt R., Markov S., On the Algebraic Properties of Stochastic Arithmetic. Comparison to Interval Arithmetic, w: W. Kraemer, J.W. Von Gudenberg (Eds.), Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, Kluwer Academic, Dordrecht, 2001, pp. 331-341.
• [7] Bartoszewicz J., Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, Warszawa, 1989.
• [8] Bilgiç T., Türkşen I.B., Measurement of membership functions: theoretical and empirical work. In: Dubois D., Prade H. (Eds.), Fundamental of Fuzzy Sets. The Handbooks of Fuzzy Sets, vol. 7, Kluwer Academic Publishers, 2000.
• [9] Billingsley P., Probability and Measure, J. Wiley, New York, 1986.
• [10] Bosi G., Candeal J.C., Numerical Representations of Interval Orders, Order, 18 (2001) 171-190.
• [11] Brandt S., Statistical and Computational Methods in Data Analysis, Springer Verlag, New York 1997, wyd. pol. Analiza danych, PWN, Warszawa, 1998.
• [12] Browkin J., Zbiory z działaniami, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa, 1974.
• [13] Buckley J.J., Jowers L.J., Simulating Continuous Fuzzy Systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006.
• [14] Burris S.N., Sankappanavar H.P., A Course in Universal Algebra, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
• [15] Butkiewicz B.S., Metrological and Linguistic Approach to Fuzzification Procedure, w: Developments in Fuzzy Sets, Generalized Nets and Related Topics, Ed.: Atanassov K., Chountas P., Kacprzyk J., Krawczak M., Melo-Pinto P., Szmidt E., Zadrożny S., vol 2: Applications, Exit, Warszawa, 2008, 1-9.
• [16] Bzowski A., Reprezentacje pomiarów w strukturach rozmytych, praca magisterska, Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, Warszawa, 2010.
• [17] Bzowski A., Urbański M.K., Convergence, Strong Law of Large Numbers, and Measurement Theory in the Language of Fuzzy Variables, arXiv:0903.0959v2, 2009.
• [18] Bzowski A., A note on Nguyen-Fullér-Keresztfalvi theorem, Fuzzy Sets and Systems (w recenzji).
• [19] Chen G., Pham T.T., Introduction to fuzzy systems, Chapman & Hall, CRC applied mathematics and nonlinear science series, 2006.
• [20] Coombs C.H., Dawes R.M., Tversky A., Wprowadzenie do psychologii matematycznej, PWN, Warszawa, 1977.
• [21] Czyż J., Paradoxes of measures and dimensions originating in Felix Hausdorff's ideas, Word Scientific Pub. Co., Singapore, 1994.
• [22] Dębowski J., Teoriopoznawczy reprezentacjonizm a realizm, Analiza i Egzystencja, 2 (2005) 73-111.
• [23] Diamond P., Kloeden P., Metric spaces of fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 35 (1990) 241-249.
• [24] Diez J.A., A Hundred Years of Numbers. An historical Introduction to Measurement Theory 1887-1990. Part I. Stud. History Phil. Sciences, 28 (1997) 167-185.
• [25] Diez J.A., A Hundred Years of Numbers. An historical Introduction to Measurement Theory 1887-1990. Part I. Stud. History Phil. Sciences, 28 (1997) 237-265.
• [26] Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M., Wprowadzenie do sterowania rozmytego, WNT, Warszawa, 1996.
• [27] Dubois D., Prade H., Fuzzy Sets And Systems Theory And Applications, Academic Press, New York, 1980.
• [28] Dubois D., Kerre E., Mesiar R., Prade H., Fuzzy interval analysis, in „Fundamentals of Fuzzy Sets”, Kluwer, Boston, 2000, pp. 483-581.
• [29] Dubois D., Foulloy L., Mauris G., Prade H., Probability-Possibility Transformations, Triangular Fuzzy Sets, and Probabilistic Inequalities, Reliable Computing, 10 (2004) 273-297.
• [30] Durrett R., Probability Theory and Examples, Dusbury, 1996.
• [31] CRC Consise Encyclopedia of Mathematics, Wolfram Research Inc. http:mathwordwolfram.com
• [32] d'Espagnat B., Conceptual Foundations of Quantum Mechanics, Westview Press, Perseus Books Group, New York, 1999.
• [33] Falchieri D., Gabrielli A., Gandolfi E., Very fast rate 2-input fuzzy processor for high energy physics, Fuzzy Sets and Systems, 132 (2002) 261-272.
• [34] Feller W., Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. 1, PWN, Warszawa, 2008.
• [35] Ferrero A., Salicone S., The random-fuzzy variables: A new approach to the expression of uncertainty in measurement, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement 53 (2005) 1370-1377.
• [36] Ferris T.L.J., A new definition of measurement, Measurement, 36 (2004) 101-109.
• [37] Fichtenholz G.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, PWN, Warszawa, 2007.
• [38] L. Finkelstein, Design-concept formation for instrument systems: a knowledge-based approach, Measurement, 11 (1993) 45-53.
• [39] Finkelstein L., Widely, strongly and weakly defined measurement, Measurement, 34 (2003) 39-48.
• [40] Fisz M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa, 1969.
• [41] Teoria i filozofia pomiaru, w: Podręcznik metrologii, red. Sydenham P.H., t. 1, Wyd. Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1988.
• [42] Fishburn P.C., Interval reprezentations for interval orders and semiorders, Journal of Mathematical Psychology, 10 (1973) 91-105.
• [43] Fishburn P.C., Preference structure and their numerical reprezentations, Theoretical Computer Sciences, 217 (1999) 359-383.
• [44] Fodor J.C., Roubenc M., Parametrized Preference Structures and Some Geometrical Interpretation, Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 6 (1997) 253-258.
• [45] Fullér R., Keresztfalvi T., On generalization of Nguyen's theorem, Fuzzy Sets and Systems, 41 (1991) 371-374.
• [46] Fullér R., A law of large numbers for fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 45 (1992) 299-303.
• [47] Fullér R., Keresztfalvi T., t-norm-based addition of fuzzy intervals, Fuzzy Sets and Systems, 51 (1992) 155-159.
• [48] Grzegorzewski P., Metrics and orders in space of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 97 (1998) 83-94.
• [49] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO, 1993. wyd. polskie: Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa, 1999.
• [50] Evaluation of measurement data, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, JCGM 100:2008, GUM 1995 with minor corrections, http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html
• [51] Hájek P., Methamathematics of Fuzzy Logic, Kluwer Academic Publishers, London, 1998.
• [52] Halmos P.R., Measure Theory, Springer Verlag, New York, 1974.
• [53] Helmholtz H. Von, Zählen und Messen erkenntnis-theoretisch betrachet. Philosophishe Aufsätze Edward Zeller gewidmet. Lipzig 1887. Reprint w: Counting and Measuring, Princeton, N.J. Van Nostrand, 1930.
• [54] Hölder O., Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass. Berichte über die Verhandlungen der Koeniglich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physikaliche Klasse, 53 (1901) 1-46. (część 1 przetłumaczona przez J. Michell and C. Ernst (1996). The axioms of quantity and the theory of measurement, Journal of Mathematical Psychology, 40, 235-252).
• [55] Hong D.H., Hwang S.Y., On the convergence of t-sum of L-R fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 63 (1994) 175-180.
• [56] Hong D.H., A note on the law of large numbers for fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 64 (1994) 59-61.
• [57] Hong D.H., A note on product-sum of L-R. fuzzy variables, Fuzzy Sets and Systems, 66 (1994) 381-382.
• [58] Hong D.H., Kim H., A note to the sum of fuzzy variables, Fuzzy Sets and Systems, 93 (1998) 121-124.
• [59] Hong D.H., Some results on addition of fuzzy intervals, Fuzzy Sets and Systems, 122 (2001) 349-352.
• [60] Huber P.J., Robust Statistics, Wiley, New Yersey, 2004.
• [61] International vocabulary of metrology, Basic and general concepts and associated terms (VIM) JCGM 200:2008
• [62] Jadacki J.J., Spór o granice pozania, prolegomena do epistemologii, PWN, Warszawa, 1985.
• [63] Jänich K., Topologia, PWN, Warszawa, 1991.
• [64] Jakubiec J., Redukcyjna arytmetyka interwałowa w zastosowaniu do wyznaczania niepewności algorytmów przetwarzania danych pomiarowych, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2002.
• [65] Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, 2004.
• [66] Jaworski J., Matematyczne podstawy metrologii, WNT, Warszawa 1979.
• [67] Jaworski J., Morawski R., Olędzki J., Wstęp do metrologii i techniki eksperymentu, WNT, Warszawa, 1992.
• [68] Jaulin L., Kieffer M., Didrit O., Walter É., Applied Interval Analysis, Springer, London, 2001.
• [69] Kacprzyk J., Zbiory rozmyte w analizie systemowej, PWN, Warszawa, 1986.
• [70] Kaleva O., On the convergence of fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 17 (1985) 53-65.
• [71] Klement E.P., Mesia R., Pap E., Triangular Norms, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 2000.
• [72] Klir G.J., Principles of uncertainty: What are they? Why we do need them? Fuzzy Sets and Systems, 74 (1995) 15-31.
• [73] Klir G.J., Yuan B., Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, 1995.
• [74] Krantz D.H., Luce R.D., Suppes P., Tversky A., Foundations of Measurement, vol. 1, Academic Press, New York, 1971.
• [75] Kryński M., Zbiory rozmyte w analizie danych, praca magisterska, Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej, 2010.
• [76] Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa, 1972.
• [77] Kwakernaak H., Fuzzy random variables-I. Definitions and Theorems, Information Sciences, 15 (1978) 1-19.
• [78] Kuhn T., Dwa bieguny, PIW, Warszawa, 1985.
• [79] Kuhn T., Struktura rewolucji naukowej, PWN, Warszawa, 1966.
• [80] Lang S., Algebra, PWN, Warszawa, 1973.
• [81] Lehmann E.L., Testowanie hipoez statystycznych, PWN, Warszawa, 1968.
• [82] Łęski J., Systemy neuronowe-rozmyte, WNT, Warszawa, 2008.
• [83] Mari L., Beyond the representational viewpoint: a new formalization of measurement, Measurement, 27 (2000) 71-84.
• [84] Marchant T., The measurement of membership by comparison, Fuzzy Sets and Systems, 148 (2004) 157-177.
• [85] Mała Encyklopedia Metrologii, WNT, Warszawa, 1989.
• [86] Mauris G., Lasserre V., Foulloy L., A fuzzy approach for the expression of uncertainty in measurement, Measurement, 29 (2001) 165-177.
• [87] Mencattini A., Salmeri M., Lojacono R., On a generalized t-norm for the representation of uncertainty propagation in statistically correlated measurements by means of fuzzy variables, AMUEM 2007 - International Workshop on Advanced Methods for Uncertainty Estimation in Measurement, Sardagna, Trento, Italy, 16-18 July 2007.
• [88] Le Menestrel M., Lemaire B., Biased extensive measurement: The general case, Journal of Mathematical Psychology, 50 (2006) 570-581.
• [89] Menger K., Statistical metrics, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 8 (1942) 535-537.
• [90] Mesiar R., Rybárik J., Pseudo-Arithmetical Operations, Tatra Mountains Math. Publ., 2 (1993) 185-192.
• [91] Mesiar R., Triangular-norm-based additon of fuzzy intervals, Fuzzy Sets and Systems, 91 (1997) 213-217.
• [92] Mesiar R., Fuzzy measures and integrals, Fuzzy Sets and Systems, 156 (2005) 365-370.
• [93] Michelini R.C., Rossi G.B., Measurement uncertainty: A probabilistic theory for intensive entities, Measurement, 15 (1995) 143-157.
• [94] Moore R.E., Methods and applications of interval analysis, SIAM, Philadelphia, 1979.
• [95] Morawski R.Z., Unified approach to measurand reconstruction, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 43 (1994), pp. 226-231
• [96] Nahmias S., Fuzzy Variables, Fuzzy Sets and Systems, 1 (1978) 97-110.
• [97] Narens L., Abstract Mesurement Theory, MIT Press, Cambridge, 1985.
• [98] Narens L., A Meaningful Justification for the Representational Theory of Measurement, Journal of Mathematical Psychology, 46 (2002) 746-768.
• [99] Nagel E., Newman J.R., Gödel's Proof, New York University Press 1958, wyd. pol. Twierdzenie Gödla, PWN, Warszawa, 1966.
• [100] Neyman J., Zasady rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa, 1969.
• [101] Nguyen H.T., A note on the extension principle for fuzzy set, J. Math. Anal. Appl., 64 (1978) 369-380.
• [102] Ovchinnikov S., On orderings of fuzzy numbers, in: Uncertainty and Intelligent Systems, B. Bouchon, L. Saitta, R. Yager (eds.), Lecture Notes in Computer Science 313, Springer-Verlag (1988) 79-86.
• [103] Ovchinnikov S., An introduction to fuzzy relations. In D. Duboisand, H. Prade, editors, Fundamentals of Fuzzy Sets, volume 7 of The Handbooks of Fuzzy Sets, pages 233-259, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2000.
• [104] Pfanzagl J., Theory of measurement, Physica-Verlag, Würzburg-Wien, 1971.
• [105] Pap E., Null-additive Set Functions, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1995.
• [106] Pap E. et al., Handbook of Measure Theory, Amsterdam, Elsevier/North-Holland, 2002.
• [107] Papoulis A., Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne, PWN, Warszawa, 1972.
• [108] Piotrowski J., Teoria pomiarów, PWN, Warszawa, 1986.
• [109] Rasiowa H., Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa, 1971.
• [110] Rao M.B., Rashed A., Some comments on fuzzy variables, Fuzzy Sets and Systems, 6 (1981) 285-292.
• [111] Ross T.J., Fuzzy Logic With Engineering Applications, John Wiley, 2004.
• [112] Rossi G.B., A probabilistic model of measurement process, Measurement, 34 (2003) 57-66.
• [113] Rossi G.B., A probabilistic theory of measurement, Measurement, 39 (2006) 34-50.
• [114] Rozengerg W.J., Wstęp do teorii błędów pomiarowych, PWN, Warszawa, 1982.
• [115] Schröder E., Vorlesungen über die Algebra der Logik, vol. 3, Leipzig: Teubner, 1890-1895.
• [116] Russo G.V., Petta C., Lo Presti D., Randazzo N., Russo M., Silicon Drift Detector Readout and On-Line Data Reduction using a Fast VLSI Dedicated Fuzzy Processor, Information Sciences, 95 (1996) 233-260.
• [117] Scott D., Suppes P., Foundational aspects of theories of measurement, J. Symb. Logic, 23 (1958) 113-128.
• [118] Sieklucki K., Geometria i topologia, PWN, Warszawa, 1978.
• [119] Shaked M., Shanthikumar J.G., Stochastic Orders, Springer, New York, 2007.
• [120] Shaked M., Shanthikumar J.G., Stochastic Orders and their Applications, Academic Press, Boston, 1994.
• [121] Stigler S.M., The history of statistics: The measurement of uncertainty before 1900, The Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, MA, 1986.
• [122] Suppes P., Axiomatix Set Theory, Dover Publ., New York, 1992.
• [123] Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów, WKiŁ, Warszawa, 1990.
• [124] Suppes P., Krantz D.H., Luce R.D., Tversky A., Foundations of Measurement, vol. 2, Academic Press, New York, 1981.
• [125] Handbook of Measurement, Vol. 1, Ed. Sydenham P.H., A Wiley Interscience Publ., London, 1982, wyd. polskie, Podręcznik metrologii, podstawy teoretyczne, WKŁ, Warszawa, 1988.
• [126] Taylor J.R., An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, University Science Books, 1997., wyd polskie, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa, 1995.
• [127] Terán P., Probabilistic foundations for measurement modelling with fuzzy random variables, Fuzzy Sets and Systems, 158 (2007) 973-986.
• [128] Triesch E., On the convergence of product-sum series of L-R fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 53 (1993) 189-192.
• [129] Triesch E., Characterisation of Archimedian t-norms and a law of large numbers, Fuzzy Sets and Systems, 58 (1993) 339-342.
• [130] Urbański M.K., Fizyczne podstawy metrologii a metrologiczne podstawy fizyki, XXIII Międzyuczelniana Konferencja Metrologów MKM'91, Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej, seria Konferencje, z. 1, Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1991, 149-160.
• [131] Urbański M.K., Bzowski A., Error analysis using fuzzy arithmetic based on t-norm, 12th IMEKO TC1 and TC7 Joint Symposium Man Science Measurement, l'Universitde Savoie, September 3-5, Annecy, France, 2008.
• [132] Urbański M.K., Samsonowicz J., On the field nature of measuring process, Measurement, 34 (2003) 31-38.
• [133] Urbański M.K., Wąsowski J., Fuzzy approach for the theory of measurement inexactness, IMEKO-TC7 Symposium, Cracow, Poland, June 25-27, 2002, 102-107.
• [134] Urbański M.K., Wąsowski J., Fuzzy approach to the theory of measurement inexactness, Measurement, 34 (2003) 61-74.
• [135] Urbański M.K., Wąsowski J., Fuzzy arithemetic based on boundary weak t-norms, International J. Uncertainty Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 13 (2005) 27-37.
• [136] Urbański M.K., Wąsowski J., Fuzzy Measurement Theory, Measurement, 41 (2008) 391-402.
• [137] Urbański M.K., Wąsowski J., An algebraic approach to an extensive measurement based on the direct comparison, Measurement, 42 (2009) 1341-1351.
• [138] Vignes J., A stochatic Arithmetic for Reliable Scientific Computation, Math. and Comp. in Sim., 35 (1993) 233-261.
• [139] Yang M.S., Liu M.C., On possibility analysis of fuzzy data, Fuzzy Sets and Systems, 94 (1998) 171-183.
• [140] Yager R.R., Filev D.P., Podstawy modelowania i sterowania rozmytego, WNT, Warszawa, 1995.
• [141] Yager R.R., Kreinovich V., Entropy conserving probability transforms and the entailment principle, Fuzzy Sets and Systems, 158 (2007) 1397-1405.
• [142] Wang C.M., Iyer H.K., A generalized confidence interval for a measurand in the presence of type-A and type-B uncertainties, Measurement, 39 (2006) 856-863.
• [143] Zadeh L.A., Fuzzy sets, Information and Control, 8 (3) (1965) 338-353.
• [144] Zadeh L.A., The Concept of Linguistic Variable and its Application to Approximate Reasoning-I, Information Sciences, 8 (1975) 199-249.
• [145] Zadeh L.A., Fuzzy sets as a basis for theory of possibility, Fuzzy Sets and Systems, 1 (1978) 3-28.
• [146] Uchwała Centralnej Komisji do Spraw Stopni i Tytułów z dnia 24 października 2005 r. w sprawie określenia dziedzin nauki i dziedzin sztuki oraz dyscyplin naukowych i artystycznych (Monitor Polski z 2005 r. nr 79, poz. 1120 ze zmianą w Monitor Polski z 2008 r. nr 97, poz. 843).