Algorytmy geometryczne w wizualizacji fraktali układów odwzorowań iterowanych

• Autorzy: Martyn T.

Warianty tytułu

EN

Geometric algorithms for visualization of fractals of iterated function systems

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W pracy przedstawiono i przeanalizowano algorytmy rozwiązywania podstawowych problemów geometrycznych pojawiających się w wizualizacji komputerowej obiektów fraktalnych opisywanych przy użyciu układów odwzorowań iterowanych (IFS) - atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP. Przedstawiono również - wykorzystujące te algorytmy - metody obrazowania wymienionych obiektów. Zagadnienia omawiane w pracy obejmują : aproksymację tych obiektów, w tym ich aproksymowanie na równomiernych siatkach dyskretnych; wyznaczanie wypukłych zbiorów o zadanej geometrii zawierających atraktory IFS, w tym kół i kul oraz wielokątów i wielościanów wypukłych; wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem oraz obliczanie odległości punktu przestrzeni od atraktora; szacowanie wektorów normalnychw punktach atraktora; metody obrazowania rozważanych obiektów zlokalizowanych przestrzeni dwu- i trójwymiarowej. Większość z omawianych algorytmów zaprezentowano w formie pseudokodu, który powinien być zrozumiały dla każdego czytelnika znającego dowolny język programowania proceduralnego. Efektywne algorytmy rozwiązywania wymienionych problemów umożliwiają m.in. dokonywanie realistycznej wizualizacji atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP w czasie rzeczywistym przy wykorzystaniu współczesnego sprzętu graficznego. Nadto, po dokonaniu implementacji odpowiednich algorytmów rozwiązujących te problemy, obrazowanie może być dokonywane za pomocą istniejących aplikacji graficznych. Implementacje te mogą również posłużyć jako niezbędny element do wizualizowania omawianych obiektów przy użyciu powszechnie stosowanych API graficznych, takich jak OpenGL lub Direct3D. W szczególności implementacje te mogą zostać zastosowane jako moduły rozszerzające funkcjonalność istniejących silników graficznych i fizycznych o możliwość przetwarzania modeli opartych na specyfikacjach IFS. Potencjalny zakres zastosowań problematyki podjętej w pracy jest bardzo szeroki i rozciąga się od wizualizacji naukowej, poprzez rozrywkę (gry komputerowe i wideo), do sztuki nowoczesnej. Celem pracy jest zebranie i usystematyzowanie rozwiązań do tej pory rozproszonych w literaturze dotyczącej zarówno grafiki komputerowej, jak i stricte fraktali oraz matematycznej, w tym rezultatów wieloletnich badań przedstawianych przez autora w jego indywidualnych publikacjach. Niektóre z rezultatów, zarówno tych uzyskanych poprzednio przez autora, jak i przez innych badaczy, zostały w niniejszej pracy rozszerzone i zaktualizowane, pewne zaś zostały przedstawione w formie zawężonej do kontekstu tematu pracy.

EN

The monograph is devoted to the presentation and analysis of the methods and algorithms to solve some fundamental problems which appear in computer visualisation of fractal objects described by iterated function systems (IFS), namely IFS attractors and IFSP invariant measures. The discussed topics cover : the approximation of the mentioned objects, including their approximation on rectangular lattices, the determination of convex sets of a given geometry to bound IFS attractors, including bounding discs and balls, as well as boudning polygons and polyhedrons; the determination of the ray-attractor intersection and the computation of the distance between a given point and the attractor; the estimation of the normal vector at attractor points; visualisation of attractors and invariant measures in 2D and 3D space. The majority of the algorithms are presented in the form of a pseudo-code that should be comprehensible to any reader familiar with a procedural programming lanuage. Providing efficient algorithms to solve the mentioned problems makes it possible to perform, amongst others, realistic visualisation of the IFS attractors and IFSP invariant measures in realtime with a modern graphics adaptor. Moreover, the implementation of adequate algorithms allows visualisation to be done with the aid of existing graphics applications. They can also serve as an indispensable ingredient for visualisation of the considered objects by means of popular graphics APIs, such as OpenGL and Direct3D. In particular, they can be used as modules extending the functionality of existing game and physics engines. The scope of potential applications of the issues we deal with in the monograph is very broad and ranges from scientific visualisation, entertainment (computer and video games) to modern art. The main goal of this work is to collect and systematize the solutions scattered so far in relevant literature focused on computer graphics as well as concerned with fractals and mathematics, includind results obtained by the author and published in his individual papers. Some of the results, obtained previously both by the author and other researches, have been generalized and updated in the monograph, while some of them have been presented in a form restricted to the context of the monograph's theme.

Słowa kluczowe

PL

fraktal; atraktor IFS; układ odwzorowań iterowanych; algorytmy geometryczne; grafika komputerowa; wizualizacja

EN

fractal; IFS attractor; iterated function system; geometric algorithms; computer graphics; visualization

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej
• Czasopismo: Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej. Elektronika
• Rocznik: 2011
• Tom: z. 178
• Strony: 5--280
• Opis fizyczny: Bibliogr. 158 poz., tab., rys., wykr.

Twórcy

autor

Martyn T.

• Instytut Informatyki Politechniki Warszawskiej

Bibliografia

• [1] Akenine-Möller T., Haines E.: Real-time rendering. 2nd ed. A.K. Peters, Weselley, Massachusetts, 2002.
• [2] Akl S.G.: Two remarks on a convex hull algorithm. Information Processing Letters, 1979, 8, s. 108-9.
• [3] Alligood K.T., Sauer T.D., Yorke J.A: Chaos. An introduction to dynamical systems. Springer, New York, 2000.
• [4] Bachman G., Narici L.: Functional analysis. Dover Publications, 1998.
• [5] Barnsley M.F.: Fractal functions and interpolation. Constructive Approximation, 1988, 2, s. 303-329.
• [6] Barnsley M.F.: The destskop fractal design handbook. Academic Press, New York. 1989.
• [7] Barnsley M.F.: Fractals every where. 2nd ed. Academic Press, Boston, 1993.
• [8] Barnsley M.F.: Theory and application of fractal tops. In: Fractals in Engineering: New trends in theory and application. J. Lévy-Véhel, E. Lutton (red.), Springer, London, 2005, s. 3-20.
• [9] Barnsley M.F.: Superfractals. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
• [10] Barnsley M.F., Elton J.H., Hardin D.P.: Recurrent iterated function systems. Constructive Approximation, 1989, 5(1), s. 3-31.
• [11] Barnsley M.F., Jacquin A., Malassenet F., Reuter L., Sloan A.D.: Harnessing chaos for image synthesis. Computer Graphics, 1988, 22(4), s. 131-140.
• [12] Barr A.H.: Ray tracing deformed surfaces. Computer Graphics, 1986, 20(4), s. 287-296.
• [13] Blinn J.F.: Light reflection functions for simulation of clouds and dusty surfaces. Computer Graphics, 1982, 16(3), s. 21-28.
• [14] Bowman R.: Fractal metamorphosis: A brief student tutorial. Computers & Graphics, 1995, 19(1), s. 157-64.
• [15] Burch B., Hart J.: Linear fractal shape interpolation. Graphics Interface'97, 1997, s. 155-62.
• [16] Cabral B., Cam N., Foran J.: Accelerated volume rendering and tomographic reconstruction using texture mapping hardware. ACM Symp. on Volume Visualization, 1994, s. 91-98.
• [17] Canright D.: Estimating the spatial extent of the attractors of iterated function systems. Computers & Graphics, 1994, 18(2), s. 231-238.
• [18] Chen Y.Q., Bi G.: 3-D ifs fractals as real-time graphics models. Computers & Graphics, 1997, 21(3), s. 367-370.
• [19] Chu H.-T., Chen Ch.-Ch.: On bounding boxes of iterated function system attractors. Computers & Graphics, 2003, 27(4), s. 407-414.
• [20] Cochran W.O., Lewis R.R., Hart J.C.: The normal of a fractal surface. The Visual Computer. 2001, 17(4), s. 209-218.
• [21] Cormen Th.H., Leiserson Ch.E., Rivest R.L.: Wprowadzenie do algorytmów. WNT, Warszawa 1997.
• [22] Cullip T.J., Neumann U.: Accelerating volume reconstruction with 3D texture hardware. Tech. Rep. TR93-027, University of North Caroline at Chapel Hill, 1993.
• [23] de Berg M., van Kreveld M., Overmars M., Schwarzkopf O.: Computational geometry - algorithms and applications. 2nd ed. Springer, New York 2000,
• [24] Draves S., Reckase B.: The fractal frame algorithm. http://flam3.com 2003.
• [25] Dubuc S., Elqortobi A.: Approximations of fractal sets. J. Computational and Applied Mathematics, 1990, 29, s. 78-89.
• [26] Dubuc S., Hamzaoui R.: On the diameter of the attractor of an IFS. Manuscript, 1994.
• [27] Dyson F.: Characterizing irregularity. Science, 1978, 200(4342), s. 677-678.
• [28] Eberly D.H.: 3D game engine design. 2nd ed. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam, 2007.
• [29] Ebert D.S., Musgrave F.K., Peachey D., Perlin K., Worley S.: Texturing & modeling. A procedural approach. 3nd ed. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam, 2003.
• [30] Edalat A., Sharp D.W.N., While R.L.: Bounding the attractor of an IFS. Imperial College Research Report DoC 96/5, 1996.
• [31] Edgar A.G.: Measure, topology, and fractal geometry. Springer, New York 1990.
• [32] Elton J.: An ergodic theorem for iterated maps. Journal of Ergodic Theory and Dynamical Systems, 1987, 7, s. 481-488.
• [33] Falconer K.: Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, Chichester 1990.
• [34] Falconer K.: Techniques in fractal geometry. John Wiley & Sons, Chichester 1997.
• [35] Feller W.: An introduction to probability theory and its application. Volume I. Third ed. John Wiley & Sons, New York 1963.
• [36] Fisher Y. (red.): Fractal image compression: Theory and application. Springer, New York 1995.
• [37] Foley J.D., van Dam A., Feiner S.K., Hughes J. F.: Computer graphics. Principles and practice. 2nd ed. in C. Addison-Wesley, Boston 1990.
• [38] Forte B., Mendivil F.: A classical ergodic property for IFS: A simple proof. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 1998, 18(3), s. 609-611.
• [39] Fournier A., Fussel D., Carpenter L: Computer rendering of stochastic models. Communications of the ACM, 1982, 25(6), s. 371-384.
• [40] Freeman H., Shapira R.: Determining the minimum-area enclosing rectangle for an arbitrary closed curve. Communications of the ACM, 1975, 18, s. 409-13.
• [41] Giles J.R.: Introduction to the analysis of metric spaces. Cambridge University Press, Cambridge 1987.
• [42] Giles J.R.: Introduction to the analysis of normed linear spaces. Cambridge University Press, Cambridge 2000.
• [43] Glassner A.S. (red.): An introduction to ray tracing. Academic Press, London 1989.
• [44] Golub G.H., Van Loan C.F.: Matrix computations. 2nd ed. Johns Hopkins, Baltimore 1989.
• [45] Goodman G.S.: A probabilist looks at the chaos game. In: Fractals in the fundamental and applied sciences. H.-O. Peitgen, J.M. Henriques i L.F. Penedo (red.), North-Holland, Amsterdam 1991, s. 183-224.
• [46] Gross M., Pfister H. (red.): Point-based graphics. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam 2007.
• [47] Gröller E.: Modeling and rendering of nonlinear iterated function systems. Computers & Graphics, 1994, 18(5), s. 739-748.
• [48] Gröller E.: Nonlinear ray tracing: visualizing strange worlds. The Visual Computer, 1995, 11, s. 263-274.
• [49] Gutiérrez J.M., Iglesisas A., Rodriguez: A multifractal analysis of IFSP invariant measures with application to fractal image generation. Fractals. Complex geometry, patterns, and scaling in nature and society, 1996, 4(1), s. 17-27,
• [50] Haines E.: Efficiency improvements for hierarchy traversal in ray tracing. In: Graphics gems II, J. Arvo (red.). Academic Press, Boston 1991, s. 267-272.
• [51] Hall R.: Illumination and color in computer generated imaginary. Springer, New York 1989.
• [52] Hart J.C., DeFanti T.A.: Efficient antialiased rendering of 3-D linear fractals. Computer Graphics, 1991, 25(4), s. 91-100.
• [53] Hart J.C., Sandin D.J., Kauffman L.H.: Ray tracing deterministic 3-D fractals. Computer Graphics, 1989, 23(3), s. 289-296.
• [54] Harte D.: Multifractals. Theory and applications. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 2001.
• [55] Hepting D., Hart J.C.: The escape buffer: Efficient computation of escape time for linear fractals. Proc. Graphics Interface'95, 1995, s. 204-214.
• [56] Hepting D., Prusinkiewicz P., Saupe D.: Rendering methods for iterated function systems. In: Fractals in the fundamental and applied sciences. H.-O. Peitgen, J.M. Henriques i L.F. Penedo (red.). North-Holland, Amsterdam 1991, s. 183-224.
• [57] Herbison-Evans D.: Solving and cubics for graphics. In: Graphics gems V, A.W. Paeth (red.), Academic Press, Boston 1995, s. 3-15.
• [58] Hoppe H., DeRose T., Duchamp T., McDonald J., Suetzle W.: Surface reconstruction from unorganized points. Computer Graphics, 1992, 26(3), s. 71-78.
• [59] Hutchinson J.: Fractals and self-similarity. Indiana University Journal of Mathematics, 1981, 30, s. 713-747.
• [60] Jakubowski J., Sztencel R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. SCRIPT, Warszawa 2000.
• [61] Jarvis J.P., Shier D.R.: Graph-theoretic analysis of finite Markov chains. In: Applied mathematical modeling: A multidisciplinary approach. D.R. Shier, K.T. Wallenius (red.): Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 1996.
• [62] Kajiya J.T.: New techniques for ray tracing procedurally defined objects. Computer Graphics, 1982, 17(3), s. 91-102.
• [63] Kajiya J.T., Von Herzen B.P.: Ray tracing volume densities. Computer Graphics, 1984, 18(3), s. 165-174.
• [64] Kay T.L., Kajiya J.T.: Ray tracing complex scenes. Computer Graphics, 1986, 20(4), s. 269-278,
• [65] Kenyon R., Li J., Strichartz R.S., Wang Y. Geometry of self-affine tiles II. Indiana University Mathematics Journal, 1999, 48, s. 25-42.
• [66] Kiełbasiński A., Schwetlick H.: Numeryczna algebra liniowa. Wprowadzenie do obliczeń zautomatyzowanych. WNT, Warszawa 1992.
• [67] Kincaid D., Cheney W.: Numerical analysis. Mathematics of scientific computing. 3th ed. Americal Mathematical Society, 2002.
• [68] Knuth D.E., Morris J.H., Pratt V.R.: Fast pattern matching in strings. SIAM Journal on Computing, 1977, 6(2), s. 323-350.
• [69] Krüger J., Westermann R.: Acceleration techniques for GPU-based volume rendering. Proceedings of IEEE Visualization '03, 2003, s. 287-292.
• [70] Kudrewicz J.: Fraktale i chaos. Wyd. 3, WNT, Warszawa 1996.
• [71] Lawlor O.S., Hart J.C.: Bounding recursive procedural models using convex optimization. Proc. Pacific Graphics '03.
• [72] Lengyel E.: Mathematics for 3D game programming and computer graphics. 2nd ed. Charles River Media, Hingham, Massachusetts 2004.
• [73] Luebke D., Reddy M., Cohen J.D., Varshney A., Watson B., Huebner R.: Level of detail for 3D graphics. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam 2003.
• [74] Luna F.D.: Introduction to ID game programming with DirectX 9.0c: A shader approach. Worldware Publishing, Inc. 2006.
• [75] Maciejewski M.: Modelowanie roślin przy wykorzystaniu uogólnionych systemów funkcji iterowanych. Praca magisterska (pod kierunkiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warszawa 2003.
• [76] Mandelbrot B.B.: The fractal geometry of nature. W. H. Freeman and Co., New York, 1982.
• [77] Mandelbrot B.B.: Selected topics in mathematics, physics, and finance originating in fractal geometry. In: Thinking in patterns. M.M. Novak (red.), World Scientific, Singapore 2004, s. 1-33.
• [78] Manly T.F.J.: Multivariate statistical methods. Chapman & Hall, London, 1986.
• [79] Martyn T.: Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji. Wydawnictwo Nakom, Poznań 1996.
• [80] Martyn T.: Wizualizacja atraktorów IFS metodą śledzenia promieni. Raport Badawczy II PW, 2/97, Warszawa 1997.
• [81] Martyn T.: Wizualizacja atraktorów afinicznych IFS metodą śledzenia promieni. Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Warszawa 1999.
• [82] Martyn T.: Efficient ray tracing affine IFS attractors. Computers & Graphics, 2001, 25(4), s. 665-670.
• [83] Martyn T.: An elementary proof for correctness of the chaos game for IFS and its hierarchical and recurrent generalizations. Computers & Graphics, 2002, 26(3), s. 505-510.
• [84] Martyn T.: On approximation accuracy of the chaos game's finite-time activity. Computers & Graphics, 2002, 26(5), s. 753-764.
• [85] Martyn T.: An approach to ray tracing affine IFS fractals. In: Emergent nature. M.M. Novak (red.), World Scientific, Singapore 2002, s. 283-292.
• [86] Martyn T.: Tight bounding ball for affine IFS attractor. Computers & Graphics, 2003, 27(4), s. 535-552.
• [87] Martyn T.: A new approach to morphing 2D affine IFS fractals. Computers & Graphics, 2004, 28(2), s. 249-272.
• [88] Martyn T.: A method for numerical estimation of generalized Rényi dimensions of affine recurrent IFS invariant measures. In: Thinking in patterns. M.M. Novak (red.), World Scientific, Singapore 2004, s. 79-90.
• [89] Martyn T.: Convex containers of affine 2D IFS attractors. Tekst niepublikowany, arch. autora, 2006.
• [90] Martyn T.: A generative construction and visualization of 3D fractal measures. In: Complexus mundi. Emergent patterns in nature. M.M. Novak (red.), World Scientific, Singapore 2006, s. 103-112.
• [91] Martyn T.: Convex containers of IFS attractors. Seminarium Zakładu Grafiki Komputerowej 22.01.2008, Instytut Informatyki, Politechnika Warszawska, 2008.
• [92] Martyn T.: The attractor-wrapping approach to approximating convex hulls of 2D affine IFS attractors. Computers & Graphics, 2009, 33(1), s. 104-112.
• [93] Martyn T.: The smallest enclosing disc of an affine IFS fractal. Fractals. Complex geometry, patterns, and scaling in nature and society, 2009, 17(3), s. 269-281.
• [94] Martyn T.: Exploring the infinite-time behavior of the chaos game: Approximation and interactive visualization of 3D IFSP and RIFS invariant measures using PC graphics accelerators. Machine Graphics & Vision, 2010, 18(4), s. 453-476.
• [95] Martyn T.: Realistic rendering 3D IFS fractals in real-time with graphics accelerators. Computers & Graphics, 2010, 34(2), s. 167-175.
• [96] Massopust P.R.: Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets. Academic Press, San Diego 1994.
• [97] Mattila P.: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability. Cambridge University Press, Cambridge 1999.
• [98] Megiddo N.: Linear-time algorithms for linear-programming in R3 and related problems, SIAM J. Comput., 1983, 12(4), s. 759-776.
• [99] Megiddo N.: Linear programming in linear time when the dimension is fixed. J. of ACM., 1984, 31, s. 114-127.
• [100] Monro D.M., Dudbridge F.: Rendering algorithms for deterministic fractals. IEEE Computer Graphics and Application, 1995, 15(1), s. 32-41.
• [101] Mrowiec S.: Graficzna analiza multifraktalna atraktorów RIFS 3D z wykorzystaniem wizualizacji wolumetrycznej wspomaganej sprzętowo. Praca magisterska (pod kierunkiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warszawa 2004.
• [102] Musgrave F.K., Kolb C.E., Mace R.S.: The synthesis and rendering of eroded fractal terrains. Computer Graphics, 1989, 23(3), s. 41-50.
• [103] Nelder J.A, Mead R.: A simplex method for function minimization. Computer Journal, 1965, 7(4), s. 308-313.
• [104] Nikiel S.: True-colour images and iterated function systems. Computers & Graphics, 1998, 22(5), s. 635-540.
• [105] Nikiel S.: Iterated function systems for real-time image synthesis. Springer, London 2007.
• [106] Nikiel S., Goinski A.: Generation of volumetric escape time fractals. Computers & Graphics, 2003, 27, s. 977-982.
• [107] Nikiel S., Steć P.: Rekurencyjny algorytm generacji systemów funkcji iteracyjnych. Metody i systemy komputerowe w badaniach naukowych i projektowaniu inżynierskim: II Krajowa Konferencja, Krakowskie Centrum Informatyki Stosowanej, Kraków 1999.
• [108] Norton A.: Generation and display of geometric fractals in 3-D. Computer Graphics, 1982, 16(3), s. 61-67.
• [109] Olano M., Hart J.C., Heidrich W., McCool M.: Real-time shading. A K Peters, Natic, Massachusetts 2002.
• [110] O'Rourke J.: Computational geometry in C. 2nd ed. Cambridge University Press, Cambridge 2003.
• [111] Pajarola R., Sainz M., Guidotti P.: Confetti: object-space point blending and splatting. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 2004, 10(5), s. 598-608.
• [112] Pauly M., Keiser R., Kobbelt L.P., Gross M.: Shape modeling with point-sampled geometry. ACM Transactions on Graphics, 2003, 22(3), s. 641-650.
• [113] Peitgen H.-O., Jürgens H., Saupe D.: Chaos and fractals. New frontiers of science. 2nd ed. Springer, New York 2004.
• [114] Peitgen H.-O., Saupe D. (red.): The science of fractal images. Springer-Verlag, New York 1988.
• [115] Peruggia M.: Discrete iterated function systems. A K Peters, Wellesley, Massachusetts 1993.
• [116] Petersen K.: Ergodic theory. Cambridge University Press, Cambridge 1981
• [117] Pierański P.: Fraktale. Od geometrii do sztuki. Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992.
• [118] Pirzadeh H.: Computational geometry with the rotating calipers. M.Sc. thesis, School of Computer Science, McGill University, Montreal, Quebec, Canada 1999
• [119] Polack T.: Focus on 3D terrain programming. Premier Press, Cincinnati, Ohio 2003.
• [120] Preparata F.P., Shamos M.I.: Computational geometry - an introduction. Springer Verlag, New York 1985.
• [121] Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T.: Numerical Recipes in C. 2nd ed. Cambridge University Press, Cambridge 1992.
• [122] Prokop J.: Tight bounding volumes for an IFS attractor. Praca inżynierska (pod kierunkiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warszawa 2007.
• [123] Prokop J.: Approximation of convex hulls for an IFS attractor. Praca magisterska (pod kierunkiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warszawa 2008.
• [124] Prusinkiewicz P., Hammel M.S.: Escape-time visualization metod for language-restricted iterated function systems. Proceedings of Graphics Interface '92, 1992, s. 213-223.
• [125] Prusinkiewicz P., Sandness G.: Koch curves as attractors and repellers. IEEE Computer Graphics and Applications, 1988, 8(6), s. 26-40.
• [126] Rezk-Salama C., Engel K., Bauer M., Greiner G., Ertl T.: Interactive volume rendering on standard PC graphics hardware using multi-textures and multi-stage rasterization. Graphics Hardware 2000, 2000, s. 109-118.
• [127] Rice J.: Spatial bounding of self-affine iterated function system attractor sets. Technical Report TCD-CS-96-1, Dept. Computer Science, Trinity College, Dublin, Ireland 1996.
• [128] Rice J.: Spatial bounding of self-affine iterated function system attractor sets. Graphics Interface '96, 1996, s. 107-115.
• [129] Ritter J.: An efficient bounding sphere. In: Graphics gems. A.S. Glassner (red.), Academic Press, Boston 1990, s. 201-205.
• [130] Ritter J.: A simple ray rejection test. In: Graphics gems. A.S. Glassner (red.), Academic Press. Boston I990, s.201-205.
• [131] Rudin W.: Podstawy analizy matematycznej. PWN, Warszawa 1998.
• [132] Sabella P.: A rendering algorithm for visitalizing 3D scalar fields. Computer Graphics, 1988, 22(4), s. 51-61.
• [133] Schwarze J.: Cubic and quartic roots. In: Graphics gems. A.S. Glassner (red.), Academic Press, Boston 1990, s. 404-407.
• [134] Seculic D.: Efficient occlusion culling. In: GPU Gems. R. Fernando (red.), Addison-Wesley, Boston 2004, s. 404-407.
• [135] Seidel R.: Backwards analysis of randomized geometric algorithms. In: New trends in discrete and computational geometry. Algorithms and combinatorics. Vol. 10. J. Pach (red.), Springer, Berlin 1993, s. 37-68.
• [136] Shinya M., Takahashi T., Naito S.: Principles and application of pencil tracing. Computer Graphics, 1987, 21(4), s. 45-54.
• [137] Skarbek W.: On correctness of algorithms for approximation of IFS fractals. Machine Graphics & Vision, 1992, 1 (3), s. 555-560.
• [138] Skarbek W.: Metody reprezentacji obrazów cyfrowych. Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1993.
• [139] Skarbek W.: Notatka dołączona do recenzji rozprawy doktorskiej (Martyn [81]), 1999.
• [140] Skarbek W.: Notatka w recenzji wydawniczej manuskryptu tej pracy, 2011.
• [141] Stark J.: Iterated function systems as neural networks. Neural Networks, 1991, 4, s. 679-690.
• [142] Stępień C.: Self-congruent plant model and IFS models. Proceedings of the 10th IEEE International Conference on Methods and Robotics, 2004, s. 189-194.
• [143] Stępień C.: An IFS-based method for modeling horns, seashells and other natural forms. Computers & Graphics, 2009, 33(4), s. 576-581.
• [144] Strichartz R.S., Wang Y.: Geometry of self-affine tiles I. Indiana University Mathematics Journal, 1999. s. 48:1-23.
• [145] Sysło M.M., Deo N., Kowalik J.S. Algorytmy optymalizacji dyskretnej. Wyd. 3, PWN, Warszawa 1999.
• [146] Szeliski R., Terzopoulos D.: From splines to fractals. Computer Graphics, 1989, 23(3), s. 51-60.
• [147] Toussaint G.T.: Solving geometric problems with the rotating calipers. Proceedings of IEEE MELECON'83. Athens, Greece 1983.
• [148] Trajdos T.: Matematyka. Część III. WNT, Warszawa 1993.
• [149] Traxler C., Gervautz M.: Efficient ray tracing of complex natural scenes. In: Fractal Frontiers. M.M. Novak, T.G. Dewey (red.), World Scientific, Singapore 1997, s. 431-442.
• [150] Van Loocke Ph.: Polygon-based fractals front compressed iterated function systems. Computer Graphics, 2010, 30(2), s. 34-44.
• [151] van Wijk J.J., Saupe D.: Image-based rendering of iterated function systems. Computers & Graphics, 2004, 28(6), s. 937-943.
• [152] Welzl E. Smallest enclosing disks (balls and ellipsoids). In: New results and new trends in computer science. H. Maurer (red.), Springer Verlag, New York 1991, s. 359-370,
• [153] Whitted T.: An improved illumination model for shaded display. Communications of the ACM, 1980, 23(6), s. 343-349.
• [154] Wittenbrink C.M.: IFS fractal interpolation for 2D and 3 D visualization. Proceedings of Visualization 95, 1995, s. 77-84.
• [155] Wonka P., Gervautz M.: Ray tracing of nonlinear fractals. WSCG Plzen Proceedings, 1998, s. 424-431.
• [156] Wu X.: A linear-time simple bounding volume algorithm. In: Graphics gems III. D. Kirk (red.), Academic Press, Boston 1992, s. 301-306.
• [157] Zabrodzki J. (red.): Grafika komputerowa - metody i narzędzia. WNT, Warszawa 1993.
• [158] Żukowski M.: Zastosowanie algorytmów genetycznych do interakcyjnego modelowania fraktali IFS. Praca magisterska (pod kierunkiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warszawa 2004.