Uogólnione odwzorowanie Roussilhe'a powierzchni elipsoidy

• Autorzy: Balcerzak J.

Warianty tytułu

EN

The generalized Roussilhe projection of the surface of an ellipsoid

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W zbiorze odwzorowań kartograficznych powierzchni elipsoidy ważne miejsce zajmują odwzorowania konforemne optymalizujące rozkład zniekształceń odwzorowawczych w obszarach prawie kołowych lub w pasach okołopołudnikowych. Do pierwszej kategorii należy odwzorowanie Roussilhe'a, natomiast do drugiej - odwzorowanie Gaussa-Krügera. W niniejszej pracy przedstawiono koncepcję konstrukcji globalnego odwzorowania Roussilhe'a całej powierzchni elipsoidy jako odwzorowania złożonego wykorzystując spostrzeżenie, że parametr długości łuku południka powierzchni elipsoidy jako parametr rzeczywisty w odwzorowaniu Roussilhe'a, identyfikuje się z odpowiadającym mu parametrem rzeczywistym długości łuku południka w odwzorowaniu Gaussa-Krügera. W złożeniu tym odwzorowanie Gaussa-Krügera, definiowane jako odwzorowanie konforemne uogólnionej długości łuku południka w postaci parametru zespolonego, jest wykorzystane jako odwzorowanie pośrednie. Złożenie funkcji tworzących odwzorowanie Gaussa-Krügera wraz z funkcją tworzacą odwzorowanie stereograficzne jest podstawą konstrukcji globalnego uogólnionego odwzorowania Roussilhe'a. Wobec konieczności wykorzystania w pracy globalnego odwzorowania Gaussa-Krügera, rozwinięto propozycję Lee (1964) użycia do jego konstrukcji funkcji eliptycznych Jacobiego. Opracowano, z użyciem tych funkcji, analityczne ujęcia podstawowych zadań odwzorowania i sformułowano analityczne podstawy do tworzenia algorytmów numerycznego rozwiązania zadania prostego, zadania odwrotnego, wyznaczania zbieżności południków i wartości lokalnego znieksztalcenia długości. Wykorzystanie odwzorowania Gaussa-Krügera, jako odwzorowania pomocniczego, umożliwiło konstrukcję odwzorowania Roussilhe'a w uogólnionej postaci wprost z jego definicji. Wykazano, że w pewnych warunkach zależnych od wartości przyjętego parametru liczbowego R, odwzorowanie Gaussa-Krügera można przedstawić jako szczególny przypadek odwzorowania Roussilhe'a. Przedstawione zostały ścisłe formuły do rozwiązania zadania prostego i zadania odwrotnego; również w sposób ścisły ujęto skalę odwzorowania. Zaproponowano pewne ogólne podejście do wyznaczania redukcji odwzorowawczych kierunków w dowolnych odwzorowaniach konforemnych i zastosowano je do podania ścisłych zależności umożliwiających wyznaczanie redukcji kierunków i kątów w odwzorowaniu Roussilhe'a. Przebadano uogólnione odwzorowanie Roussihle'a w skali całgo globu ziemskiego i zaprezentowano graficznie wybrane siatki kartograficzne. Pokazano zmiany ich cech charakterystycznych zależności od wartości parametru liczbowego R i położenia punktu centralnego odwzorowania. Uogólnione odwzorowanie Roussihle'a wykorzystano do skonstruowania odwzorowania lokalnego, obejmującego cały obszar Polski. W celu zmniejszenia oscylacji lokalnej skali długości wprowadzono pewny współczynnik skalujący m0 i uzyskano maksymalne zniekształcenia długości dla obszaru Polski rzędu 0,50 m na 1 km.

EN

Within the set of cartographic projections of an ellipsoid surface the conformal projections which optimize the distribution of projecting distortions are quite significant in quasi circular areas or in circummeridional zones. The Roussilhe projection belongs to the former category, Gauss-Krüger's - to the latter. This thesis presents a construction concept of the global Roussilhe projection of the entire ellipsoid surface as a complex projection, on the assumption that the arc length parameter of the surface ellipsoid meridian is the real one in the Roussilhe projection and identifies with the real arc length parameter corresponding to it in the Gauss-Krüger projection. In such a combination the Gauss-Krüger projection, defined as the conformal projection of the generalized length of the meridian arc in the form of a complex parameter has been used as an indirect projection. Combining the functions making up the Gauss-Krüger projections along-side the function that makes up the stereographic projection is the basis of construction of the generalized global Roussilhe projection. Since it was found necessary to apply the global Gauss-Krüger projection in this thesis, Lee's suggestion (1964) was developed: the use of Jacobi's elliptic functions in its construction. By means of the said functions analytical approaches to the elementary projection problems were worked out. An analytical basis for creating algorithms of a numerical solution of the simple problem, the reverse problem, the determination of the convergence of the meridians and the value of local length distortion was also formulated. The use of the Gauss-Krüger projection as the auxiliary one made it possible to construct the Roussilhe projection in a generalized form directly from its definition. It has been proved that under certain conditions depending on the value of the accepted numerical parameter R, the Gauss-Krüger projection might be presented as a special case of the Roussilhe projection. Accurate formulas to solve the simple problem and the reverse one are presented; the projection scale has also been approached in an accurate manner. A certain general approach in determining direction projecting reductions in optional conformal projections has been set forth and they have been applied to giving accurate dependences which make it possible to determine direction and angle reductions in the Roussilhe projection. The generalized Roussilhe projection has been analyzed in the scale of the entire globe and selected map graticules are presented graphically. Changes in their characteristic traits are shown according to the value of the numerical parameter R and the position of the projection's central point. The generalized Roussilhe projection has been applied to the construction of a local one which covers the entire area of Poland. In order to diminish local length scale oscillation, a certain scaling coefficient mo has been introduced; thus obtaining maximum length distortion for the area of Poland in the order of 0.5 m per 1 km.

Słowa kluczowe

PL

odwzorowanie Roussilhe'a; odwzorowanie Gaussa-Krügera; powierzchnia elipsoidy

EN

Roussilhe projection; Gauss-Kruger projection; ellipsoid surface

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej
• Czasopismo: Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej. Geodezja
• Rocznik: 2000
• Tom: z. 37
• Strony: 3--65
• Opis fizyczny: Bibliogr. 23 poz., rys., wykr.

Twórcy

autor

Balcerzak J.

• Instytut Fotogrametrii i Kartografii, Politechnika Warszawska

Bibliografia

• Achiezer, N.I. (1970): Elementy tieorii elipticzeskich funkcji. Nauka, Moskwa.
• Balcerzak, J. (1994): Projective reductions in the Roussilhe projection. Geodezja i Kartografia, t. XLIII, z. 4.
• Balcerzak, J. (1994): Odwzorowanie Gaussa-Krügera w szerokiej 12º strefie dla obszaru Polski. w: Materiały IX Szkoły Kartograficznej, Komorowo 1994, Polska kartografia map topograficznych., wyd. Uniwersytet Warszawski.
• Balcerzak, J. (1997): Projection reductions of limited range in the Roussilhe projection. Geodezja i Kartografia, t. XLVI, z. 4.
• Balcerzak, J., Gdowski, B. (1998): Global projecting reductions. Geodezja i Kartografia, t. XLII, z. 3.
• Balcerzak, J. (1999): Global mapping reductions in the Roussilhe projection. Geodezja i Kartografia, t. XLVIII, z. 1-2.
• Biernacki, F. (1927): Odwzorowanie Roussilhe'a i próba zastosowania jego metody do obszaru Polski. Biblioteka Przeglądu Mierniczego, nr 12, Warszawa.
• Biernacki, F., Słomczyński, J. (1932): Odwzorowanie quasi-stereograficzne Wojskowego Instytutu Geograficznego. Wojskowy Instytut Geograficzny, Warszawa.
• Biernacki, F. (1949): Teoria odwzorowań powierzchni dla geodetów i kartografów. Główny Urząd Pomiarów Kraju, Prace Geodezyjnego Instytutu Naukowo-Badawczego, Warszawa.
• Byrd, P.F., Friedman, M.D. (1954): Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists. Springer-Verlag, Berlin.
• Christov, V. (1964): Matematyczeska geodezja. Technika, Sofia.
• Gdowski, B. (1964): Odwzorowanie Gaussa-Krügera całej sferoidy. Geodezja i Kartografia, t. XIV, z. 3.
• Grabowski, L. (1928): O odwzorowaniach płaskich wiernokątnych elipsoidy obrotowej, w którym pewien wybrany południk odwzorowuje się jako linia prosta. Czasopismo Techniczne, Lwów.
• Lee, L.P. (1962): The transverse Mercator Projection of the entire spheroid. Empire Survey Review, vol. XVI, London.
• Letoval'cev, I.G. (1968): O projekcii Russilja. Izwiestia, Geodezja i Aehrofotos'emka, vyp. 2.
• Oberhettinger, F., Magnus, W. (1963): Zastosowania funkcji eliptycznych w fizyce i technice. PWN, Warszawa.
• Panasiuk, J., Balcerzak, J., Gdowski, B. (1988): Obliczanie współrzędnych w odwzorowaniu Gaussa-Krügera w oparciu o aparat funkcji eliptycznych Jacobiego według L. P. Lee (aspekt prosty przeliczania współrzędnych geodezyjnych B, L na współrzędne prostokątne płaskie x, y Gaussa-Krügera). Geodezja i Kartografia, t. XXXVII, z. 4.
• Panasiuk, J., Gdowski, B., Balcerzak, J. (1993): Lokalna skala długości w odwzorowaniu Gaussa-Krügera całej elipsoidy. Geodezja i Kartografia, t. XLII, z. 3.
• Panasiuk, J., Gdowski, B., Balcerzak, J. (1993): The Roussilhe projection of the entire ellipsoid. International Cartographic Associaton, Proceedings vol. 2, of the 16th International Cartographic Conference, Cologne.
• Panasiuk, J., Balcerzak, J., Gdowski, B. (1999): Projection of the territory of Poland in wide Gauss-Krüger zone. The Polish Cartography 1999, On the occassion of the Eleventh General Assembly of the International Cartographic Associaton and the Nineteenth International Cartographic Conference, Ottawa, Canada 1999.
• Snyder, J.P. (1987): Map projections - A Working Manual. US Geological Survey Professional Paper 1935, Washington, Government Printing Office.
• Weisstein, E.: World of MATHEMATICS, THE WEB'S MOST EXTENSIVE MATHEMATICS RESOURCE, http://www.mathworld.wolfram.com/
• Zenin, V. N. (1968): K voprosu o vybore geodezicheskojj proekcii dlja inzhenerno-geodezicheskikh rabot. Izwiestia, Geodezja i Aehrofotos'emka, vyp. 6.