Estymacja maksymalnego wykładnika Lapunowa układów dynamicznych w oparciu o zjawisko synchronizacji

• Autorzy: Stefański A.

Warianty tytułu

EN

Estimation of the largest Lyapunov exponent of dynamical systems on the basic of synchronization phenomenon

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Przedmiotem niniejszej rozprawy jest nowa metoda estymacji maksymalnego wykładnika Lapunowa, której istota opiera się na zjawisku synchronizacji pary identycznych układów dynamicznych, połączonych mechanizmem ujemnego sprzężenia zwrotnego. We wstępnej części pracy opisane jest pojecie wykładnika Lapunowa, jego matematyczne własności i zastosowanie przy analizie układów dynamicznych, a także zwięzły opis znanych metod obliczania i szacowania zarówno największego wykładnika Lapunowa, jak też pełnego spektrum tych wykładników charakteryzujących rozpatrywany układ dynamiczny. Przedmiotem rozważań zawartych w rozdziale drugim jest teoretyczna analiza mechanizmów oddziaływania na siebie dwóch bliźniaczych układów dynamicznych, które prowadzą do pełnej synchronizacji tych układów. Analiza matematyczna jest zilustrowana interpretacją geometryczną oraz przykładami numerycznymi i stanowi ona teoretyczną podstawę proponowanej metody estymacji maksymalnego wykładnika Lapunowa. Pierwszym z rozpatrywanych mechanizmów jest ujemne sprzężenie zwrotne dwóch identycznych potoków fazowych. Takie ich połączenie charakteryzuje się liniową relacją pomiędzy wykładnikami Lapunowa charakterystycznymi dla tych układów i parametrami określającymi sprzężenie. Relacja ta umożliwia precyzyjne oszacowanie takich wartości tych parametrów, przy których następuje synchronizacja. Drugi z przedstawionych mechanizmów synchronizacyjnych jest odpowiednikiem ujemnego sprzężenia zwrotnego dla odwzorowań dyskretnych. W kolejnym rozdziale przedstawiono opis proponowanej metody. Zawiera on szczegółową instrukcję budowy numerycznego algorytmu procesu estymacji, który podczas realizacji wymaga określenia tylko kilku parametrów charakteryzujących metodę. W zależności od typu rozpatrywanego układu dynamicznego, maksymalny wykładnik Lapunowa można oszacować stosując jeden z trzech wariantów metody. Następnie przedstawione są przykłady estymacji maksymalnego wykładnika Lapunowa przy pomocy prezentowanej metody. Przedmiotem analizy numerycznej są modele matematyczne wybranych układów dynamicznych, zarówno odwzorowań, jak też potoków fazowych. Celem szerszego zaprezentowania możliwości proponowanej metody, rozpatrywane są głównie przykłady układów dynamicznych z nieciąglościami lub opóźnieniem czasowym, dla których zastosowanie znanych metod obliczania wykładników Lapunowa jest utrudnione. Dodatkowo zaprezentowano synchronizacyjną metodę detekcji ruchu chaotycznego, która jest uproszczoną wersją rozpatrywanej metody estymacji największego wykładnika Lapunowa. W końcowej części pracy zamieszczono analizę porównawcza wyników uzyskanych przy pomocy proponowanej metody z rezultatami otrzymanymi przy zastosowaniu innych znanych metod, dla tego samego modelu, Analizę tą połączono z dyskusją o przyczynach pojawiających się drobnych rozbieżności. W podsumowaniu zawarto uwagi i wnioski płynące z pracy oraz nakreślono kierunki dalszych badań związanych z poruszaną tematyką. Podstawową konkluzją pracy jest stwierdzenie, że zaprezentowana metoda posiada znaczne zalety w porównaniu do tradycyjnych algorytmów obliczania wykładników Lapunowa, szczególnie w odniesieniu do układów dynamicznych z nieciąglościami lub opóźnieniem czasowym, ponieważ bazuje ona na detekcji stanu synchronizacji, która jest zadaniem łatwym w numerycznej realizacji.

EN

The monograph deals with a novel method of estimation of the largest Lyapunov exponent IN dynamical systems. This method exploits the phenomenon of full synchronization between a pair of identical dynamical systems, coupled together with the mechanism of negative feedback. The properties of chaos synchronization are theoretical base for estimation procedure. It has been shown, that diagonal diffusive coupling of two identical dynamical systems (flows) leads to the linear dependence between the largest Lyapunov exponent (which characterizes the coupled systems) and coupling coefficient. This dependence can be used for direct estimation of the largest Lyapunov exponent through numerical simulations of synchronization process. Similar synchronization effect can be achieved for a pair of unidirectionally coupled discrete maps also. Several examples of the method application for non-smooth mechanical systems and the systems with time delay has been demonstrated. These examples show that the presented approach can be successfully applied both for time-continuous systems described by differential equations and for the maps given by known difference equations or the maps reconstructed from actual time series. Since the synchronization is easily detectable, the method has significant practical advantage over more traditional algorithmic methods. From a viewpoint of practical applications, the presented method can be very useful for the estimation of the largest Lyapunov exponent in dynamical systems with discontinuities or time delay, where classical attempts are not easily applicable.

Słowa kluczowe

PL

wykładnik Lapunowa; metoda estymacji; największy wykładnik Lapunowa

EN

Lyapunov exponent; method of estimation; largest Lyapunov exponent

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Rozprawy Naukowe / Politechnika Łódzka
• Rocznik: 2004
• Tom: Z. 333
• Strony: 3--112
• Opis fizyczny: Bibliogr. 76 poz.

Twórcy

autor

Stefański A.

• Katedra Dynamiki Maszyn, Wydział Mechaniczny Politechnika Łódzka

Bibliografia

• [1] Afraimovich V.S., Verichev N.N., Rabinovich M.: Stochastic synchronization of oscillations in dissipative systems. Radiophys. & Quantum Electron., 29, 1986, 795-803.
• [2] Anishchenko B.C.: Sloznyje Kolebanija w Prostich Sistemach. Nauka, Moskwa, 1990.
• [3] Awrejcewicz J.: Chaos i synchronizacja w układach fizycznych. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 1995.
• [4] Awrejcewicz J., Lamarque C.-H.: Bifurcation and chaos in nonsmooth mechanical systems. World Scientific, Singapore, 2003.
• [5] Awrejcewicz J., Wojewoda J.: Observation of chaos in a nonlinear oscillator with delay: Numerical study. KSME Journal, 3(1), 1989, 15-24.
• [6] Barnett S. and Storey C.: Matrix Methods in Stability Theory. Thomas Nelson and Sons Ltd., Suffolk, 1970.
• [7] Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.M.: Kolmogorov entropy and numerical experiment. Physical Review A, 14, 1976, 2338-2345.
• [8] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M.: Lyapunov exponents for smooth dynamical systems and Hamiltonian systems; a method for computing all of them, Part I: Theory.Meccanica, 15,1980; 9-20
• [9] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M.: Lyapunov exponents for smooth dynamical systems and Hamiltonian systems; a method for computing all of them, Part II: Numerical application. Meccanica, 15, 1980, 21-30.
• [10] Birkhoff G.D.: Dynamical Systems. AMS, Providence 1927.
• [11] Blekhman I., Landa P.S., Rosenblum M.G.: Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems, Applied Mechanics Review 48, 1995,733-751.
• [12] Błażejczyk-Okolewska В.: Analiza ruchów nieregularnych w układzie z uderzeniami. Praca doktorska, Politechnika Łódzka, 1995.
• [13] Błażejczyk-Okolewska B., Kapitaniak T.: Dynamics of impact oscillator with dry friction. Chaos, Solitons & Fractals, 7(9), 1996, 1455-1459.
• [14] Brown R., Rulkov H.F. & Tufillaro N.B.: The effects of additive noise and drift in the dynamics of the driving on chaotic synchronization, Physics Letters A 196, 1994, 201-208.
• [15] Brown R., Kocarev L.:A unifying definition of synchronization for dynamical systems. Chaos, 10, 2000, 344-349.
• [16] Cao L-Y. and Lai Y-Ch.: Antiphase synchronism in chaotic systems. Physical Review E, 58(1), 1998, 382-386.
• [17] Dąbrowski A.: Dynamika wibracyjnego tłumika drgań z ogranicznikami amplitudy ruchu. Praca doktorska, Politechnika Łódzka, 2002.
• [18] Eckmann J.P., Kamphorst S.O., Ruelle D., Ciliberto S.: Lyapunov exponents from a time series. Physical Review Letters, 34(9), 1986, 4971- 4979.
• [19] Fujisaka H., Yamada T.: Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. Progress of Theoretical Physics, 69(1), 1983 32-47.
• [20] Guckenheimer J., Holmes P.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields. Springer Verlag, New York, 1983.
• [21] Henon M.: A two dimensional map with a strange attractor. Commun. Math. Phys., 50, 1976; 69.
• [22] Henon M., Heiles C.: The applicability of the third integral of the motion: Some numerical results. Astronomic Journal, 69, 1964, 77.
• [23] Hilbom R.C.: Chaos and Nonlinear Dynamics. Oxford University Press, New York, 1994.
• [24] Hinrichs N., Oestreich M., Popp K.: Dynamics of oscillators with impact and friction. Chaos, Solitons & Fractals, 4(8), 1997, 535-558.
• [25] Huygens C.: Horologium Oscilatorium, Paristis, Paryż, 1673.
• [26] Kantz H.: A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series. Physics Letters A, 185(1), 1994, 77-87.
• [27] Kapitaniak T.: Chaotic Oscillations in Mechanical Systems. Nonlinear Science - Theory and Applications, Manchester and New York, 1991.
• [28] Kapitaniak T.: Synchronization of chaos using continuous control, Physical Review E 50, 1994, 1642-1645.
• [29] Kapitaniak T., Sekieta M., Ogorzałek M.: Monotone synchronization of chaos. Bifurcation and Chaos, 6, 1996, 211-215.
• [30] Kapitaniak T., Wojewoda J.: Bifurkacje i Chaos. Politechnika Łódzka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa - Łódź, 2000.
• [31] Kaplan J., Yorke J.: Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points. Springer Verlag, New York, 1979.
• [32] Kuzniecow S. P.: Dinamiczeskij Chaos. Fizmatlit, Moskwa 2001.
• [33] Lang S., Algebra, PWN, Warszawa, 1984.
• [34] Liu Y., Rios Leite J.R.: Coupling of two chaotic lasers, Physics Letters A 191, 1994, 134.
• [35] Lorenz E.N.: Deterministic nonperiodic flow. J. Atmospheric Sciences, 20(2), 1963, 130-141.
• [36] Lyapunov A.M.: Probleme General de la Stabilitě du Mouvment. Annales Mathematical Study, 17, 1947.
• [37] Mandelbrot B. B.: The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San Francisco, 1982.
• [38] Müller P., Bajkowski J., Kisljakov S.D.: Model based calculation of Lyapunov exponents for dynamic system with discontinuities. 2nd Polish German Workshopon Dynamical Problems in Mechanical Systems, materiały konferencyjne, 1991.
• [39] Müller P., Bajkowski J.: Signal analysis in multibody systems. Advanced Multibody System Dynamics (W. Schiehlen eds), 1993, 315-336.
• [40] Müller P.: Calculation of Lyapunov exponents for dynamical systems with discontinuities. Chaos, Solitons & Fractals, 5(9), 1995, 1671-1681.
• [41] Nüsse H.E., Yorke J.A.: Dynamics: Numerical Explorations. Springer- Verlag, New York 1997.
• [42] Oestreich M., Hinrichs N., Popp K.: Bifurcation and stability analysis for a non-smooth friction oscillator. Archive of Applied Mechanics, 66, 1996, 301-314.
• [43] Oestreich M.: Untersuchung von schwingem mit nichtglatten kennlinien, VDI Verlag GmbH, Düsseldorf 1998.
• [44] Ogorzałek M.: Taming chaos - Part I: Synchronization. IEEE Trans. Circuits Syst., 40, 1995, 693-699.
• [45] Oseledec V.I.: A multiplicative ergodic theorem: Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems. Trans. Moscow Math. Soc., 19, 1968, 197- 231.
• [46] Parker T.S., Chua L.O.: Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, Berlin, 1989.
• [47] Parlitz U.: Identification of true and spurious Lyapunov exponents from time series. Journal Bifurcation and Chaos, 2(1), 1992, 155-165.
• [48] Pecora L.M., Carroll T.L.: Synchronization of chaos, Physical Review Letters, 64, 1990, 221-224.
• [49] Pecora L.M., Carroll T.L.: Driving systems with chaotic signals, Physical Review A 44, 1991, 2374-2383.
• [50] Pikovsky A.S.: On the interaction of strange attractors, Zeitschrift Physik В, 55, 1984, 149-155.
• [51] Pikovsky A.S., Rosenblum M.G. and Kurths J.: Phase synchronization in drive and coupled chaotic oscillators. IEEE Trans. Circuits Syst., 44(10), 1997, 874-881.
• [52] Plauth R.H., Hsieh J-С.: Chaos in a mechanism with time delays under parametric and external excitation. Journal of Sound and Vibration, 114(1), 1987, 73-90.
• [53] Poincare H. (1913): The Fundation of Science: Science and Method. The Science Press, Lancaster PA, 1946, przekład angielski.
• [54] Popp К., Hinrichs N., Oestreich M.: Analysis of a self-excited friction oscillator with external excitation. Dynamics with Friction: Modeling, Analysis and Experiment (Guran A., Pfeiffer F., Popp K. eds.), World Scientific Publishing, Singapore, 1996.
• [55] Pyragas K.: Predictable chaos in slightly perturbed unpredictable chaotic systems, Physics Letters A 181, 1993, 203-208.
• [56] Rayleigh J.: Theory of Sound. Dover Publishing, 1945.
• [57] Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. and Kurths J.: Phase synchronization of chaotic oscillators. Physical Review Letters, 76(11), 1996, 821-824.
• [58] Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. and Kurths J.: From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators. Physical Review Letters, 78(22), 1997, 4193-4196.
• [59] Rosenstein M.T., Collins J.J., De Luca C.J.: A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets. Physica D, 65(1,2), 1993,117-134.
• [60] Sano M., Sawada Y.: Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series. Physical Review Letters, 55, 1985, 1082-1085.
• [61] Schuster H.G.: Chaos Deterministyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1993.
• [62] Sekieta M., Kapitaniak T.: Practical synchronization of chaos via a nonlinear feedback scheme. Int. J. Bifurcation and Chaos, 6(1), 1996, 211- 217.
• [63] Shimada I., Nagashima T.: A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems. Progress of Theoretical Physics, 61(6), 1979, 1605-1616.
• [64] Singh A., Joseph D.D.: Autoregressive methods for chaos on binary sequences for the Lorenz attractor. Physics Letters A, 135, 1989, 247-251.
• [65] Stefański A., Kapitaniak T.: Steady state locking in coupled chaotic systems. Physics Letters A, 210, 1996, 279-282.
• [66] Stefański A., Kapitaniak T.: Using chaos synchronization to estimate the largest Lyapunov exponent of non-smooth systems. Discrete Dynamics in Nature & Society, 4, 2000, 207-215.
• [67] Stefański A.: Estimation of the largest Lyapunov exponent in systems with impacts. Chaos, Solitons & Fractals, 11(15), 2000, 2443-2451.
• [68] Stefański A., Kapitaniak T., Brindley J.: A simple method of chaos detection in mechanical systems with discontinuities. Proceedings of ASME Design Engineering Technical Conferences (na CD-ROM), Pittsburgh, USA, 2001.
• [69] Stefański A., Kapitaniak T.: Estimation of the dominant Lyapunov exponent of non-smooth systems on the basis of maps synchronization. Chaos, Solitons & Fractals, 15, 2003, 233-244.
• [70] Stefański A., Kapitaniak T., Szumiński P.: Using synchronization to detect chaotic response in externally forced dynamical systems. Fluctuations and Noise Letters, 3(2), 2003, L187-L194.
• [71] Stefański A., Kapitaniak T.: Synchronization of two chaotic oscillators via negative feedback mechanism. Int. Journal of Solids and Structures, 40, 2003,5175-5185.
• [72] Stoop R., Meier P.F.: Evaluation of Lyapunov exponents and scaling functions from time series. J. Opt. Soc. Am. B, 5(5), 1988, 1037-1045.
• [73] Takens F.: Detecting strange attractors in turbulence. Lecture notes in mathematics, 898, 1981, 366.
• [74] Van der Pol B.: Theory of the amplitude of free forced triod vibration. Radio Review, 1, 1920,701-710.
• [75] Wolf A, Swift JB, Swinney HL, Vastano JA.: Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D, 16, 1985, 285-317.
• [76] Wolf A.: Quantifying chaos with Lyapunov exponents. Chaos (V. Holden eds), Manchester University Press, Manchester, 1986, 273-290.