Zastosowanie metody elementów skończonych w pewnych nieliniowych zagadnieniach mechaniki ciała stałego

• Autorzy: Więckowski Z.

Warianty tytułu

EN

Application of the finite element method to some nonlinear problems of solid mechanics

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Rozprawa składa się z dwóch części i jest poświęcona zastosowaniu trzech sformułowań metody elementów skończonych w nieliniowych zagadnieniach mechaniki ciała stałego: metody naprężeniowej, metody przemieszczeniowej z regeneracją siatki oraz metody punktów materialnych. W części pierwszej przedstawiono zastosowanie naprężeniowego modelu metody elementów skończonych w analizie zagadnienia równowagi ciała sprężysto-idealnie plastycznego, ciała lepkoplastycznego oraz zagadnienia kontaktowego z tarciem. Statycznie dopuszczalne pola naprężeń skonstruowano za pomocą funkcji naprężeń, a naprężeniowe warunki brzegowe spełniono przy użyciu metody mnożników Lagrange'a, która pozwala wyznaczyć przemieszczenia, mimo, że głównymi niewiadomymi są naprężenia. Rozważono zagadnienia dwuwymiarowe: płaskiego stanu odkształcenia, płaskiego stanu naprężenia oraz skręcania swobodnego pręta pryzmatycznego. Rozpatrywane zagadnienia rozwiązano w sposób przyrostowy, stosując dla każdego przyrostu obciążenia (czasu) procedury iteracyjne. W przypadku analizy statycznej dla materiału sprężysto-idealnie plastycznego otrzymano dolne oszacowania obciążenia granicznego, co ma istotne znaczenie z punktu widzenia projektowania konstrukcji. Wyniki obliczeń porównano z rezultatami uzyskanymi za pomocą standardowej przemieszczeniowej metody elementów skończonych - otrzymano bardzo dobrą zgodność wyników. W drugiej części pracy przedstawiono zastosowanie metody elementów skończonych w analizie przepływu materiału sypkiego w zbiorniku podczas jego opróżniania. Jako narzędzie analizy tego zagadnienia wykorzystano metodę elementów skończonych sformułowaną w materialnym opisie ruchu z wykorzystaniem regeneracji siatki elementów w celu wyeliminowania negatywnych skutków ich deformowania się. Metoda ta wykazuje pewne wady - odwzorowanie zmiennych stanu ze zdeformowanej siatki do nowo wygenerowanej wprowadza dodatkowe błędy obliczeniowe, prowadzące do trudności z uzyskaniem zbieżności algorytmu iteracyjnego w przypadku zagadnienia kontaktowego z tarciem. Wad tych nie wykazuje metoda punktów materialnych, znana w mechanice płynów pod nazwą metoda cząstki w komórce, zastosowana w ostatnich latach w zagadnieniach mechaniki ciała stałego. Metodę tę można interpretować jako metodę elementów skończonych sformułowaną w dowolnym materialno-przestrzennym opisie ruchu, ponieważ pozwala ona śledzić ruch cząstek ciała (punktów materialnych) przy zastosowaniu funkcji interpolacyjnych zdefiniowanych na elementach tzw. siatki obliczeniowej, definiowanej niezależnie od cząstek ciała. Historię zmiennych stanu śledzi się w punktach materialnych. Siatka obliczeniowa może przyjmować dowolne położenie w przestrzeni, co oznacza wyeliminowanie trudności - charakterystycznych dla opisu materialnego - związanych z deformowaniem się jej elementów. Dynamiczne równania ruchu scałkowano względem czasu, używając procedury jawnej. Sformułowano warunek stabilności metody. Zagadnienie kontaktu z tarciem rozwiązano, obliczając siły kontaktowe w węzłach siatki obliczeniowej. Rozpatrzono trzy modele materiału sypkiego: model sprężysto-plastyczny Druckera-Pragera oraz dwa modele hipoplastyczne: Kolymbasa i Wu-Bauera. Wyniki obliczeń porównano z wynikami otrzymanymi za pomocą metody elementów skończonych z regeneracją siatki, oraz z wynikami wynikającymi ze wzorów empirycznych. Przedstawione przykłady obliczeń przepływów płaskich i osiowosymetrycznych, typu masowego i rdzeniowego pokazują skuteczność metody punktów materialnych w analizie tak złożonego obliczeniowo zagadnienia jakim jest proces opróżniania zbiornika. Metoda ta pozwala modelować proces całkowitego opróżnienia zbiornika na materiał sypki.

EN

The dissertation consists of two parts and describes the application of three types of formulation of the finite element method to some non-linear problems of solid mechanics: the equilibrium model of the finite element method, the displacement model with mesh re-zoning and the material point method. In the first part of the dissertation, the application of the equilibrium model of the finite element method to quasi-static evolution problems for elastic-perfectly plastic and elastic-viscoplastic bodies is presented. The frictional contact problem is also investigated. Statically admissible fields of stresses are constructed by means of stress functions. The stress boundary conditions are fulfilled by the use of the Lagrange multiplier method which enables to calculate boundary displacements, although the main unknown is the stress field. Two-dimensional problems are studied: the plane strain problem, the plane stress problem and the torsion problem for a prismatic bar. The incremental procedure is used in order to solve the considered problems. For each load (time) increment, the problems are solved iteratively. In the case of static analysis of elastic-perfectly plastic body, the lower bound for the limit load is obtained which is important from the viewpoint of safe designing. The results of calculations are compared with those obtained by the use of the standard finite element method formulated in displacements—very good agreement between both the solutions is observed. In the second part of the dissertation, the application of the finite element method to the problem of flow of a granular material during the process of silo discharging is presented. As a tool of the analysis, the updated Lagrangian formulation of the finite element method with mesh re-zoning (relieving the problem of mesh distortion) is applied. This approach reveals some disadvantages due to the fact that the necessary procedure of mapping state variables—from the deformed mesh to the newly generated one—introduces additional computational errors which can lead to difficulty in achieving convergence for an iterative algorithm in the case of frictional contact problem. Such a drawback does not exist in the case of the material point method, well known in fluid mechanics as the particle-in-cell method. Recently, the method has been successfully applied to the problems of solid mechanics. The material point method can be regarded as a variant of the finite element method formulated in an arbitrary Lagrangian-Eulerian description of motion. It allows to trace the motion of particles (material points) by means of interpolation functions defined on elements of a computational mesh which is chosen independently of the particles of the analysed body. The history of state variables is traced at the material points. The computational mesh can take an arbitrary position in the space which means that the problem of element distortion, existing in the material description of motion, is avoided. The dynamic equations of motion are integrated in time by the explicit method. The stability condition is formulated for the method. The problem of frictional contact is solved by calculating contact forces at nodes of the computational mesh. Three constitutive models of the granular material are investigated: the elastic-plastic Drucker-Prager model, and two hypo-plastic models introduced by Kolymbas, and Wu and Bauer. The numerical results are compared with those obtained by means of the updated Lagrangian finite element method with mesh re-zoning, and with the results related to empirical formulae. The presented examples of the plane and axisymmetric flow of the mass and funnel type prove that the material point method is an effective tool in analysis of the considered problem which is of very high computational complexity. The method allows to simulate the entire process of silo discharge.

Słowa kluczowe

PL

nieliniowe zagadnienia; mechanika ciała stałego; metoda elementów skończonych

EN

nonlinear problems; mechanic of solid body; finite element method

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Rozprawy Naukowe / Politechnika Łódzka
• Rocznik: 1999
• Tom: Z. 256
• Strony: 5--183
• Opis fizyczny: Bibliogr. 218 poz.

Twórcy

autor

Więckowski Z.

• Katedra Mechaniki Materiałów, Politechnika Łódzka, Al. Politechnika 6, 93-590 Łódź,