Nonlinear dynamic analysis of viscoelastic membranes described with fractional differential models

• Autorzy: Katsikadelis J. T.

Warianty tytułu

PL

Analiza nieliniowej dynamiki lepko-sprężystych powłok opisanych modelem o pochodnej ułamkowej

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The dynamic response of an initially flat viscoelastic membrane is investigated. The viscoelastic model is described with fractional order derivatives. The membrane is subjected to surface transverse and inplane dynamic loads. The governing equations are three coupled second order nonlinear partial FDEs (fractional differential equations) of hyperbolic type in terms of the displacement components. These equations are solved using the BEM for fractional partial differential equations developed recently by Katsikadelis. Without excluding other viscoelastic models, the herein employed material is the Kelvin-Voigt model with a fractional order derivative. Numerical examples are presented which not only demonstrate the efficiency of the solution procedure, but also give a better insight into this complicated but very interesting response of structural viscoelastic membranes. It is worth noting that in case of resonance, phenomena similar to those of the Duffing equation are observed.

PL

W pracy przedstawiono analizę dynamiki płaskiej powłoki lepko-sprężystej po wstępnym ugięciu. Reologiczny model materiału powłoki opisano równaniem o pochodnych ułamkowych. Powłokę poddano płaskiemu, poprzecznemu obciążeniu zewnętrznemu. Zagadnienie dynamiki ujęto układem trzech sprzężonych nieliniowych równań różniczkowych typu hiperbolicznego o pochodnych ułamkowych. Równania rozwiązano metodą elementów brzegowych (BEM) sformułowaną przez autora właśnie dla układów opisanych pochodnymi ułamkowymi. W prezentowanej pracy założono, że powłoka wykonana jest z lepko-sprężystego materiału Kelvina-Voigta o pochodnej ułamkowej, choć samo sformułowanie BEM nie wyklucza możliwości analizy innych modeli reologicznych. Przedstawiono kilka przykładów symulacji numerycznych pokazujących efektywność zastosowanej metody rozwiązywania oraz dających lepszy obraz interesującej, lecz skomplikowanej dynamiki lepko-sprężystych powłok. Warto również podkreślić, że w warunkach rezonansowych odnotowano zjawiska podobne do obserwowanych w układzie Duffinga.

Słowa kluczowe

EN

viscoelastic membranes; nonlinear vibrations; nonlinear fractional differential equations; analog equation method; boundary elements

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej
• Czasopismo: Journal of Theoretical and Applied Mechanics
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 50 nr 3
• Strony: 743--753
• Opis fizyczny: Bibliogr. 20 poz., rys.

Twórcy

autor

Katsikadelis J. T.

• School of Civil Engineering, National Technical University of Athens, Athens, Greece,

Bibliografia

• 1. Adolfsson K., Enelund M., Olsson P., 2005, On the fractional order model of viscoelasticity, Mechanics of Time-Dependent Materials, 9, 15-34
• 2. Amabili M., 2008, Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates, Cambridge University Press
• 3. Babouskos N., Katsikadelis J.T., 2009, Nonlinear vibrations of viscoelastic plates of fractional derivative type. An AEM solution, Open Mechanics Journal, 3, 25-44
• 4. Galucio A.C., Deu J.F., Ohayon R., 2004, Finite element formulation of viscoelastic sandwich beams using fractional derivative operators, Computational Mechanics, 33, 282-291
• 5. Goncales P.B., Soares R.M., Pamplona D., 2009, Nonlinear vibrations of a radially stretched circular hyperelastic membrane, J. of Sound and vibration, 327, 231-248
• 6. Jevine A.J., Mackintosch F.C., 2002, Dynamics of viscoelastic membranes, Physical Review, E 66, 061606
• 7. Katsikadelis J.T., 2002, Boundary Elements. Theory and Applications, Elsevier, Oxford, U.K.
• 8. Katsikadelis J.T., 2008, The fractional wave-diffusion equation in bounded inhomogeneous anisotropic media. An AEM solution, [In:] Advances in Boundary Element Methods, G.D. Manolis, D. Polyzos (Eds.), 255-276, Springer Science, Dordrecht, Netherlands
• 9. Katsikadelis J.T., 2009, Numerical solution of multi-term fractional differential equations, ZAMM Zeitschrift f¨ur Angewandte Mathematik und Mechanik, 89, 7, 593-608
• 10. Katsikadelis J.T., 2011, The BEM for Numerical solution of partial fractional differential equations, Computers and Mathematics with Applications, 62, 891-901
• 11. Katsikadelis J.T., Babouskos N., 2010, Post-buckling analysis of viscoelastic plates with fractional derivative models, Engineering Analysis with Boundary Elements, 34, 1038-1048
• 12. Koivurova H., Pramila A., 1997, Nonlinear vibration of axially moving membrane by finite element method, Computational Mechanics, 20, 573-581
• 13. Meral F.C., Royston T.J., Magin R., 2010, Fractional calculus in viscoelasticity: An experimental study, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 15, 939-945
• 14. Nayfeh A.H., Mook D.T., 1979, Nonlinear Oscillations, New York, Wiley
• 15. Nerantzaki M.S., Babouskos N., 2011, Analysis of inhomogeneous anisotropic viscoelastic bodies described by multi-parameter fractional differential constitutive models, Computers and Mathematics with Applications, 62, 891-901
• 16. Plaut R., 1990, Parametric excitation of an inextensible, air-inflated, cylindrical membrane, Int. J. Non-linear Mechanics, 25, 253-262
• 17. Podlubny I., 1999, Fractional Differential Equations, Academic Press, New York
• 18. Schmidt A., Gaul L., 2002, Finite element formulation of viscoelastic constitutive equations using fractional time derivatives, Nonlinear Dynamics, 29, 1/4, 37-55
• 19. Stiassnie M., 1979, On the application of fractional calculus for the formulation of viscoelastic models, Applied Mathematical Modeling, 3, 300-302
• 20. Wineman A., 2007, Nonlinear viscoelastic membranes, Computers and Mathematics with Applications, 53, 168-181