The Cayley variational principle for continuous-impact problems: a continuum mechanics based version in the presence of a singular surface

• Autorzy: Irschik H.

Warianty tytułu

PL

Zasada wariacyjna Cayley’a w zagadnieniu ciągło-uderzeniowym: wersja mechaniki kontinuum z obecnością powierzchni osobliwej

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In 1857, Arthur Cayley presented a variational principle for a class of dynamical problems, which he designated as continuous-impact problems. Cayley exemplified this class by means of a chain hanging over the edge of a table and being set into motion by its own weight. In the following, we present a continuum mechanics based version of the Cayley principle. The moving portion of the chain mentioned by Cayley represents a variable-mass system, and he assumed that the particles of the chain experience a jump in their velocity when being taken into connection with the moving part. We accordingly study a body containing a non-material region of transition, within which certain entities suffer considerable changes of their spatial distribution, and which we replace by equivalent surface growth terms at a singular surface, in order to derive our version of the principle. The falling chain mentioned by Cayley is used as an example problem.

PL

W 1857 roku Arthur Cayley zaprezentował zasadę wariacyjną dla pewnej klasy zagadnień dynamicznych, którą nazwał ciągło-uderzeniową. Cayley zegzemplifikował tę klasę problemem łańcucha zwisającego z krawędzi stołu i wprowadzanego w ruch własnym ciężarem. W niniejszej pracy zasadę Cayley’a przedstawiono w wersji opartej na mechanice kontinuum. Dawny uczony opisał ruchomą część spadającego łańcucha układem o zmiennej masie i założył, że jego fragmenty spoczywające jeszcze na stole doświadczają skokowego przyrostu prędkości w momencie przyłączania się do części wprawionej już w ruch. Nawiązując do podejścia Cayley’a, w obecnym artykule przeprowadzono analizę ruchu ciała zawierającego niematerialny obszar przejściowy, w którym pewne wielkości podlegają znacznym zmianom konfiguracji przestrzennej i które wyrażono zastępczymi przyrostami na powierzchni osobliwej. Takie sformułowanie pozwoliło wyprowadzić własną wersję zasady Cayley’a, a spadający łańcuch posłużył jako przykład przedstawionej analizy.

Słowa kluczowe

EN

variable-mass systems; singular surface; falling chains

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej
• Czasopismo: Journal of Theoretical and Applied Mechanics
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 50 nr 3
• Strony: 717--727
• Opis fizyczny: Bibliogr. 27 poz., rys.

Twórcy

autor

Irschik H.

• Johannes Kepler University of Linz, Institute of Technical Mechanics, Linz-Auhof, Austria,

Bibliografia

• 1. Cayley A. 1857, On a class of dynamical problems, Proceedings of the Royal Society of London, VIII, 506-511
• 2. Crellin E.B., Jannsens F., Poelart D., Steiner W., Troger H., 1997, On balance and variational formulations of the equation of motion of a body deploying along a cable, Journal of Applied Mechanics, 64, 369-374
• 3. Crelly T., 1998, The Young Arthur Cayley, Notes Rec. Royal Society London, 52, 267-282
• 4. de Sousa C.A., Gordo P.M., Costa P., 2011, Falling chains as variable mass systems: theoretical model and experimental analysis, arxiv.org/pdf/1110.6035
• 5. Ericksen J.L., 1960, Tensor Fields, [In:] Fl¨ugge S. (Hsg.), Handbuch der Physik, Band III/1: Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie, Berlin: Springer-Verlag, 794-858
• 6. Grewal A., Johnson P., Rina A., 2011, A chain that speeds up, rather than slows, due to collisions: How compression can cause tension, American Journal of Physics, 79, 723-729
• 7. Irschik H., 2000, Zum Fingerschen Virial verformbarer K¨orper in der nichtlinearen Statik, Sitzungsberichte der ¨Oster. Akademie der Wissenschaften, Math.-Nat. Klasse Abt. II, 209, 47-66
• 8. Irschik H., 2003, On the necessity of surface growth terms for the consistency of jump relations at a singular surface, Acta Mechanica, 162, 195-211
• 9. Irschik H., 2005, ¨ Uber Wachstumsterme in den Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik, speziell beim Wachstum von biologischen Materialien, Sitzungsberichte der ¨Oster, Akademie der Wissenschaften, Math.-Nat. Klasse Abt. II, 213, 95-111
• 10. Irschik, H., 2007, On rational treatments of the general laws of balance and jump, with emphasis on configurational formulations, Acta Mechanica, 194, 11-32
• 11. Irschik H., Holl H., 2002, The equations of Lagrange written for a non-material volume, Acta Mechanica, 153, 231-248
• 12. Irschik H., Holl H., 2004, Mechanics of variable-mass systems – Part 1: Balance of mass and linear momentum, Applied Mechanics Reviews, 57, 145-160
• 13. Kluwick A., 2000, Zur Bedeutung der Prandtl’schen Untersuchungen ¨uber die dissipative Struktur von Verdichtungsst¨ossen, [In:] Meier G.E.A. (Edit.), Ludwig Prandtl, ein F¨uhrer durch die Str¨omungslehre, Braunschweig: Vieweg, 139-146
• 14. Meshcherky I.V., 1949, Works on the Mechanics of Bodies with Variable Mass [in Russian], with an Introduction by A.A.Kosmodemyansky, Moscow, Leningrad: G.I.T.T.L.
• 15. O’Reilly O.M., Varadi P.C., 1999, A treatment of shocks in one-dimensional thermomechanical media, Continuum Mechanics and Thermodynamics, 11, 339-352
• 16. Reynolds O., 1903, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press
• 17. Schagerl M., Steindl A., Steiner W., Troger H., 1997 On the paradox of the free falling folded chain, Acta Mechanica, 125, 155-168
• 18. Seeliger H., 1890, ¨ Uber Zusammenst¨osse und Theilungen planetarischerMassen, Abh. der K¨onigl. Bayer. Akademie der Wiss., Cl. II, XVII, Abth. II, 459-490
• 19. Slattery J.C., 1990, Intefacial Transport Phenomena, New York: Springer-Verlag
• 20. Steiner W., Troger H., 1995, On the equations of motion of an inextensible string, ZAMP, 46, 960-979
• 21. Tait P.G., 1895, Dynamics, London: Adam and Charles Black
• 22. Tomaszewski W., Pieranski P., G´eminard J.-C., 2006, The motion of a freely falling chain tip, American J. Physics, 74, 776-783
• 23. Truesdell C.A., Toupin R., 1960, The classical field theories, [In:] Fl¨ugge S. (Hsg.): Handbuch der Physik, Band III/1: Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie, Berlin: Springer-Verlag, 226-793
• 24. Warsi Z.U.A., 1999, Fluid Dynamics, 2nd Edition, Boca Raton: CRC Press
• 25. Wong C.W., Yasui K., 2006, Falling chains, American J. Physics, 74, 490-496
• 26. Wong C.W., Youn S.H., Yasui K., 2007, The falling chain of Hopkins, Tait, Steele and Cayley, European J. Physics, 28, 385-400
• 27. Ziegler F., 1998, Mechanics of Solids and Fluids, 2nd English Edition, corrected 2nd. printing, New York: Springer-Verlag