Trefftz functions for a plate vibration problem

• Autorzy: Maciąg A.

Warianty tytułu

PL

Funkcje Trefftza dla problemu drgań płyty

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper presents a new method to obtain an approximate solution to plate vibrations problems. The problem is described by a partial differential equation of fourth order. The key idea of the presented approach is to find polynomials (solving functions) that satisfy the considered differential equation identically. In this sense, it is a variant of the Trefftz method. The method is addressed to differential equations in a finite domain. The approach proposed here has some advantages. The first is that the approximate solution (a linear combination of the solving functions) satisfies the equation identically. Secondly, the method is flexible in terms of given boundary and initial conditions (discrete, missing). Thirdly, the solving functions can be used as base functions for several variants of the Finite Element Method. In this case, the approximation is good even for relatively large elements. It means that the approach is suitable for inverse problems. The formulas for solving functions and their derivatives for the plate vibration equation are obtained. The convergence of the method is proved and numerical examples are included.

PL

Artykuł przedstawia nową metodę rozwiązywania problemów drgań płyty, które opisywane są cząstkowym równaniem różniczkowym czwartego rzędu. Idea metody polega na uzyskaniu wielomianów spełniających w sposób ścisły dane równanie różniczkowe (funkcje Trefftza). Za rozwiązanie przyjmuje się kombinację liniową tych funkcji. Współczynniki kombinacji liniowej dobierane są w taki sposób, aby zminimalizować błąd dopasowania rozwiązania do warunków początkowo - brzegowych. Podejście proponowane w pracy ma kilka zalet. Po pierwsze liniowa kombinacja funkcji Trefftza spełnia w sposób ścisły dane równanie różniczkowe. Po drugie metoda jest elastyczna odnośnie warunków początkowo - brzegowych. Mogą one być ciągłe lub dyskretne. Dodatkowo warunki te mogą być niekompletne, co czyni metodę użyteczną w rozwiązywaniu zagadnień odwrotnych. Trzecią zaletą metody jest możliwość zastosowania uzyskanych wielomianów jako funkcji bazowych w różnych wariantach Metody Elementów Skończonych. W pracy uzyskano wzory rekurencyjne na funkcje Trefftza oraz ich pochodne dla równania drgań płyty. Zbadano zbieżność metody oraz zamieszczono przykłady numeryczne.

Słowa kluczowe

EN

plate vibration; Trefftz functions; FEM

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej
• Czasopismo: Journal of Theoretical and Applied Mechanics
• Rocznik: 2011
• Tom: Vol. 49 nr 1
• Strony: 97--116
• Opis fizyczny: Bibliogr. 30, rys., tab.

Twórcy

autor

Maciąg A.

• Kielce University of Technology, Faculty of Management and Computer Modelling, Kielce, Poland,

Bibliografia

• 1. Al-Khatib M.J., Grysa K., Maciąg A., 2008, The method of solving polynomials in the beam vibration problem, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 46, 2, 347-366
• 2. Ciałkowski M.J., 1999, Solution of inverse heat conduction problem with use new type of finite element base functions, in: Proceedings of the International Symposium on Trends in Continuum Physics, B.T. Maruszewski, W. Muschik and A. Radowicz (Eds.), World Scientific Publishing, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 64-78
• 3. Ciałkowski M.J., 2003, Thermal and related functions used in solving certain problems of mechanics. Part I – Solution of certain differential equations by means of inverse operations, Studia i materiały. Technika. Uniwersytet Zielonogórski, 3, 7-70 [in Polish]
• 4. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., 2000, Heat Functions and Their Application for Solving Heat Transfer and Mechanical Problems, Poznan University of Technology Publishers [in Polish]
• 5. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., 2003, Thermal and related functions used in solving certain problems of mechanics. Part I – Effective determination of inverse operations applied to harmonic functions, Studia i materiały. Technika. Uniwersytet Zielonogórski, 3, 71-98 [in Polish]
• 6. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., 2004, Application of symbolic operations to the determination of Trefftz functions for a heat flow wave equation, Zeszyty Naukowe Politechniki Poznańskiej, Maszyny Robocze i Transport, 57 [in Polish]
• 7. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., Grysa K., 2007, Solution of a stationary inverse heat conduction problems by means of Trefftz non-continuous method, International Journal of Heat Mass Transfer, 50, 2170-2181
• 8. Ciałkowski M.J., Futakiewicz S., Hożejowski L., 1999a, Heat polynomials applied to direct and inverse heat conduction problems, in: Proceedings of the International Symposium on Trends in Continuum Physics, B.T. Maruszewski, W. Muschik and A. Radowicz (Eds.), World Scientific Publishing, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 79-88
• 9. Ciałkowski M.J., Futakiewicz S., Hożejowski L., 199b, Method of heat polynomials in solving the inverse heat conduction problems, ZAMM, 79, 709-710
• 10. Ciałkowski M.J. Jarosławski M., 2003, Application of symbolic calculations in generating the solution of the wave equation, Zeszyty Naukowe Politechniki Poznańskiej, Maszyny Robocze i Transport, 56 [in Polish]
• 11. Futakiewicz S., 1999, Heat Functions Method for Solving Direct and Inverse Heat Conductions Problems, Ph.D. Thesis, Poznan University of Technology [in Polish]
• 12. Futakiewicz S., Grysa K., Hożejowski L., 1999, On a problem of boundary temperature identification in a cylindrical layer, in: Proceedings of the International Symposium on Trends in Continuum Physics, B.T. Maruszewski, W. Muschik and A. Radowicz (Eds.), World Scientific Publishing, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 119-125
• 13. Futakiewicz S., Hożejowski L., 1998a, Heat polynomials in solving the direct and inverse heat conduction problems in a cylindrical system of coordinates, in: Advanced Computational Method in Heat Transfer V, A.J. Nowak, C.A. Brebbia, R. Bialecki and M. Zerroukat (Eds.), Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 71-80
• 14. Futakiewicz S., Hożejowski L., 1998b, Heat polynomials method in the n-dimensional direct and inverse heat conduction problems, in: Advanced Computational Method in Heat Transfer V, A.J. Nowak, C.A. Brebbia, R. Bialecki and M. Zerroukat (Eds.), Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 103-112
• 15. Herrera I., Sabina F., 1978, Connectivity as an alternative to boundary integral equations: Construction of bases, Appl. Math. Phys. Sc., 75, 5, 2059-2063
• 16. Hożejowski L., 1999, Heat Polynomials and their Application for Solving Direct and Inverse Heat Condutions Problems, Ph.D. Thesis, Kielce University of Technology [in Polish]
• 17. Jirousek J., 1978, Basis for development of large finite elements locally satisfying all fields equations, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 14, 65-92
• 18. Jirousek J., Zieliński A.P., Rabemantantsoa H., Venkatesh A., 1997, Survey of Trefftz-type element formulations, Computers and Structures, 63, 2, 225-242
• 19. Kołodziej J.A., Zieliński A.P., 2009, Boundary Collocation Techniques and their Application in Engineering, WIT Press, Southampton, Boston
• 20. Kupradze V.D., 1989, Three-Dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity, North-Holland Publ. Cmp, Amsterdam
• 21. Maciąg A., 2004, Solution of the three-dimensional wave equation by using wave polynomials, PAMM – Proc. Math. Mech., 4, 706-707
• 22. Maciąg A., 2005, Solution of the three-dimensional wave polynomials, Mathematical Problems in Engineering, 5, 583-598
• 23. Maciąg A., 2007a, Two-dimensional wave polynomials as base functions for continuity and discontinuity Finite Elements Method, in: Współczesne technologie i urządzenia energetyczne, J. Taler (Ed.), Krakow, 371-381 [in Polish]
• 24. Maciąg A., 2007b, Wave polynomials in elasticity problems, Engineering Transactions, 55, 2, 129-153
• 25. Maciąg A., Wauer J., 2005a, Solution of the two-dimensional wave equation by using wave polynomials, Journal of Engineering Mathematics, 51, 4, 339-350
• 26. Maciąg A., Wauer J., 2005b, Wave polynomials for solving different types of two-dimensional wave equations, Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 12, 87-102
• 27. Rosenbloom P.C., Widder D.V., Expansion in terms of heat polynomials and associated functions, Trans. Am. Math. Soc., 92, 220-266
• 28. Trefftz E., 1926, Ein Gegenst¨uk zum Ritz’schen Verfahren, Proceedings 2nd International Congres of Applied Mechanics, Zurich, 131-137
• 29. Yano H., Fukutani S., Kieda A., 1983, A boundary residual method with heat polynomials for solving unsteady heat conduction problems, Franklin Inst., 316, 291-298
• 30. Zieliński A.P., Zienkiewicz O.C., 1985, Generalized finite element analysis with T-complete boundary solution functions, Int. J. Numer. Meth. Eng., 21, 509-528