Lyapunov exponents of systems with noise and fluctuating parameters

• Autorzy: Stefański A.

Warianty tytułu

PL

Wykładniki Lapunowa układów dynamicznych z szumem i oscylującymi parametrami

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This paper deals with the problem of determination of Lyapunov exponents in dynamical systems with noise or fluctuating parameters. The method for identifying the character of motion in such systems is proposed. This approach is based on the phenomenon of complete synchro- nization in double-oscillator systems via diagonal, master-slave coupling between them. The idea of effective Lyapunov exponents is introduced for quantifying the local stability in the presence of noise. Examples of the method application and its comparison with bifurcation diagrams representing the system dynamics are demonstrated. Finally, the pro- perties of the method are discussed.

PL

Niniejszy artykuł dotyczy problemu wyznaczania wykładników Lapunowa układów dynamicznych z szumem lub zmiennymi w czasie parametrami. Zawiera on propozycję nowej metody identyfikacji charakteru ruchu tych układów, która wykorzystuje zjawisko synchronizacji kompletnej dwóch oscylatorów połączonych jednokierunkowym diagonalnym sprzężeniem. Istotą proponowanej metody są tzw. efektywne wykładniki Lapunowa, które są miarą lokalnej stateczności układu dynamicznego w obecności szumu lub zaburzenia. W artykule przedstawiono zastosowanie efektywnych wykładników Lapunowa na przykładzie zaburzonego oscylatora typu Duffinga w zestawieniu z jego analizą bifurkacyjną. We wnioskach zawarto dyskusję własności proponowanej metody.

Słowa kluczowe

EN

Lyapunov exponents; complete synchronization; systems with noise

PL

wykładniki Lapunowa; układy dynamiczne z szumem

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej
• Czasopismo: Journal of Theoretical and Applied Mechanics
• Rocznik: 2008
• Tom: Vol. 46 nr 3
• Strony: 665--678
• Opis fizyczny: Bibliogr. 22 poz., rys.

Twórcy

autor

Stefański A.

• Technical University of Lodz, Division of Dynamics, Łódź, Poland,

Bibliografia

• 1. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.M., 1976, Kolmogorov entropy and numerical experiment, Physical Review A, 14, 2338-2345
• 2. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M., 1980a, Lyapunov exponents for smooth dynamical systems and Hamiltonian systems; a method for computing all of them, Part I: Theory, Meccanica, 15, 9-20
• 3. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M., 1980b, Lyapunov exponents for smooth dynamical systems and Hamiltonian systems; a method for computing all of them, Part II: Numerical application, Meccanica, 15, 21-30
• 4. De Souza S.L.T., Caldas I.L., 2004, Calculation of Lyapunov exponents in systems with impacts, Chaos, Solitons and Fractals, 19, 3, 569-579
• 5. Hinrichs N., Oestreich M., Popp K., 1997, Dynamics of oscillators with impact and friction, Chaos, Solitons and Fractals, 4, 8, 535-558
• 6. Jin L., Lu Q.-S., Twizell E.H., 2006, A method for calculating the spectrum of Lyapunov exponents by local maps in non-smooth impact-vibrating systems, Journal of Sound and Vibration, 298, 4/5, 1019-1033
• 7. Kapitaniak T.,Wojewoda J., 2000, Bifurkacje i chaos, Politechnika Łódzka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Łódź
• 8. Lyapunov A.M., 1947, Probleme general de la stabilite du mouvment, Annales Mathematical Study, 17
• 9. M¨uller P., 1995, Calculation of Lyapunov exponents for dynamical systems with discontinuities, Chaos, Solitons and Fractals, 5, 9, 1671-1681
• 10. Nusse H.E., Yorke J.A., 1997, Dynamics: Numerical Explorations, Springer-Verlag, New York
• 11. Oestreich M., Hinrichs N., Popp K., 1996, Bifurcation and stability analysis for a non-smooth friction oscillator, Archive of Applied Mechanics, 66, 301-314
• 12. Oseledec V.I., 1968, A multiplicative ergodic theorem: Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems, Trans. Moscow Math. Soc., 19, 197-231
• 13. Shimada I., Nagashima T., 1979, A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems, Progress of Theoretical Physics, 61, 6, 1605-1616
• 14. Shinozuka M., Deodatis G., 1992, Simulation of stochastic processes by spectral representation, Applied Mechanics Review, 44, 191-203
• 15. Stefański A., Kapitaniak T., 2000, Using chaos synchronization to estimate the largest Lyapunov exponent of non-smooth systems, Discrete Dynamics in Nature and Society, 4, 207-215
• 16. Stefański A., 2000, Estimation of the largest Lyapunov exponent in systems with impacts, Chaos, Solitons and Fractals, 11, 15, 2443-2451
• 17. Stefański A., Kapitaniak T., 2003, Estimation of the dominant Lyapunov exponent of non-smooth systems on the basis of maps synchronization, Chaos, Solitons and Fractals, 15, 233-244
• 18. Stefański A., 2004, Estymacja maksymalnego wykładnika Lapunowa układów dynamicznych w oparciu o zjawisko synchronizacji, Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej, 941, Rozprawy Naukowe, 333, str. 114, Łódź
• 19. Stefański A., Dąbrowski A., Kapitaniak T., 2005, Evaluation of the largest Lyapunov exponent in dynamical systems with time delay, Chaos, Solitons and Fractals, 23, 1651-1659
• 20. Wiercigroch M., Cheng A.D.-H., 1997, Chaotic and stochastic dynamics of metal cutting process, In: Multi-Body Dynamics: Monitoring and Simulation Techniques, Rahnejat H. and Whalley R. (Edit.), MEP, London, 351-366
• 21. Wolf A., 1986, Quantifying chaos with Lyapunov exponents, In: Chaos, V. Holden (Edit.), Manchester University Press, Manchester, 273-290
• 22. www.borland.com