The method of solving polynomials in the beam vibration problem

• Autorzy: Al-Khatib M. J. , Grysa K. , Maciąg A.

Warianty tytułu

PL

Metoda wielomianów rozwiązujących dla problemu drgań belki

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper presents a new method of finding an approximate solution to the beam vibration problem. The problem is described with a partial differential equation of the fourth order. Basically, linear differential equations can be solved by means of various methods. The key idea of the presented approach is to find polynomials (solving functions) that satisfy the considered differential equation identically. In this sense, it is a variant of the Trefftz method. The advantage of the method is that the approximate solution (a linear combination of the solving functions) satisfies the equation identically. The initial and boundary conditions are then satisfied approximately. The formulas for solving functions and their derivatives are obtained. The solving Trefftz functions can be used in the whole domain or can be used as base functions in nodeless FEM. Both cases are considered. A numerical example is included.

PL

Artykuł przedstawia nową metodę przybliżonego rozwiązywania problemów drgań belki, które opisywane są cząstkowym równaniem różniczkowym czwartego rzędu. Generalnie takie równania mogą być rozwiązywane różnymi metodami. Główna idea prezentowanego tutaj podejścia polega na znalezieniu wielomianów spełniających w sposób ścisły dane równanie różniczkowe (funkcje rozwiązujące). Za rozwiązanie przybliżone przyjmuje się kombinację liniową tych funkcji, która również spełnia równanie. Współczynniki kombinacji liniowej wyznaczane są tak, aby uzyskane rozwiązanie w sposób najlepszy (w sensie średniokwadratowym) było dopasowane do danych warunków początkowych i brzegowych. Jest to zatem wariant metody Trefftza. W pracy wyznaczono efektywne wzory dla funkcji rozwiązujących i ich pochodnych. Uzyskane wielomiany mogą być wykorzystane do wyznaczenia rozwiązania w całym obszarze lub też mogą być użyte jako funkcje bazowe w bezwęzłowej Metodzie Elementów Skończonych. Oba przypadki rozważono w pracy. Załączono również przykłady numeryczne.

Słowa kluczowe

EN

beam vibration; Trefftz method; solving functions

PL

drgania belki; metoda Trefftza; rozwiązywanie funkcji

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej
• Czasopismo: Journal of Theoretical and Applied Mechanics
• Rocznik: 2008
• Tom: Vol. 46 nr 2
• Strony: 347--366
• Opis fizyczny: Bibliogr. 22 poz., rys., tab.

Twórcy

autor

Al-Khatib M. J.

autor

Grysa K.

autor

Maciąg A.

• Kielce University of Technology, Department of Mathematics, Poland,

Bibliografia

• 1. Ciałkowski M.J., 1999 Solution of inverse heat conduction problem with use new type of finite element base functions, In: Proceedings of the International Symposium on Trends in Continuum Physics, Maruszewski B.T., Muschik W., Radowicz A. (Eds.), World Scientific Publishing, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 64-78
• 2. Ciałkowski M.J., 2003, Thermal and related functions used in solving certa in problems of mechanics. Part I – Solution of certain differential equations by means of inverse operations, Studia i materiały. Technika. Uniwersytet Zielonogórski, 3, 7-70 [in Polish]
• 3. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., 2000, Heat Functions and Their Application for Solving Heat Transfer and Mechanical Problems, Poznań University of Technology Publishers [in Polish]
• 4. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., 2003, Thermal and related functions used in solving certain problems of mechanics. Part II – Effective determination of inverse operations applied to harmonic functions, Studia i materiały. Technika. Uniwersytet Zielonogórski, 3, 71-98 [in Polish]
• 5. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., 2004, Application of symbolic operations to the determination of Trefftz functions for a heat flow wave equation, Zeszyty Naukowe Politechniki Poznańskiej, Maszyny Robocze i Transport, 57 [in Polish]
• 6. Ciałkowski M.J., Frąckowiak A., Grysa K., 2007, Solution of a stationary inverse heat conduction problems by means of Trefftz non-continuous method, International Journal of Heat Mass Transfer, 50, 2170-2181
• 7. Ciałkowski M.J., Futakiewicz S., Hożejowski L., 1999a, Heat polynomials applied to direct and inverse heat conduction problems, In: Proceedings of the International Symposium on Trends in Continuum Physics, Maruszewski B.T., Muschik W., Radowicz A. (Eds.), World Scientific Publishing, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 79-88
• 8. Ciałkowski M.J., Futakiewicz S., Hożejowski L., 1999b, Method of heat polynomials in solving the inverse heat conduction problems, ZAMM, 79, 709-710
• 9. Ciałkowski M.J., Jarosławski M., 2003, Application of symbolic calculations in generating the solution of the wave equation, Zeszyty Naukowe Politechniki Poznańskiej, Maszyny Robocze i Transport, 56 [in Polish]
• 10. Futakiewicz S., 1999, Heat Functions Method for Solving Direct and Inverse Heat Conductions Problems, PhD Thesis, Poznań University of Technology [in Polish]
• 11. Futakiewicz S., Grysa K., Hożejowski L., 1999, On a problem of boundary temperature identification in a cylindrical layer, In: Proceedings of the International Symposium on Trends in Continuum Physics, Maruszewski B.T., Muschik W., Radowicz A. (Eds.), World Scientific Publishing, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 119-125
• 12. Futakiewicz S., Hożejowski L., 1998a, Heat polynomials in solving the direct and inverse heat conduction problems in a cylindrical system of coordinates, In: Advanced Computational Method in Heat Transfer V, Nowak A.J., Brebbia C.A., Bialecki R., Zerroukat M. (Eds.), Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 71-80
• 13. Futakiewicz S., Hożejowski L., 1998b, Heat polynomials method in the n-dimensional direct and inverse heat conduction problems, In: Advanced Computational Method in Heat Transfer V, Nowak A.J., Brebbia C.A., Bialecki R., Zerroukat M. (Eds.), Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 103-112
• 14. Hożejowski L., 1999, Heat Polynomials and their Application for Solving Direct and Inverse Heat Condutions Problems, PhD Thesis, Kielce University of Technology [in Polish]
• 15. Maciąg A., 2004, Solution of the three-dimensional wave equation by using wave polynomials, PAMM – Proc. Math. Mech., 4, 706-707
• 16. Maciąg A., 2005, Solution of the three-dimensional wave polynomials, Mathematical Problems in Engineering, 5, 583-598
• 17. Maciąg A., 2007a, Two-dimensional wave polynomials as base functions for continuity and discontinuity Finite Elements Method, In: Współczesne technologie i urządzenia energetyczne, Taler J. (Eds.), Krak?, 371-381 [in Polish]
• 18. Maciąg A., 2007b, Wave Polynomials in elasticity problems, Engineering Transactions, 55, 2, 129-153
• 19. Maciąg A., Wauer J., 2005a, Solution of the two-dimensional wave equation by using wave polynomials, Journal of Engineering Mathematics, 51, 4, 339-350
• 20. Maciąg A., Wauer J., 2005b, Wave polynomials for solving different types of two-dimensional wave equations, Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 12, 87-102
• 21. Rosenbloom P.C., Widder D.V., 1956, Expansion in terms of heat polynomials and associated functions, Trans. Am. Math. Soc., 92, 220-266
• 22. Yano H., Fukutani S., Kieda A., 1983, A boundary residual method with heat polynomials for solving unsteady heat conduction problems, Franklin Inst., 316, 291-298