Numerical solutions to boundary value problem for anomalous diffusion equation with Riesz-Feller fractional operator

• Autorzy: Ciesielski M. , Leszczyński J.

Warianty tytułu

PL

Numeryczne rozwiązanie zagadnienia brzegowego równania anomalnej dyfuzji z operatorem frakcjalnym Riesza-Fellera

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this paper, we present a numerical solution to an ordinary differential equation of a fractional order in one-dimensional space. The solution to this equation can describe a steady state of the process of anomalous diffusion. The process arises from interactions within complex and non-homogeneous background. We present a numerical method which is based on the finite differences method. We consider a boundary value problem (Dirichlet conditions) for an equation with the Riesz-Feller fractional derivative. In the final part of this paper, some simulation results are shown. We present an example of non-linear temperature profiles in nanotubes which can be approximated by a solution to the fractional differential equation.

PL

W pracy zaprezentowano numeryczne rozwiązanie jednowymiarowego równania różniczkowego zwyczajnego niecałkowitego rzędu. Rozwiązanie tego równania może opisywać stan ustalony procesu anomalnej dyfuzji. Proces ten wynika z oddziaływań zachodzących w złożonych i niejednorodnych systemach. Zaprezentowana metoda numeryczna oparta jest na metodzie różnic skończonych. Rozważane było zagadnieriie brzegowe z warunkami Dirichleta dla tego równania z pochodną frakcjalną RieszaFellera. W końcowej części przedstawiono wyniki symulacji. Jako przykład zaprezentowano nieliniowy profil temperatury w nanorurkach, który może być przybliżony przez rozwiązanie frakcjalnego równania różniczkowego.

Słowa kluczowe

EN

Riesz-Feller fractional derivative; boundary value problem; Dirichlet conditions; finite difference method

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej
• Czasopismo: Journal of Theoretical and Applied Mechanics
• Rocznik: 2006
• Tom: Vol. 44 nr 2
• Strony: 393--403
• Opis fizyczny: Bibliogr. 13 poz., rys.

Twórcy

autor

Ciesielski M.

autor

Leszczyński J.

• Institute of Mathematics and Computer Science, Częstochowa University of Technology,

Bibliografia

• 1. Carpinteri A., Mainardi F. (eds.), 1997, Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer Verlag, Vienna-New-York
• 2. Ciesielski M., 2005, Fractional finite difference method applied for solution of anomalous diffusion equations with initial-boundary conditions, PhD Thesis, Czestochowa, (in Polish)
• 3. Ciesielski M., Leszczyński J., 2003, Numerical simulations of anomalous diffusion, Proc. 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2003, 1-5 (proceeding on CD-ROM)
• 4. Ciesielski M., Leszczynski J., 2005, Numerical solutions of a boundary value problem for the anomalous diffusion equation with the Riesz fractional derivative, Proc. 16th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2005, 1-5 (proceeding on CD-ROM)
• 5. Gorenflo R., Mainardi F., 1998, Fractional calculus and stable probability distributions, Archives of Mechanics, 50, 3, 377-388
• 6. Hilfer R., 2000, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific Publ. Co., Singapore
• 7. Hoffman J.D., 1992, Numerical Methods for Engineers and Scientists, McGraw-Hill
• 8. Majchrzak E., Mochnacki B., 1996, Metody numeryczne, Podstawy teoretyczne. Aspekty praktyczne i algorytmy, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej (in Polish), Gliwice
• 9. Metzler R., Klafter J., 2000, The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach, Phys. Rep., 339, 1-70
• 10. Oldham K., Spanier J., 1974, The Fractional Calculus, Academic Press, New York and London
• 11. Podlubny I., 1999, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego
• 12. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I., 1993, Integrals and Derivatives of Fractional Order and Same of their Applications, Gordon and Breach, London
• 13. Zhang G., Li B., 2005, Thermal conductivity of nanotubes revisited: Effects of chirality, isotope impurity, tube length, and temperature, J. Chem. Phys., 123, 114714