Optimal design of membrane shells. Homogenization-based relaxation of the two-phase layout problem

• Autorzy: Lewiński T , Telega J. J.

Warianty tytułu

PL

Optymalne projektowanie powłok w zakresie pracy bezmomentowej. Relaksacja zadania optymalizacji rozkładu dwu materiałów z wykorzystaniem metod homogenizacji

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The aim of using shell structures instead of plates is to avoid bending, hence the vital role of the membrane theory. Within this theory the classical optimum design problem is formulated: lay out two isotropic materials such that the shell becomes the stiffest possible. The amount of both the materials is fixed. The aim of the present paper is to reformulate this problem in a form assuring its well-posedness. The membrane approximation can be introduced from the very beginning or be imposed upon the relaxation. In the present paper it is shown that the latter modeling leads to a better formulation. It does not lose its stability even if one material degenerates to a void, thus leading to a well-posed shape design problem.

PL

Odpowiednie kształtowanie konstrukcji powłokowych zezwala na minimalizację efektów zginania. Konstrukcje zaprojektowane idealnie powinny pracować bezmomentowo, co podkreśla szczególną rolę teorii powłok błonowych, czyli powłok nie podlegających zginaniu.W pracy rozpatrujemy klasyczne zadanie optymalizacji rozmieszczenia dwu materiałów izotropowych w powłoce przcującej bezmomentowo w celu maksymalizacji jej sztywności. Ilość obu materiałów jest z góry ustalona. Celem pracy jest przeformułowanie tego zagadnienia do postaci dobrze postawionej. Założenie bezmomentowej pracy powłoki może być narzucone od początku lub przyjęte już po procesie relaksacji (w sensie rachunku wariacyjnego). W tej pracy wykazujemy, że ta ostatnia metoda modelowania jest bardziej korzystna.Otrzymuje się sformułowanie, które zachowuje się stabilnie nawet wtedy, gdy jeden z materiałów degeneruje się do pustek, co zezwala na otrzymanie dobrze sformułowanego zadania optymalizacji kształtu.

Słowa kluczowe

EN

membrane shells; homogenization; minimum compliance problem; relaxation by homogenization; Michell's sphere

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej
• Czasopismo: Journal of Theoretical and Applied Mechanics
• Rocznik: 2003
• Tom: Vol. 41 nr 3
• Strony: 545--560
• Opis fizyczny: Bibliogr. 29 poz.

Twórcy

autor

Lewiński T

• Institute of Structural Mechanics, Warsaw University of Technology

autor

Telega J. J.

• Institute of Fundamental Technological Research, Polish Academy of Sciences

Bibliografia

• 1. Allaire G., 2002, Shape Optimization by the Homogenization Method, Springer, New York
• 2. Allaire G., Kohn R.V., 1993, Optimal design for minimum weight and compliance in plane stress using extremal microstructures, Eur. J. Mech., A/Solids, 12, 839-878
• 3. Barnes M.R., 1988, Form-finding and analysis of prestressed nets and membranes, Computers and Structures, 30, 685-695
• 4. Bernadou M., 1996, Finite Element Methods for Thin Shell Problems, Wiley, Chichester; Masson Paris
• 5. Cheng G., Olhoff N., 1981, An investigation concerning optimal design of solid elastic plates, Int. J. Solids. Struct, 16, 305-323
• 6. Cherkaev A., 2000, Variational Methods for Structural Optimization, Springer, New York
• 7. Czarnecki S., Lewiński T., 2001, Optimal layouts of a two-phase isotropic material in thin elastic plates. In: Proc. 2nd European Conference on Computational Mechanics, ECCM-2001, Kraków, 26-29 VI 2001, CD ROM, Z. Waszczyszyn, J. Pamin, Eds.
• 8. Dierkes U., Hildebrandt S., Kuster A., Wohlrab O. ¨ , 1992, Minimal Surfaces, Vol. I, II. Springer, Berlin
• 9. Ekeland I., Temam R., 1976, Convex Analysis and Variational Problems, North Holland. Amsterdam
• 10. Gibiansky L.V., Cherkaev A.V., 1984, Designing composite plates of extremal rigidity, In: Fiziko-Tekhnichesk. Inst. Im. A.F. Ioffe. AN SSSR, preprint No. 914, Leningrad (in Russian). English translation in: Topics in the Mathematical Modelling of Composite Materials, Cherkaev A.V. and Kohn R.V. Eds, Birkh¨user, Boston 1997
• 11. Gibiansky L.V., Cherkaev A.V., 1987, Microstructures of elastic composites of extremal stiffness and exact estimates of the energy stored in them, In: Fiziko-Tekhnichesk. Inst. Im. A.F. Ioffe. AN SSSR, preprint No. 1115, Leningrad (in Russian), pp. 52. English translation in: Topics in the Mathematical Modelling of Composite Materials, Cherkaev A.V. and Kohn R.V. Eds., Birkh¨auser, Boston 1997
• 12. Hemp W.S., 1973, Optimum Structures, Clarendon Press, Oxford
• 13. Kohn R.V., Strang G., 1986, Optimal design and relaxation of variational problems, Comm. Pure Appl. Math, 39, 113-137, 139-183, 353-379
• 14. Kolanek K., Lewiński T., 1999, Thin circular plates of minimal compliance, In: Theoretical Foundations of Civil Engineering-VII, Ed. by W. Szcześniak, 316-325, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa; an extended version: Circular and annular two-phase plates of minimal compliance, to be published in Comp. Assist. Mech. Eng. Sci., 2003
• 15. Lewiński T., Telega J.J., 1988, Asymptotic method of homogenization of two models of elastic shells, Arch. Mech, 40, 705-723
• 16. Lewiński T., Telega J.J., 2000, Plates, Laminates and Shells. Asymptotic Analysis and Homogenization, World Scientific, Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, vol. 52, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong
• 17. Lewiński T., Telega J.J., 2001, Michell-like grillages and structures with locking, Arch. Mech., 53, 303-331
• 18. Lipton R., 1994, On a saddle-point theorem with application to structural optimization, J. Optim. Theory. Appl, 81, 549-568
• 19. Michell A., 1904, The limits of economy of material in frame structures, Phil. Mag., 8, 589-597
• 20. Nitsche J.C.C., 1975, Vorlesungen ¨uber Minimalfl¨achen, Springer, BerlinHeidelberg-New York
• 21. Pilz R., 1997, On the thread problem of minimal surfaces, Calc. Var, 5, 117-136