Spektralne własności filtrów Laplace'a trzeciego stopnia w przetwarzaniu danych cyfrowych

• Autorzy: Krawczyk K. , Winnicki I. , Pietrek S. , Jasiński J. , Kroszczyński K.

Warianty tytułu

EN

Spectral properties of third order Laplace filters used for digital data processing

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Artykuł jest kontynuacją [6] oraz uzupełnieniem badań prezentowanych w [5, 7, 8]. Na podstawie macierzy indukowanych przez schematy różnicowe aproksymujące operator Laplace'a wyprowadzono i opisano w nim widmowe operatory przejścia masek konwolucyjnych filtrów krawędziowych Laplace'a trzeciego stopnia wykorzystywanych w procedurach przetwarzania obrazów cyfrowych. Oznacza to, że macierze prezentowane w niniejszej pracy odpowiadają maskom krawędziowych filtrów Laplace'a - szeroko omówionych w [6] - z dokładnością do znaku (–) (porównaj [1, 4, 6, 13, 14]). Widmowy (spektralny) operator przejścia, operator (funkcja) wzmocnienia, funkcja transformacji (lub przejścia) (transfer function) - krótko transformata f(k, l) - ma szczególne znaczenie w przetwarzaniu zdjęć cyfrowych, bowiem opisuje własności spektralne masek liniowych filtrów konwolucyjnych. Wartości tej funkcji tworzą macierz mnożników zależnych tylko od liczb falowych k i l w taki sposób, że każdej parze (k, l) funkcja ta przypisuje liczbę fp(k, l), przez którą w procesie konwolucji jest mnożony filtrowany obraz (indeks j wprowadzono w celu identyfikacji filtru). Funkcje wzmocnienia dwóch masek operatora Laplace'a przedstawia Jähne w [4]. Analizowane maski pochodzą bezpośrednio od schematów różnicowych operatora ∇2 konstruowanych różnymi metodami (różnic skończonych i elementu skończonego). Na zamieszczone tu wyniki można więc również spojrzeć od strony najważniejszych własności metod numerycznych (w odniesieniu do zagadnień stacjonarnych): zgodności i dokładności aproksymacji różnicowej (patrz np. [3, 11, 13]). W celu ułatwienia wspomnianej analizy w pracy są zamieszczone tzw. Π-formy pierwszego przybliżenia różniczkowego. Podstawowym celem prezentowanej pracy jest, przede wszystkim, poszerzenie i uporządkowanie wiedzy na temat filtrów Laplace'a trzeciego stopnia, a przy okazji wyjaśnienie ich własności spektralnych, które najwięcej mówią o cechach filtrów w obszarze dużych nieregularności, czyli znacznych różnic jasności w blisko położonych punktach zdjęcia cyfrowego. W tej publikacji nie będziemy się jednak odnosić do poprawności uwydatniania krawędzi oraz konturów, polepszania kontrastu zdjęcia, ani prowadzić badań na poziomie histogramów obrazów wynikowych. Zamierzonym celem nie jest też przedstawienie zalet i wad poszczególnych filtrów odniesionych do konkretnych obrazów cyfrowych. Opisano je w kilku monografiach i w wielu artykułach, między innymi tych zamieszczonych w wykazie literatury.

EN

This paper is a continuation of Ref. 6 and a supplement to studies presented in Refs. 5, 7, and 8. Using matrices, induced by differential schemes approximating the Laplace operator, the authors derived and described spectral transfer operators of the matrices of the third order Laplace contour convolution filters used in digital images processing procedures. It means that matrices presented in this paper correspond to matrices of the Laplace contour filters - discussed in detail in Ref. 6 - exact to the sign (–) (compare [1, 4, 6, 13, 14]). Spectral transfer operator, amplification operator (function), transfer function - shortly: f(k, l) transform - is of special significance for processing digital images because it describes spectral properties of matrices of linear convolution filters. The values of the function form a matrix of multipliers depending only on k and l wave numbers in such a way that to each (k, l) pair the function assigns an fj(k, l) number by which the filtered image is multiplied in the process of convolution (the j index identifies the filter). Amplification functions of two differential schemes of the Laplace operator are presented by Jähne in Ref. 4. The analyzed masks derive directly from differential schemes of the ∇2 operator constructed by means of various methods (finite differences and finite element). The presented results may then also be observed from the point of view of the most important properties of numerical methods (in reference to stationary issues): compatibility and accuracy of differential approximation (see e.g. [3, 11, 13]). To facilitate the analysis, the paper includes the Π-forms of the first differential approximation of the schemes. This paper's aim is mainly enhancing and systematizing knowledge concerning third order Laplace filters and explaining those of their spectral properties which provide most information about the filters features in areas of large irregularities, i.e. significant differences in brightness of nearby points of digital images. This paper does not treat correctness of indicating edges and contours, enhancing image contrast or studies concerning histograms of the resulting images. This paper's aim does not include presentation of advantages and disadvantages of the specific filters applied to the concrete digital images, either. These have been described in monographs and numerous papers, including those referred to in this paper.

Słowa kluczowe

PL

maski liniowych filtrów Laplace'a trzeciego stopnia; spektralny operator wzmocnienia; metody różnicowe; forma przybliżenia różniczkowego

EN

matrices of third order linear Laplace filters; spectral operator of amplification; differential methods; differential approximation form

• Wydawca: Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego
• Czasopismo: Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 61, nr 1
• Strony: 199--222
• Opis fizyczny: Bibliogr. 14 poz., eys.

Twórcy

autor

Krawczyk K.

autor

Winnicki I.

autor

Pietrek S.

autor

Jasiński J.

autor

Kroszczyński K.

• Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezjii, Zakład Systemów Informacji Geograficznej, 00-908 Warszawa, ul. Kaliskiego 2,

Bibliografia

• [1] M. Borawski, Obróbka wstępna obrazów, [w:] Metody Nawigacji Porównawczej, pod red. A. Statecznego, Gdańskie Towarzystwo Naukowe, Gdynia, 2004.
• [2] W. Burger, M. J. Burge, Digital Image Processing. An Algorithmic Introduction Using Java, Springer Science+Business Media, LLC, 2008.
• [3] A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, University Press, Cambridge, 2009.
• [4] B. Jähne, Digital Image Processing, Springer-Verlag, Berlin, 2002.
• [5] K. Krawczyk, I. Winnicki, Kompozycje barwne w interpretacji zachmurzenia konwekcyjnego, Biul. WAT, 61, 1, 2012.
• [6] K. Krawczyk, I. Winnicki, J. Jasiński, K. Kroszczyński, S. Pietrek, Maski wybranych krawędziowych filtrów Laplace'a w przetwarzaniu danych cyfrowych, Biul. WAT, 61, 1, 2012.
• [7] K. Krawczyk, I. Winnicki, K. Kroszczyński, S. Pietrek, J. Jasiński, Spektralne własności filtrów Laplace'a piątego stopnia w przetwarzaniu danych cyfrowych, Biul. WAT (złożony do druku).
• [8] K. Krawczyk, I. Winnicki, K. Kroszczyński, S. Pietrek, J. Jasiński, Maski filtrów gradientowych w fotointerpretacji danych teledetekcyjnych, Biul. WAT (złożony do druku).
• [9] P. Kupidura, P. Koza, J. Marciniak, Morfologia matematyczna w teledetekcji, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2010.
• [10] S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing. The Sparse Way, Academic Press, Amsterdam, 2009.
• [11] D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1977.
• [12] J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, SIAM, Philadelphia, 2004.
• [13] R. Tadeusiewicz, P. Korohoda, Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Wydawnictwo Fundacji Postępu Telekomunikacji, Kraków, 1997 (monografia dostępna również pod adresem internetowym: http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0098/).
• [14] Z. Wróbel, R. Koprowski, Praktyka przetwarzania obrazów z zadaniami w programie Matlab, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 2008.