Maski wybranych krawędziowych filtrów Laplace'a w przetwarzaniu danych cyfrowych

• Autorzy: Krawczyk K. , Winnicki I. , Jaisński J. , Kroszczyński K. , Pietrek S.

Warianty tytułu

EN

Matrices of selected Laplace contour filters used for digital data processing

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W artykule omówiono własności najczęściej wykorzystywanych masek filtrów krawędziowych (operatorów kontekstowych) Laplace'a stopnia trzeciego i piątego wraz ze schematami różnicowymi, które stanowią podstawę ich wyprowadzenia. Do konstrukcji wykorzystano metody różnic skończonych i elementu skończonego (MES) z aproksymacją rozwiązania funkcjami biliniowymi (przestrzeń Lagrange'a elementu skończonego). Zaproponowano nowe maski konwolucyjne indukowane przez schematy różnicowe operatora Laplace'a. Każdej z omawianych dziesięciu masek przypisano tzw. Π-formę pierwszego przybliżenia różniczkowego. Na jej podstawie można określić rząd schematu różnicowego aproksymującego operator ∇², a tym samym - rząd maski (rząd maski i stopień maski są różnymi wskaźnikami). Ponadto (i to jest najważniejsze), można jednoznacznie stwierdzić, czy dana maska jest rzeczywiście maską Laplace'a. W pracy wyjaśniono matematyczne podstawy i pochodzenie kilku stosowanych w praktyce filtrów Laplace'a oraz zwrócono uwagę na pewne nieścisłości (powielane w literaturze) pojawiające się w ich opisach dyskretnych. Ich konsekwencje przedstawiono na kilku wybranych zdjęciach satelitarnych pól zachmurzenia zawierających rozbudowaną chmurę Cumulonimbus oraz na wygenerowanym w pakiecie Matlab® fragmencie grafiki dwu- i trójwymiarowej. Wskazano elementy, które obowiązkowo powinny być uwzględniane w procedurze porównywania własności masek filtrów liniowych. Praca ma charakter teoretyczny. Prowadzone tu badania na poziomie podstawowym odwołują się do kilku przykładów praktycznych, które pełnią funkcję ilustracji wyprowadzanych wniosków. Zdajemy sobie sprawę z faktu, że jednoznaczne, a nawet kategoryczne sformułowania końcowe oraz wskazanie obszarów zastosowania wyników zawsze związane jest długotrwałymi doświadczeniami oraz z częstym upowszechnianiem rezultatów. Przedstawiamy zatem wyłącznie zwartą procedurę określania matematycznych własności masek filtrów krawędziowych Laplace'a. Ważnym celem prezentowanych tu rozważań jest również spojrzenie na maski filtru Laplace'a od strony metod numerycznych. Każda maska to w konsekwencji inny schemat różnicowy możliwy do wykorzystania w metodach obliczeniowych. To inna metoda przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych drugiego rzędu, w których występuje operator ∇² (równania dyfuzji, falowe, Laplace'a lub jeszcze inne) - patrz [2-6, 12, 13]. Przy takim podejściu własności badanych masek, nawet na pozór podobne w procesie filtrowania obrazów cyfrowych, powinny być uwzględniane przy rozwiązywaniu wybranych zagadnień fizyki matematycznej. Do własności tych zaliczamy: spektralny operator przejścia, rząd aproksymacji oraz relację zjawisk dyfuzja–kreacja, o której jest mowa w [9, 10].

EN

The paper presents the properties of the most commonly used third and fifth order Laplace contour filters (context operators) including the differential schemes used for deriving them. The finite differences and finite element (MES) methods with the solution approximation by means of the bilinear functions (Lagrange space of the finite element) are used to construct the schemes. New convolution matrices, induced by the differential schemes of the Laplace operator, are proposed. A Π-form of the first differential approximation of the scheme is attributed to each of the ten discussed matrices. Using it enables us to determine the order of the differential scheme approximating the ∇² operator, and hence - the order of the matrix (matrix order and matrix grade are different indicators). Furthermore, (and this is the most important issue) it unambiguously enables us to determine whether a matrix is really a Laplace one. The paper explains the mathematical basics and origin of a few practically applied Laplace filters and it draws attention to some inaccuracies (repeated in some publications) occurring in their discrete descriptions. The consequences of the inaccuracies are presented on a few selected satellite images of cloud cover fields including a well developed Cumulonimbus cloud (treated as digital objects recorded with significant compression) and on 2D and 3D graphs generated in Matlab®. Elements which should compulsorily be taken into account in the procedure of linear filters matrices comparison are indicated. This is a theoretical work. The basic research conducted here refers to a few practical examples which are illustrations of the derived conclusions. We are aware of the fact that unambiguous and even categorical final statements as well as indication of areas of the results application always require long term experiments and frequent dissemination of the results. Therefore, we present only a concise procedure of determination of the mathematical properties of the Laplace contour filters matrices. Laplace filters matrices consideration from the point of view of numerical methods is another important aspect of the discussion presented here. Each matrix is another differential scheme applicable to computational methods. It is a different method of approximated solving of second order differential equations in which the ∇² operator occurs (diffusion, wave, Laplace and other equations) -see [2-6, 12, 13]. With this approach, the properties of the analyzed matrices, even seemingly alike in the process of digital images filtering, should be taken into account during solving selected issues of the mathematical physics. These properties include: spectral transfer operator, approximation order and the diffusion-creation relation which is discussed in [9, 10].

Słowa kluczowe

PL

maski liniowych filtrów Laplace'a trzeciego i piątego stopnia; metody różnicowe; forma przybliżenia różniczkowego

EN

matrices of third and fifth order linear Laplace filters; differential methods

• Wydawca: Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego
• Czasopismo: Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 61, nr 1
• Strony: 145--170
• Opis fizyczny: Bibliogr. 15 poz., rys.

Twórcy

autor

Krawczyk K.

autor

Winnicki I.

autor

Jaisński J.

autor

Kroszczyński K.

autor

Pietrek S.

• Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji, Zakład Systemów Informacji Geograficznej, 00-908 Warszawa, ul. Kaliskiego 2,

Bibliografia

• [1] M. Borawski, Obróbka wstępna obrazów, [w:] Metody Nawigacji Porównawczej, pod red. A. Statecznego, Gdańskie Towarzystwo Naukowe, Gdynia, 2004.
• [2] W. Burger, M. J. Burge, Digital Image Processing. An Algorithmic Introduction Using Java, Springer Science+Business Media, LLC, 2008.
• [3] G. C. Cohen, Higher-Order Numerical Methods for Transient Wave Equation, Springer-Verlag, Berlin, 2002.
• [4] D. R. Durran, Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 1999.
• [5] A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, University Press, Cambridge, 2009.
• [6] B. Jähne, Digital Image Processing, Springer-Verlag, Berlin, 2002.
• [7] J. M. Jasiński, K. Kroszczyński, Cz. Rymarz, I. Winnicki, Satelitarne obrazy procesów atmosferycznych kształtujących pogodę, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1999.
• [8] K. Krawczyk, I. Winnicki, Kompozycje barwne w interpretacji zachmurzenia konwekcyjnego, Biul. WAT, 61, 1, 2012.
• [9] K. Krawczyk, I. Winnicki, S. Pietrek, J. Jasiński, K. Kroszczyński, Spektralne własności filtrów Laplace'a trzeciego stopnia w przetwarzaniu danych cyfrowych, Biul. WAT, 61, 1, 2012.
• [10] K. Krawczyk, I. Winnicki, K. Kroszczyński, S. Pietrek, J. Jasiński, Spektralne własności filtrów Laplace'a piątego stopnia w przetwarzaniu danych cyfrowych, Biul. WAT (złożony do druku).
• [11] P. Kupidura, P. Koza, J. Marciniak, Morfologia matematyczna w teledetekcji, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2010.
• [12] Y. Ogura, On the truncation error which arises from the use of finite differences in the Laplacian Operator, Journal of Meteorology, 15, 1958, 475-478.
• [13] J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, SIAM, Philadelphia, 2004.
• [14] R. Tadeusiewicz, P. Korohoda, Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Wydawnictwo Fundacji Postępu Telekomunikacji, Kraków, 1997. Monografia dostępna również pod adresem internetowym: http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0098/.
• [15] Z. Wróbel, R. Koprowski, Praktyka przetwarzania obrazów z zadaniami w programie Matlab, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, 2008.