Fractional-order systems: their properties and applications

• Autorzy: Trzaska Z.

Warianty tytułu

PL

Układy rzędu ułamkowego: ich właściwości i zastosowania

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper is concerned with the development and application of differential equations of non-integral order α. Fractional calculus is being used to modeling of fractional-order systems and their constitutive equations for applications mainly to systems with 0 < α < 1, and the methods for their solution. The attraction in using a constitutive description based on fractional calculus for modelling devices produced in cutting-edge technologies and electrocrystallization processes is their potentially superior accuracy, and the possibility of correlating the hierarchical structure of modern circuit elements to the fractional order α. Among various possible criteria by means of which responses of fractional order systems are analyzed and classified is based on using the Laplace transformation and transferring detailed considerations on complex w-plane being connected with s-plane by fractional power maping. A detailed analysis is carried out, and useful design insights are provided. Two illustrative examples are given to show the effectiveness of the proposed analysis method of fractional-order systems.

PL

W artykule przedstawione są zależności i zastosowania równań różniczkowych ułamkowego rzędu α. Analiza ułamkowa została zastosowana do modelowania układów rzędu ułamkowego oraz ich równań konstutywnych z punktu widzenia zastosowań głównie dla układów, dla których rząd określony jest liczbą 0 < α < 1. Podane są metody ich obliczania. Zasadnicza przyczyna wprowadzenia modeli rzędów ułamkowych do opisu układów wytwarzanych w nanotechnologiach oraz procesów elektrochemicznych wynika z potencjalnej wyższości takich modeli oraz możliwości korelacji strukturalno-hierarchicznej nowoczesnych elementów obwodowych przy przyjęciu odpowiedniego α. Wśród wielu możliwych kryteriów, za których pomocą odpowiedzi impulsowe układów rzędu ułamkowego mogą być analizowane i klasyfikowane, przyjęte zostało wykorzystanie przekształcenia Laplace'a i przeniesienie rozważań szczegółowych na płaszczyznę zmiennej zespolonej w powiązanej ze zmienną s relacją potęgową, o ułamkowym wykładniku. Szczegółowe analizy zostały przeprowadzone oraz użyteczne wskazówki w projektowaniu takich układów zostały przedstawione. W celu ilustracji przedstawionych zagadnień teoretycznych rozpatrzone zostały dwa reprezentatywne przykłady układów rzędu ułamkowego.

Słowa kluczowe

EN

fractional derivatives; fractional dynamical systems; impulse response; fractance

PL

pochodne rzędów ułamkowych; układy dynamiczne rzędów ułamkowych; odpowiedź impulsowa; fraktancja

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Elektronika : konstrukcje, technologie, zastosowania
• Rocznik: 2008
• Tom: Vol. 49, nr 10
• Strony: 137--144
• Opis fizyczny: Bibliogr. 26 poz., wykr.

Twórcy

autor

Trzaska Z.

• Politechnika Warszawska, Instytut elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno-Pomiarowych

Bibliografia

• [1] Gupta D. (ed.): Diffusion Processes in Advanced Technological Materials. W. Andrew, Norwich, 2005.
• [2] Raju G. G.: Dielectrics in Electric Fields. Marcel Dekker, New York, 2003.
• [3] Szmidt J.: Electronic Properties of Nanocrystalline Layers of Wide-Band-Gap Materials. Chaos, Solitons & Fractals, vol. 10, no.12, 1999, pp. 2099-2152.
• [4] Mazurak J., Walczak J., Majkusiak B.: Materiały o dużej stałej dielektrycznej w tranzystorach MOS. (In Polish) Elektronika, vol. XLIX, 2007, no 9, pp. 96-102.
• [5] Klamka J.: Heterozłączowe przyrządy półprzewodnikowe na zakres mikrofal i fal milimetrowych. ALTAIR, Warszawa, 2002.
• [6] Ning Hu, Zen Masuda, Cheng Van, Go Yamamoto: The electrical properties of polymer nanocomposites with carbon nanotube fillers. Nanotechnology, vol.19, 2008, pp. 215701-11.
• [7] Hasul M., Zimmerman D.: Electronic Devices and Circuits. Prentice-Hall, Up. Saddle River, New Jersey, 1997.
• [8] Trzaska Z.: Właściwości i potencjalne zastosowania metamateriałów. (In Polish), Elektronika, vol. XLVIII, 2007, no. 1, pp. 7-11.
• [9] Chang-Hee Kim, Su-ll Pyun, Jong-Huy Kim: An investigation of the capacitance dispersion on the fractal carbon electrode with edge and basal orientations. Electrochimica Acta, vol. 48, 2003, pp. 3455-3463.
• [10] Mandelbrot B.: Some Noises with 1/f Spectrum, a Bridge Between Direct Current and White Noise. In IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 13, no. 2, 1967, pp. 289-298.
• [11] Tzeng F.: Theoretical Analysis of Novel Multi-Order LC Oscillators. IEEE Trans. On Circuits and Systems- Express Briefs, vol. 54, no. 3, 2007, pp. 287-291.
• [12] Hartley T. T, Lorenzo C. F.: A Solution to the Fundamental Linear Fractional Order Differential Equation. NASA/TP-1998-208693, NASA Center for Aerospace Information, Hanover, MD, 1998.
• [13] Oldham K. B., Spanier J.: The Fractional Calculus, Academic Press, San Diego, 1974.
• [14] Podlubny I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego, 1999.
• [15] Trzaska Z.: Characterization of Particular Circuit Elements Requisited for Studying the Electrochemical Processes. Przeglad Elektrotechniczny - Konferencje, vol. 5, 2007, no. 2, pp. 48-52.
• [16] Michalski M. W.: Derivatives of noninteger orders and their applications. Dissertationes mathematicae, CCCXXVIII, Warszawa, 1993.
• [17] Westerlund S., Eksam L.:Capacitor Theory. IEEE Trans, on Dielectrics and Electrical Insulation. Vol. 1, 1994, pp. 826-839.
• [18] Vinagre B. M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V.: Some approximations of fractional order operators used in control theory and applications. Fractional Calculus S Applied Analysis, vol. 3, no. 3, 2000, pp. 945-950.
• [19] Miller K. S.: An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, December 9, 2002.
• [20] Hilfer, R. (ed.): Applications of Fractional Calculus in Physics. World Scientific, Singapore, 2000.
• [21] Trzaska M., Trzaska Z.: Control of Copper Thin-layer Coatings with Electrochemical Impedance Spectroscopy. Proc. Amer. Control Conference (ACC'2007), New York, 11 - 13 July 2007, Paper ThC 19.4.
• [22] Trzaska M., Trzaska Z.: Straightforward energetic approach to studies of the corrosion behaviour of nano-copper thin-layer materials. Journal of Applied Electrochemistry, vol. 37, 2007, pp. 1009-1014.
• [23] Petras I., Podlubny I., O'Leary P., Dorcak L., Vinagre B. M.: Analog Realizations of Fractional Order Controllers, F BERG, TU Kosice, 2002.
• [24] Dorcak L., Petras I., Kostial I., Terpak J.: Fractional-order state space models. International Carpathian Control Conference ICCC' 2002,Malenovice, Czechy, May 27-30, 2002.
• [25] Miller K. S.: The Mittag-Leffler and Related Functions. Integral Transform. Spec. Fund., vol. 1,1993, pp. 41-49.
• [26] Trzaska Z.: Analiza i projektowanie obwodów elektrycznych. Ofic. Wyd. Politach. Warszaw., Warszawa, 2008.