Spektralne własności filtrów Laplace'a piątego stopnia w przetwarzaniu danych cyfrowych

• Autorzy: Krawczyk K. , Winnicki I. , Kroszczyński K. , Pietrek S. , Jasiński J.

Warianty tytułu

EN

Spectral properties of fifth order Laplace filters used for digital data processing

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Artykułem [5] autorzy rozpoczęli cykl prezentacji wyników badań masek konwolucyjnych filtrów Laplace'a wykorzystywanych w cyfrowym przetwarzaniu obrazów. W [6] omówiono spektralne własności filtrów trzeciego stopnia. W niniejszej pracy przedstawiono spektralne własności filtrów Laplace'a stopnia piątego. Na podstawie macierzy indukowanych przez schematy różnicowe aproksymujące operator Laplace'a wyprowadzono π-formy pierwszego przybliżenia różniczkowego tych schematów, wyznaczono funkcje spektralne operatorów wzmocnienia fp(k, l) (gdzie p numer maski - wyjaśnienia w tekście), przedstawiono graficzną interpretację tych funkcji oraz wzajemną relację funkcji spektralnej operatora różnicowego fp(k, l) i operatora różniczkowego fL(k, l), czyli relację fp(k, l)/fL(k, l). Widmowy operator przejścia (operator wzmocnienia), często nazywany też funkcją przejścia (transfer function) jest funkcją charakteryzującą własności schematów różnicowych aproksymujących operatory różniczkowe. Ponieważ są to zależności, które wyprowadza się w obu przestrzeniach (ciągłej i dyskretnej), zatem ich porównywanie ułatwia ocenę zastosowanej metody przybliżonej. Operator przejścia przedstawia więc spektralne własności masek konwolucyjnych filtrów liniowych w funkcji liczb falowych k i l. Wartości fp(k, l) i fL(k, l) są pośrednio generowane przez długości zaburzeń pojawiających się podczas analizy pól cyfrowych. Zagadnienie to zostało szczegółowo opisane w [6]. Przedstawiono tam też na konkretnym przykładzie metodę wyprowadzania funkcji spektralnych fp(k, l). Zainteresowanego Czytelnika odsyłamy również do [2, 4, 9, 10]. Badanie przebiegów funkcji fp(k, l) będzie wykorzystane do przedstawienia własności poszczególnych filtrów Laplace'a. Obszarem porównania będzie pole testowe utworzone za pomocą skryptu peaks.m (pakiet Matlab). Słuszność tego podejścia potwierdzają wyniki badań omówionych w [5] i [6]. Celem prezentowanej pracy jest przede wszystkim poszerzenie i uporządkowanie wiedzy na temat filtrów Laplace'a piątego stopnia oraz wyjaśnienie ich własności spektralnych, które najwięcej mówią o cechach filtrów w obszarze dużych nieregularności, czyli znacznych różnic jasności w blisko położonych punktach zdjęcia cyfrowego. Dodatkowo pokażemy wyraźne różnice w przebiegach funkcji spektralnych związanych z różnymi maskami piątego stopnia. Nie były one takie istotne w przypadku masek stopnia trzeciego [6]. W [6] wprowadziliśmy pojęcie wskaźnik dobroci maski (mierzony liczbą bezwzględną) jako wartość Dp = fp(k, l)/fL(k, l) w punkcie narożnym dziedziny, np. w punkcie (π, π). Będziemy się do niego odwoływać również w tej pracy.

EN

Paper [5] begins a series of presentations of the results of research concerning matrices of convolution Laplace filters used for digital processing of images. Paper [6] discusses spectral properties of third order filters. This paper presents spectral properties of fifth order Laplace filters. Using matrices, induced by differential schemes approximating the Laplace operator, the authors derived the π-forms of the first differential approximation of the schemes, determined the spectral functions of the fp(k, l) amplification operators (where p is the matrix number explained in the paper body), presented graphical interpretation of these functions as well as the relation between the spectral function of the fp(k, l) differential operator and the fL(k, l) differential operator, i.e. the fp(k, l)/fL(k, l) relation. Spectral transfer operator (amplification operator), often called also transfer function, is a function characterizing properties of differential schemes approximating differential operators. Since they are relations derived in both spaces (continuous and discrete), comparing them facilitates assessment of the applied approximation method. Therefore, the transfer operator presents spectral properties of matrices of linear convolution filters as functions of k and l wave numbers. The values of fp(k, l) and fL(k, l) are indirectly generated by the lengths of the disturbances occurring during analyses of the digital fields. This issue is described in detail in [6], where a method of deriving the fp(k, l) spectral functions is also presented in a concrete example. More details are available in [2, 4, 9, 10]. The course studies of the fp(k, l) functions will be used for presenting properties of the specific Laplace filters. The comparison will be conducted over a test field created in Matlab by means of the peaks.m script. Legitimacy of this approach is justified by research results discussed in [5] and [6]. This paper's aim is mainly enhancing and systematizing the knowledge concerning fifth order Laplace filters and explaining those of their spectral properties which provide most information about the filters features in areas of large irregularities, i.e. significant differences in brightness of nearby points of digital images. Additionally, distinct differences in spectral functions courses related with various fifth order matrices will be shown. They were not so essential in case of third order matrices [6]. Paper [6] introduces the concept of the matrix goodness indicator (expressed as an absolute number) having the value of Dp = fp(k, l)/fL(k, l) in a corner point of the domain, e.g. In (π, π) point. It will also be referred to in this paper.

Słowa kluczowe

PL

maski liniowych filtrów Laplace'a piątego stopnia; spektralny operator przejścia; metody różnicowe; forma przybliżenia różniczkowego

EN

matrices of fifth order linear Laplace filters; spectral operator of amplification; differential methods; differential approximation form

• Wydawca: Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego
• Czasopismo: Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 61, nr 2
• Strony: 9--38
• Opis fizyczny: Bibliogr. 13 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Krawczyk K.

autor

Winnicki I.

autor

Kroszczyński K.

autor

Pietrek S.

autor

Jasiński J.

• Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji, Zakład Systemów Informacji Geograficznej, 00-908 Warszawa, ul. S. Kaliskiego 2,

Bibliografia

• [1] M. Borawski, Obróbka wstępna obrazów, [w:] Metody Nawigacji Porównawczej, pod red. A. Statecznego, Gdańskie Towarzystwo Naukowe, Gdynia, 2004.
• [2] W. Burger, M. J. Burge, Digital Image Processing. An Algorithmic Introduction Using Java, Springer Science+Business Media, LLC, 2008.
• [3] A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, University Press, Cambridge, 2009.
• [4] B. Jähne, Digital Image Processing, Springer-Verlag, Berlin, 2002.
• [5] K. Krawczyk, I. Winnicki, J. Jasiński, K. Kroszczyński, S. Pietrek, Maski wybranych krawędziowych filtrów Laplace'a w przetwarzaniu danych cyfrowych, Biul. WAT, 61, 1, 2012.
• [6] K. Krawczyk, I. Winnicki, S. Pietrek, J. Jasiński, K. Kroszczyński, Spektralne własności filtrów Laplace'a trzeciego stopnia w przetwarzaniu danych cyfrowych, Biul. WAT, 61, 1, 2012.
• [7] K. Krawczyk, I. Winnicki, K. Kroszczyński, S. Pietrek, J. Jasiński, Maski filtrów gradientowych w fotointerpretacji danych teledetekcyjnych, Biul. WAT (złożony do druku).
• [8] P. Kupidura, P. Koza, J. Marciniak, Morfologia matematyczna w teledetekcji, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2010.
• [9] S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing. The Sparse Way, Academic Press, Amsterdam, 2009.
• [10] I. Pitas, Processing Algorithms and Application, John Willey & Sons, 2000.
• [11] D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1977.
• [12] J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, SIAM, Philadelphia, 2004.
• [13] R. Tadeusiewicz, P. Korohoda, Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Wydawnictwo Fundacji Postępu Telekomunikacji, Kraków, 1997. Monografia dostępna również pod adresem internetowym: http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0098/.