One-dimensional migration of an active substance involving subsurface advection, diffusion and sorption phenomena

• Autorzy: Sławomirski M.

Warianty tytułu

PL

Jednowymiarowa podziemna migracja substancji aktywnej w warunkach superpozycji adwekcji, dyfuzji i sorpcji

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W artykule rozważono jednowymiarową migrację chemicznie aktywnej substancji w porowatym górotworze. Zagadnienie migracji substancji aktywnych posiada zasadnicze znaczenie dla problematyki podziemnego składowania szkodliwych odpadów przemysłowych. Zawarte w składowisku substancje toksyczne, rozpuszczone następnie w postaci jonów i unoszone przez przepływąjace wody podziemne, mogą być rozpraszane na znacznym obszarze, prowadząc do zatrucia podziemnych zasobów wodnych. Z punktu widzenia ochrony zasobów wodnych informacja dotycząca migracji skażeń ma zasadnicze znaczenie. W artykule przyjęto, że substancja rozpuszczona w wodzie przepływającej w skałach (zwana dalej substancją aktywną) podlega równocześnie procesom adwekcji, dyfuzji, dyspersji, sorpcji, wymiany jonowej i rozpadu chemicznego. Do opisu problemu zastosowane zostały równania różniczkowe bilansu i kinetyki. Jako podstawowe równania opisujące ruch płynu unoszącego substancje aktywne przyjęto równanie ciągłości przepływu w ośrodku porowatym (2) oraz formułę Darcy'ego (1). Jednowymiarowa propagacja substancji aktywnej opisana jest równaniem transportu (7) uwzględniającyej procesy wymienione uprzednio. W równaniu tym stężenie substancji w przepływającym płynie C oraz stężenie substancji zasorbowanej w skałach górotworu są podstawowymi zmiennymi zależnymi od położenia i czasu. Założono liniową kinetykę rozpadu substancji aktywnej daną wzorem (6), co z chemicznego punktu widzenia odpowiada reakcji I rzędu. Przyjęto, że procesy dyfuzji i dyspersji opisane są w wystarczającym przybliżeniu prawem Ficka (4). Rozważania ograniczono do początkowego stadium zjawiska migracji. Umożliwiło to przyjęcie założcnia, że w chwili początkowej koncentracja rozpuszczonej w wodzie substancji aktywnej C oraz koncentracja substancji aktywnej zasorbowanej w skałach są równe zeru. Ponadto nieliniowe równanie kinetyki procesu sorpcji i wymiany jonowej (5) może być wówczas aproksymowane relacją linową (8). W rezultacie ogólne równanie transportu (7) upraszcza się do postaci (9). Rozważono przypadek transportu jednowymiarowego, lecz uogólnienie równań na przypadki dwu- i trójwymiarowy nie stanonowi żadnego problemu. Przyjęto warunek początkowy, zgodnie z którym w chwili t = O konccntracja substancji aktywnej w przepływajacym płynie równa jest zeru, a dopływ tej substancji następuje poprzez brzeg x = O. Odpowiada to warunkom początkowo-brzegowym (10)-(12). W celu uniknięcia ewentualnych niejasności, w rozdziale 5 artykułu uściślono pojęcie początkowego stadium procesu migracji. Przyjmuje się, że proces migracji jest w stadium początkowym, jeśli nieliniowe równanie kinetyki procesu sorpcji i wymiany jonowej (5) może być aproksymowane relacją linową (8). Odpowiada to warunkowi (28), pokazanemu graficznie na rysunku l. Otrzymane równanie różniczkowe opisujące proces jednowymiarowej migracji (9) rozwiązano metodą transformacji Carsona-Laplace'a. Rozwiązanie fianlne w postaci całkowej (24) jest jednak niedogodne do przeprowadzania obliczeń i dlatego też skorzystano z numerycznych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Równanie transportu (9) rozwiązano metodą różnic skończonych. Zastosowano aproksymację typu semi-implicitc (29), dzięki której problem sprowadzono do rozwiązania równania macierzowego (32) z macierzą współczynników L typu trójdiagonalnego. Analiza stabilności przyjętego schematu różnicowego (29), przeprowadzona szczegółowo w innej pracy autora (Sławomirski 2001) w oparciu o metodę analizy harmonicznej, prowadzi do warunku (30), który w obliczeniach efektywnych musi zawsze być spełniony. Przykładowe obliczenia przeprowadzono na komputerze Digital AlphaStation typu RISC, wykorzystując specjalnie do tego celu napisany przez autora program obliczeniowy oparty na przyjętym schemacie różnicowym. Ze względu na duże możliwości obliczeniowe maszyny zastosowano siatkę obliczeniową zawierającą 6000 węzłów. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunkach 2-5. Rozwązanie (34), (35) dla przypadku, gdy dyfuzja i dyspersja mogą być pominięte porównano z rozwiązaniem odpowiadającym sytuacji, gdy procesy dyfuzyjno-dyspersyjne mają istotny wpływ na finalny obraz zjawiska migracji. W przypadku gdy procesy dyfuzji i dyspersji są pominięte, rozwiązanie ma postać przesuwającej się w czasie fali eksponencjalnej "obciętej" przez wyraźny front falowy. Matematycznie jest on reprezentowany przez funkcję Heaviside'a (rys. 6). Obceność procesów dyfuzji i dyspersji "wygładza" front falowy, powodując nawet przy odpowiednio dużych wartościach współczynnika dyfuzji-dyspersji jego zaniknięcie. Z matematycznego punktu widzenia odpowiada to zmianie typu równania z hiperbolicznego na paraboliczne, w którym żadne nieciągłości pierwszej pochodnej rozwiązania nie powinny mieć miejsca.

EN

In this paper one-dimensional migration ofthe chemically active substance in the porous rock mass has been considered. It has been assumed that the active substance dissolved in water flowing through rocks is subjected simultaneously to the advection, diffusion, dispersion, sorption, ion exchange, and chemical disintegration processes. For the description of the problem the differential equations of balance and kinetics have been applied. The considerations are restricted to the initial phase of the migration process. Consequently, it has been assumed that at the initial time t = O the concentration of dissolved active substance C and the concentration of active substance sorbed in the rock are equal to zero. Moreover, the general non-linear kinetics equation may then be approximated by means of the linear relation. The differential equation describing the migration process has been solved applying the Carson-Laplace integral transform method. The solution for the case when the diffusion-dispersion process may be neglected has been compared to the solution for a the situation in which the diffusion and dispersion influence the pattern of the migration phenomenon.

Słowa kluczowe

PL

propagacja skażeń; migracja substancji rozpuszczonych; podziemne składowanie odpadów; dyfuzja; dyspersja; sorpcja; przepływy w ośrodkach porowatych; równania różniczkowe transportu; transformacje całkowe

EN

migration of contaminants; transfer of dissolved substances; diffusion; dispersion; sorption; flow through porous media; differential transport equations

• Wydawca: Instytut Mechaniki Górotworu PAN
• Czasopismo: Archives of Mining Sciences
• Rocznik: 2002
• Tom: Vol. 47, nr 4
• Strony: 521--537
• Opis fizyczny: Bibliogr. 31 poz., wykr.

Twórcy

autor

Sławomirski M.

• Instytut Mechaniki Górotworu, Polska Akademia Nauk, ul. Reymonta 27, 30-059 Kraków, Poland

Bibliografia

• [1] Bateman H.,Erdelyi A., 1954: Tables of Integral Transforms. McGraw-Hill, New York-Toronto-London.
• [2] Bear J., 1972: Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York.
• [3] Bodziony J., Litwiniszyn J., 1962: Mathematical Approach to the Phenomenon of Colmatage of n-th Fractional Suspension of Particles. Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences, Serie des sciences techniques 10,43-49.
• [4] Carslaw H.S., Jaeger J.C., 1949: Operatorial Methods in Applied Mathematics. 2nd édition, Oxford University Press, London.
• [5] Co11atz L., 1951 : Numerische behandlung von Differentialgleichungen. Springer, Berlin.
• [6] Collins R.E., 1967: The Flow of Fluids through Porous Materials. VanNostrand, New York.
• [7] Grim R.E., 1953: Clay Mineralogy. McGraw-Hill.
• [8] Kelly W.P., 1948: Cation Exchange in Solids. Reinhold, New York.
• [9] Litwiniszyn J., 1969: On the Phenomenon of Colmatage. Archiwum Mechaniki Stosowanej 18, 479-496.
• [10] Osiowski J., 1965: Zarys rachunku operatorowego [Operational Calculus - in Polish]. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa.
• [11] Osiowski J., 1971: Przeksztalcenia calkowe [Integral Transforms - in Polish], [In:] Poradnik inżyniera - Matematyka [Mathematics. Handbook for Engineers - in Polish], Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa.
• [12] Peaceman D.W., 1977: Fundamental of Numerical Reservoir Simulation, Elsevier, Amsterdam-Oxford-New York.
• [13] Richtmyer R.D., Morton K.W., 1967: Difference Methods for Initial Value Problems, Interscience, New York-London-Sydney.
• [14] Sławomirski M.R., 1986: The Simulation of Two-Phase Flows through Anisotropic Porous Media Considering Isothermal Condensation of Multicomponent Gas. Archiwum Górnictwa 31, 191-287.
• [15] Sławomirski M.R., 1998: A Numerical Model of Gas Flow in Coal Considering the Sorption and Swelling Processes. Seminar held in the Strata Mechanics Research Institute, June 1998.
• [16] Sławomirski M.R., 1999: Efekty pamięciowe towarzyszące przeplywowi w warunkach sorpcji objętościowej [Memory Effects Accompanying Simultaneous Flow and Sorption Phenomena - in Polish]. Transactions of the Strata Mechanics Research Institute 1, 109-116.
• [17] Sławomirski M.R., 2000: Równanie migracji aktywnych substancji unoszonych przez wody przepływające w skalach porowatych [The Equations of Migration of Active Substaces Transferred by Watcr Flowing through Porous Media - in Polish], Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN 2, 107-119.
• [18] Sławomirski M.R., 2000: Jednowymiarowa propagacja uczestniczących w rcakcji następczej substancji unoszonych przez wodę przepływającą w skalach porowatych [One-Dimensional Propagation of Substances Involved in a Sequential Reaction, and Transferred by Water Flowing through Porous Rocks - in Polish]. Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN 2, 121-134.
• [19] Sławomirski M.R., 2001 : The Numerical Simulation of Initial Stage of One-Dimensional Subsurface Migration of an Active Substance. Transactions of the Strata Mechanics Research Institute 3, 19-30.
• [20] Sławomirski M.R., 2001: A Simplified Model of Axi-Symmetric Propagation of Toxic Substances Transferred from the Underground Depository of Waste Materials by Technological Water. Transactions of the Strata Mechanics Research Institute 3, 51-56.
• [21] Sławomirski M.R., Dyrga L., Zółcinska J., 1999: Rational and Empirical Investigations of the Flow through Coal Involving the Sorption and Swelling Phenomena. [In:] Proceedings of the Eight International Symposium on Mine Planing & The International Symposium on Mine Enviromental and Economical Issues, Dniepropetrovsk, Ukraine, 15-18 June 1999, pp. 431-438.
• [22] Sławomirski M.R., et al., 1997: Matematyczny model niestacjonarnego przepływu gazu w węglu kamiennym traktowanym jako ośrodek szczelinowo-porowy oraz jego korelacja z wynikami eksperymentalnymi [A Mathematical Model of Unsteady Gas Flow through Coal. Theory and Results of Experimens - in Polish], Strata Mechanics Research Institute Report no. T02-Z11.
• [23] Sneddon I.N., 1955: Functional Analysis. [In:] Handbuch der Physik, herausgegeben von S. Flugge, Bd. 2: Mathematische Metoden, Springer, Berlin-Gottingen-Heidelberg.
• [24] Stoch L., 1974: Minerały ilaste [Clay Minerais - in Polish], Wydawnictwa Gelogiczne, Warszawa.
• [25] Tranter C.J., 1959: Integral Transforms in Mathematical Physics. Mthuen, London.
• [26] Trzaska A., 1966: Zjawisko kolmatacji w sztucznym ośrodku porowatym [The Colmatage Phenomenon in an Artificial Porous Medium - in Polish], Zeszyty Problemowe Górnictwa 4, 257-293.
• [27] Trzaska A., 1970: Certain Solutions of the Colmatage Equations for Axi-Symmetric Flow through Porous Media. Archives of Mining Sciences 15, 291-308.
• [28] Trzaska A., 1972: New Kinetics Equations of the Colmatage process and their Applications. Archives of Mining Sciences 17, 361-384.
• [29] Trzaska A., 1989: On the Researches of Colmatage. Archives of Mining Sciences 44, 528-541.
• [30] Trzaska A.,Broda K., 2000: Possibility of Determing Colmatage Parametersand Functions Basing on the Theory of Colmatage and Experiment. Archives of Mining Sciences 45, 527-542.
• [31] Wagner K.W., 1940 : Operatorenrechnung, Barth, Leipzig ; [Polish edition : (1960) Rachunek operatorowy i przeksztalcenie Laplace’a, PWN, Warszawa].