The relationship between deterministic and stochastic models of flotation

• Autorzy: Brożek M. , Młynarczykowska A. , Turno A.

Warianty tytułu

PL

Związki pomiędzy deterministycznymi i stochastycznymi modelami flotacji

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper presents a short review of selected models of flotation kinetics the aim of which was a synthesis of the results obtained in different types of models, The authors compared the stochastic and determinist models of both the cycIic and continuous flotation in the multi-chamber machine. The determinist model of cyclic and continuous flotation and the stochastic model of cyclic flotation, based on the birth and death process were discussed very thoroughly. The synthesis of these models generates expressions by means of which, after removing the flotation kinetics curve, it is possible to investigate quantitatively the process of adhesion of mineral particles to air bubbles as well as detachment of particles from bubbles, and the value of equilibrium recovery .

PL

Flotacja - jak każdy proces technologiczny, w którym o wynikach decyduje wiele czynników o charakterze losowym - jest procesem zachodzącym w czasie. Matematycznie przebieg procesu flotacji w czasie ujmują równania kinetyki flotacji. Występująca w tych równaniach stała prędkości flotacji jest wielkością makroskopową, która powinna zawierać informacje o czynnikach wpływających na proces. Na przestrzeni ostatnich kilkudziesięciu lat powstało wiele modeli kinetyki flotacji, począwszy od modeli deterministycznych po modele stochastyczne odnoszące się zarówno do flotacji cyklicznej, jak i ciągłej w maszynie wielokomorowej, Każdy z tych modeli wnosi pewne informacje o procesie, przy czym efekty końcowe uzyskiwane z różnych typów modeli powinny być zbieżne, a informacje powinny się uzupełniać. W artykule przedstawiono analizę deterministycznych oraz stochastycznych modeli kinetyki flotacji cyklicznej I rzędu, a także flotacji ciągłej w maszynie wielokomorowej. Analiza i porównanie tych modeli pozwoliły na uzyskanie wyrażeń na stałe prędkości adhezji, prędkości odrywania, prędkości flotacji oraz wartości równowagowej uzysku flotowanego minerału w produkcie pianowym. W modelach deterministycznych (Schuhmanna, Beloglazova, Melkicha, Yoona, Mao i Luttrella) uzyskuje się wyrażenia na zależność uzysku flotowanego minerału od czasu flotacji (wzory l, 5 i 6), 11 stała prędkości flotacji powiązana jest z prawdopodobieństwem zderzenia ziarna z pęcherzykiem adhezji ziarna do pęcherzyka Pa oraz trwałością piany F (wzór 2) lub ilością pęcherzyków gazu N przechodzących przez zawiesinę w jednostce czasu (wzór 7) bądź całkowitą powierzchnią pęcherzyków gazu przepływającego przez jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego komory flotacyjnej w jednostce czasu (wzór 8), Na trwałość połączenia ziarna z pęcherzykiem zwrócił uwagę Sutherland uwzględniając w wyrażeniu na prawdopodobieństwo mineralizacji pęcherzyka, prawdopodobieństwo oderwania ziarna od pęcherzyka Pd (wzór 38). Yoon, Mao i LuttrelI wychodząc z zasad pierwszych wyprowadzili wzory na prawdopodobieństwa zderzenia, adhezji i oderwania ziarna od pęcherzyka (wzory 40,41,46,47 i 48). Ze wzoru (48) wynika, że istnieje określone prawdopodobieństwo oderwania ziarna od pęcherzyka. Uwzględniając ten fakt Stachurski przedstawił model kinetyki flotacji oparty na stochastycznym procesie narodzin i ginięcia, w którym ilość ziaren wynoszonych przez pęcherzyki do warstwy piany N(t) jest zmienną losową. Rozwiązując układ równań Kołmogorowa-Fellera (wzory 16 i 18) otrzymał wyrażenie na uzysk ziaren wyniesionych do warstwy piany (wzór 22). Ze wzoru (22) oraz porównania tego modelu z modelem deterministycznym można wyznaczyć stałą prędkości flotacji (wzór 54), prędkości adhezji (wzór 24), prędkości odrywania (wzór 23), uzysk rónowagowy 800 (wzór 23) oraz powiązać te wielkości z prawdopodobieństwami zderzenia, adhezji i oderwania (wzory 55 i 56). Analogiczne skojarzenie deterministycznego modelu flotacji ciągłej w maszynie wielokomorowej z modelem stochastycznym umożliwia powiązanie współczynnika intensywności wyflotowania ziaren A oraz współczynnika intensywności przejścia z komory do komory ze stałą prędkości flotacji k oraz średnim czasem przebywania zawiesiny w komorzc flotacyjnej (wzory 35 i 37). Wyprowadzenie równań kinetyki flotacji na podstawie zasad pierwszych umożliwia powiązanie flotacji cyklicznej z flotacją ciągłą w maszynie wielokomorowej poprzez stałą prędkości flotacji (wzory 5 i 35). Powiązanie modeli deterministycznych z modelami stochastycznymi flotacji stanowi istotne dopełnienie informacji dotyczących wielkości charakteryzujących ten proces.

Słowa kluczowe

EN

flotation kinetics; flotation rate constant; adhesion; stochastic model; probability

PL

kinetyka flotacji; stała prędkości flotacji; adhezja; prawdopodobieństwo; proces narodzin i ginięcia

• Wydawca: Instytut Mechaniki Górotworu PAN
• Czasopismo: Archives of Mining Sciences
• Rocznik: 2003
• Tom: Vol. 48, nr 3
• Strony: 299--314
• Opis fizyczny: Bibliogr. 15 poz., wykr.

Twórcy

autor

Brożek M.

• Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Przeróbki Kopalin, Ochrony Środowiska i Utylizacji Odpadów. 30-059 Kraków, al. Mickiewicza 30, Poland

autor

Młynarczykowska A.

• Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Przeróbki Kopalin, Ochrony Środowiska i Utylizacji Odpadów. 30-059 Kraków, al. Mickiewicza 30, Poland

autor

Turno A.

• Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Przeróbki Kopalin, Ochrony Środowiska i Utylizacji Odpadów. 30-059 Kraków, al. Mickiewicza 30, Poland

Bibliografia

• [1] Bailcy N.T.J., 1964: The elements of stochastic processes with application to the natural sciences. John Wiley & Sons, New York, London, Sydney.
• [2] Bełoglazov K.F., 1947: Zakonomernosti flotacionnogo processa. Mctałłurgizdat.
• [3] Bodziony J., 1965: On the analogy between a deterministic and a stochastic model of the kinetic of flotation. Buli. Pol. Acad. Sci. 13, 485-490.
• [4] Geidel T., 1985: Probability of attachment between mineral grains and air bubles and its relation to flotation kinetics. Aufber. Technik 26, 287-294.
• [5] Hogg R., Healy T.W., Fuerstenau D.W., 1966: Mutual coagulation of colloidal dispersions. Trans. Faraday Soc. 62, 1638-1651.
• [6] Jiang Z.W., 1991: Modelling of flotation process by quantitative analysis of the collision and adhesion between particles and bubbles. Proc. XVIIIMPC, Drcsedch, vol. 2, 429-440.
• [7] King R.P., 1982: Principles of flotation. SAIMM, Johannesburg, 215-226.
• [8] Laskowski J.S., X u Z, Yoon R.H., 1991: Energy barrier in particle-to-bubble attachment and its effect on flotation kinetics. Proc. XVII IMPC, Dresdcn, vol. 2, 237-249.
• [9] Mełkich ., 1963: Statisticeskaja teorija processa flotacii. Obogascenic rud no 6, 17-20.
• [10] Schuhmann R., 1942: Flotation kinetics I. Methods for steady-state study of flotation problems. J. Phys. Chem. 46, 891-902.
• [11] Stachurski J., 1970: The mathematical model for the ion-extraction flotation proccss. Archiwum Górnictwa 15, 219-229.
• [12] Sutherland K.L., 1948: Physical chemistry of flotation-XI kinetics of the flotation process. J. Phys, Chem. 52, 394-425.
• [13] Yoon R.H., Luttrell G.H., 1989: The effect of bubble size on fine particle flotation. Miner. Process. Extr. Metali. Rev. 5. 101-122.
• [14] Yoon R.H., Mao L., 1996: Application of extended DLVO theory, IV. Derivation of flotation rate equation from First principles. J. Coli. Int. Sci. 181, 613-626.
• [15] Zuniga H.G., 1935: Flotation recovery is an exponential function of its rate. Boi. Soc. Nac. Min., Santiago 47, 83-86.