Local existence of the solution to the initial-boundary value problem in nonlinear thermomicroelasticity theory

• Autorzy: Gawinecki J. , Łazuka J.

Warianty tytułu

PL

Lokalne istnienie rozwiązania zagadnienia brzegowo-początkowego dla nieliniowego układu równań mikropolarnej termosprężystości

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We prove a theorem about local existence (in time) of the solution to the first initial-boundary value problem for a nonlinear system of equation of the thermomicroelasticity theory. At first, we prove existence, uniqueness and regularity of the solution to this problem for the associated linearized system by using the method of semi-group theory. Next, basing on this theorem, we prove an energy estimate for the solution to the linearized system by applying the method of Sobolev space. At the end, using the banach fixed point theorem, we prove that the solution of our nonlinear problem exists and is unique.

PL

W pracy udowodniono twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia brzegowo-początkowego dla nieliniowego układu równań mikropolarnej termosprężystości. W pierwszym etapie udowodniono twierdzenie o istnieniu, jednoznaczności i regularności rozwiązania zagadnienia brzegowo-początkowego dla zlinearyzowanego układu równań mikropolarnej termosprężystości stosując metody półgrup oraz metody przestrzeni Sobolewa. Następnie na podstawie udowodnionych twierdzeń pokazano nierówności energetyczne dla rozwiązania zlinearyzowanego układu równań. W ostatnim etapie stosując twierdzenie Banacha o punkcie stałym udowodniono, że rozwiązanie nieliniowego układu równań istnieje i że jest jedyne. W dowodzie zastosowano metody półgrup, metody przestrzeni Sobolewa oraz metody nierówności energetycznych.

Słowa kluczowe

EN

linear and nonlinear hyperbolic-parabolic system of partial differential equations; initial-boundary value problem; Sobolev space; semigroup theory; thermomicroelasticity theory; existence and uniqueness theorem

PL

przestrzenie Sobolewa; liniowy i nieliniowy układ hyperboliczno-paraboliczny; zagadnienie brzegowo-początkowe; teoria półgrup; teoria mikropolarnej termosprężystości; twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności; twierdzenie Banacha o punkcie stałym

• Wydawca: Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego
• Czasopismo: Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej
• Rocznik: 2003
• Tom: Vol. 52, nr 7
• Strony: 5--29
• Opis fizyczny: Bibliogr. 28 poz.

Twórcy

autor

Gawinecki J.

• Military University of Technology, Institute of Mathematics and Cryptology, Faculty of Cybernetics, 00-908 Warsaw, 2 S. Kaliskiego Str., Poland

autor

Łazuka J.

• Military University of Technology, Institute of Mathematics and Cryptology, Faculty of Cybernetics, 00-908 Warsaw, 2 S. Kaliskiego Str., Poland

Bibliografia

• [1] R. A. ADAMS, Sobolev spaces, Academic Press, New York 1975.
• [2] I. A. AGMON, Lecture on elliptic boundary-value problem, Van Nostrand, Princeton 1965.
• [3] С. T. DAFERMOS AND W. J. HRUSA, Energy method for quasilinear hyperbolic initial boundary-value problem, Applications to electrodynamics, Arch. Rat. Mech. Ani. 87 (1985), 267-292.
• [4] J. GAWINECKI, K. SIERPIŃSKI, Existence, uniqueness and regularity of the solution of the first boundary initial value problem for the equations of thermodiffusion in a solid body, Buli. Acad. Polon. Sci. Ser. Techn. Vol., 30, 1-12 (1982), 163-171.
• [5] J. GAWINECKI and P. KACPRZYK, Asymptotic solutions to the equations of microelasticity theory, Biul. WAT, XLII, 12 (1993), 49-70.
• [6] J. GAWINECKI, P. KACPRZYK, Existence, uniqueness and regularity of the solution of the first boundary - initial value problem for the equations of thermodiffusion in micropolar medium, Buli. Acad. Polon. Acad. Sci. Sier. Techn., Vol. 42, 3 (1994), 341-359.
• [7] J. GAWINECKI, P. KACPRZYK and J. JĘDRZEJEWSKI, On energy estimate for some coupled parabolic systems of partial differential equations, Biul. WAT, XLV, 12 (1996), 7-13.
• [8] J. GAWINECKI, Local existence of the solutions to the initial boundary ualue problem in nonlinear thermodyfusion in microplar medium, Z. Anal. Anwendungen, 19 (2000), 429-451.
• [9] J. GAWINECKI, Initial boundary value problem, in nonlinear hyperbolic thermoelastiticty Some applicationes in continuum mechanics, Dissertationes Math., 344 (1995).
• [10] J. GAWINECKI, The initial boundary value problem for linearized system of equation of the thermomicroelasticity theory, Matematyka i Ekonometria, zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Handlu i Prawa, 8 (2002), 19-32.
• [11] T. KATO, Abstract differential equations and nonlinear mixed problems, Center for Рurе and Appl. Math. Report Univ. of California, Berkely Published in Fermi Lectures Scuola Normale Sup., Pisa 1985.
• [12] S. KAWASHIMA, Systems of hyperbolic-parabolic composite type, with applications to the equations of magnetohydrodynamic, Kyoto University, Thesis 1983.
• [13] S. KAWASHIMA and M. MATSUMURA, Mixed problems for symmetric hyperbolic-parabolic systems, manuscript 1989.
• [14] KAWASHIMA, T. YANAGISAWA and Y. SHIZUTA, Mixed problem for quasilinear symmetric hyperbolic systems, Prc. Japan, Acad. Ser. A., 63 (1987), 243-241.
• [15] O. A. LADYZHENSKAYA, V. A. SOLONNIKOV, N. N. URALCEVA, Linear and quasi-linear equations of parabolic types (Trans. Math. monographs: Vol. 23), Providence (R.I): Amer. Math. Soc., 1968.
• [16] D. LlU, The nonlinear initial-boundary value problem and the ezistence of multi-dimensional shock wave for quasilinear hyperbolic-parabolic coupled systems, Chin Ann. Math., 8B(2) (1987), 252-280.
• [17] A. J. MlLANI, A reqularity result for strongly elliptic systems, Boli. Un. Math. Ital., Ser., 3B (6) (1983), 642-651.
• [18] N. NAERLOVIĆ-VEJLKOVIĆ, M. PLAVSIĆ, Thermodiffusion in elastic solids with microstructura, Buli. Acad. Polon. Sci., Ser. Techn., 22 (1974),623-632.
• [19] W. NOWACKI, Certains problems of thermodiffusion in solids, Arch. Mech. Stos., 23 (1971), 731-754.
• [20] W. NOWACKI, Dynamic problems of thermodiffusion in solids, Parts I-III, Bul. Acad. Polon. Sci., Ser. Techn., 23 (1974), 55-64, 205-211 and 257-266.
• [21] W. NOWACKI, Theory of asymmetric elasticity, Pol. Sci. Publ., Warszawa 1986.
• [22] M. PLAVŚIĆ, N. NAERLOVIÓ-VEJLKOVIĆ, Field equations for thermodiffusion in elastic solids with microstructure, Buli. Acad. Polon. Sci., Ser. Techn., 23 (1975), 483-492.
• [23] Y. SHIBATA, On a local existence theorem for some guasilinear hyperbolic-parabolic coupled system with Neumann type boundary condition, manuscript.
• [24] Y. SHIBATA AND Y. TSUTSUMI, Local existence of the initial-boundary value problem of fully nonlinear equation, Nonlinear Arch. Theory Math. Appl., 11 (1987), 335-368.
• [25] W. ZAJĄCZKOWSKI, Mixed problems for nonlinear symmetric hyperbolic system, Math. Meth. in the Appl. Sci., 11 (1989), 139-168.
• [26] S. ZHENG, Initial boundary value problems for quasilinear-hyperbolic parabolic coupled systems in higher dimensional, Chin. Ann. Math., 4B(4) (1983), 443-462.
• [27] S. ZlIENG AND W. SHEN, Global solutions to the Cauchy problem of quasilinear hyperbolic parabolic coupled systems, Sci. Sinica. Ser., 30 (1987), 1133-1199.
• [28] A. J. YOLPERT AND S. T. HUDAJEV, On the Cauchy problem for composite systems of nonlinear differential eguations, Math. VSSR Sbornik, 16 (1972), 517-544.