Stochastic Orders and Ageing Classes

• Autorzy: Miziuła P.

Warianty tytułu

PL

Porządki stochastyczne i klasy rozkładów czasów życia

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This article covers the knowledge of the recently used stochastic orders, ageing classes, and relations between them. Definitions and relations between particular stochastic orders are presented here. The paper also contains definitions (especially using stochastic orders), relations and closure properties of ageing classes. Closure properties are investigated here under five useful reliability operations: convolutions, mixtures, formation of monotonic systems, maxima, and minima.

PL

Teoria niezawodności opisuje losowe czasy działania urządzeń podatnych na awarie. Na potrzeby tego typu badań opracowano specyficzne branżowe pojęcia, m.in. resztowy czas życia, intensywność awarii, czy średni resztowy czas życia. Ich definicje zostały podane w Rozdziale 2. Znalazły się w nim także podstawowe definicje i fakty dotyczące systemów monotonicznych. Systemy monotoniczne tworzą bardzo prosty i wygodny model, opisujący działanie urzadzeń składających się z odpowiednio ułożonych względem siebie części. Jest to dynamicznie rozwijająca się teoria, znajdująca zastosowania w wielu dziedzinach nauki. Więcej na ten temat można dowiedzieć się z książek [2] i [13]. Rozmaite porządki stochastyczne, czyli porządki na zbiorach rozkładów prawdopodobieństwa, maja zastosowanie w wielu dziedzinach rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Wiele o porządkach można nauczyć się z książki [14]. W Rozdziale 3 niniejszego artykułu zostały zdefiniowane i porównane ze sobą tylko te porządki, które najbardziej przydają się w pracy z klasami rozkładów czasu życia. Nie powinno dziwić, że takie kryterium wyboru spełniają przede wszystkim porządki, które prostota definicji i wszechstronnym zastosowaniem zasłużyły sobie na miano klasycznych. Relacje miedzy wprowadzonymi porządkami zostały podsumowane na Rysunku 1. W Rozdziale 4 opisane zostały wybrane klasy rozkładów czasu życia - zarówno te znane od kilkudziesięciu lat, jak i niektóre spośród wprowadzonych stosunkowo niedawno. Nacisk został położony na dwa zagadnienia: relacje miedzy poszczególnymi klasami oraz domkniętości poszczególnych klas względem najczęściej używanych operacji niezawodnościowych: splotów, mieszanek i tworzenia systemów monotonicznych. Zostały tez wyróżnione klasy domknięte ze względu na maksima i minima. Wyniki zostały podsumowane na Rysunku 2 i w Tabeli 2. Wszystkim zainteresowanym zastosowaniem przedstawionych pojęć na pewno przypadnie do gustu przystępnie i rzetelnie napisana książka [10].

Słowa kluczowe

EN

stochastic orders; aging classes; closure properties; convolution; mixture; monotonic system

PL

porządki stochastyczne; klasy rozkładów czasów życia; domkniętość ze względu na operacje niezawodnościowe; splot; mieszanka; system monotoniczny

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 40, No. 1
• Strony: 105--125
• Opis fizyczny: Bibliogr. 14 poz., rys., tab.

Twórcy

autor

Miziuła P.

• Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12/18, 87-100 Torun, Polska,

Bibliografia

• [1] A. M. Abouammoh and A. N. Ahmed, The new better than used failure rate class of life distribution, Adv. Appl. Prob. 20 (1988), 237-240.
• [2] R. E. Barlow and F. Proschan, Statistical Theory of Reliability and Life Testing: Probability Models, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1975.
• [3] M. Brown, Further monotonicity properties for specialized renewal processes, Ann. Probability 9 (1981), 891-895.
• [4] A. M. Brückner and E. Ostrow, Some function classes related to the class of convex functions, Pacific J. Math. 12 (1962), 1203-1215.
• [5] J. Cai and Y.Wu, A note on the preservation of the NBUC class under formation of parallel systems with dissimilar components, Microelectron. Reliab. 37 (1997), 359-360.
• [6] M. Franco, J. M. Ruiz and M. C. Ruiz, On closure of the IFR(2) and NBU(2) classes, J. Appl. Prob. 38 (2001), 235-241.
• [7] M. Franco, M. C. Ruiz and J. M. Ruiz, A note on closure of the ILR and DLR classes under formation of coherent systems, Statistical Papers 44 (2003), 279-288.
• [8] B. Klefsjö, Some Properties of the HNBUE and HNWUE Classes of Life Distributions, Report 1980-8 (1980), Univ. Umea.
• [9] B. Klefsjö, A useful ageing property based on the Laplace transform, J. Appl. Prob. 20 (1983), 615-626.
• [10] B. Kopocinski, Zarys teorii odnowy i niezawodnosci, PWN, Warszawa 1973.
• [11] C.-D. Lai and M. Xie, Stochastic Ageing and Dependence for Reliability, Springer, New York 2006.
• [12] W.-Y. Loh, A new generalization of the class of NBU distributions, IEEE Trans. Rel. 33 (1984), 419-422.
• [13] A. W. Marshall and I. Olkin, Life Distributions, Springer, New York, 2007.
• [14] M. Shaked and J. G. Shantikumar, Stochastic Orders, Springer, New York, 2007.