A Résumé on Interval Runge-Kutta Methods

• Autorzy: Marciniak A.

Warianty tytułu

PL

Przeglad metod przedziałowych typu Rungego-Kutty

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper presents explicit and implicit interval methods of Runge-Kutta type. Such methods introduce the errors of methods. It means that this kind of errors are included in the interval solutions obtained. Applying these methods for solving the initial value problem in floating-point interval arithmetic we can obtain solutions in the form of intervals which contain all possible numerical errors. Numerical examples are presented.

PL

W artykule przedstawiono jawne i niejawne metody przedziałowe typu Rungego-Kutty. Metody takie zawierają w sobie błędy metod, co oznacza, ze ten rodzaj błędów jest uwzględniony w otrzymywanych rozwiązaniach przedziałowych. Stosując te metody do rozwiązywania zagadnienia początkowego w zmiennopozycyjnej arytmetyce przedziałowej otrzymujemy zatem rozwiązania w postaci przedziałów, które zawierają wszystkie możliwe błędy numeryczne. W artykule przedstawiono także przykłady numeryczne

Słowa kluczowe

EN

interval methods for ODEs; Runge-Kutta methods; floating point interval arithmetic

PL

metody przedziałowe dla równań różniczkowych zwyczajnych; metoda Rungego-Kutty; zmiennopozycyjna arytmetyka przedziałowa

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 40, No. 1
• Strony: 39--52
• Opis fizyczny: Bibliogr. 27 poz., tab.

Twórcy

autor

Marciniak A.

• Poznan University of Technology Institute of Computing Science, Piotrowo 2, 60-965 Poznań, Poland,

Bibliografia

• [1] Alefeld, G., Herzberger, J., Introduction to Interval Computations, Academic Press, New York 1983.
• [2] Ascher, U. M., Petzold, L. R., Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia 1998.
• [3] Butcher, J. C., The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations: Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley, Chichester 1987.
• [4] Dormand, J. R., Numerical Methods for Differential Equations - A Computational Approach, CRC, Boca Raton 1996.
• [5] Gajda, K., Marciniak, A., Szyszka, B., Three- an Four-Stage Implicit Interval Methods of Runge-Kutta Type, Computational Methods in Science and Technology 6 (2000), 41-59.
• [6] Gajda, K., Jankowska, M., Marciniak, A., Szyszka, B., A Survey of Interval Runge-Kutta and Multistep Methods for Solving the Initial Value Problem, in: R. Wyrzykowski, J. Dongmara, K. Karczewski, J. Wasniewski (eds.), Parallel Processing and Applied Mathematics, Lecture Notes in Computer Science Vol. 4967, Springer, Berlin 2007, 1361-1371.
• [7] Hammer, R., Hocks, M., Kulisch, U., Ratz, D., Numerical Toolbox for Verified Computing I. Basic Numerical Problems, Springer, Berlin 1993.
• [8] Heirer, E., Nørsett, S. P., Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations I - Nonstiff Problems, Springer, Berlin 1987.
• [9] Jain, M. K., Numerical Solution of Differential Equations, Wiley, New York 1979.
• [10] Jankowska, J., Jankowski, M., Survey of Numerical Methods and Algorithms. Part I [in Polish], WNT, Warsaw 1981.
• [11] Jankowska, M., Marciniak, A., Implicit Interval Multistep Methods for Solving the Initial Value Problem, Computational Methods in Science and Technology 8 (1) (2002), 17-30.
• [12] Jankowska, M., Marciniak, A., On Explicit Interval Methods of Adams-Bashforth Type, Computational Methods in Science and Technology 8 (2) (2002), 46-57.
• [13] Jankowska, M., Marciniak, A., On Two Families of Implicit Interval Methods of Adams-Moulton Type, Computational Methods in Science and Technology 12 (2) (2006), 109-114.
• [14] Kalmykov, S. A., Shokin, Ju. I., Juldashev, R. Ch., Solving Ordinary Differential Equations by Interval Methods [in Russian], Doklady AN SSSR Vol. 230, No. 6, 1976.
• [15] Kincaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis - Mathematics of Scientific Computing, Third Edition, Brooks/Cole, 2002.
• [16] Krupowicz, A., Numerical Methods of Initial Value Problems of Ordinary Differential Equations [in Polish], PWN, Warsaw 1986.
• [17] Marciniak, A., Szyszka, B., One- and Two-Stage Implicit Interval Methods of Runge-Kutta Type, Computational Methods in Science and Technology 5 (1999), 53-65.
• [18] Marciniak, A., Finding the Integration Interval for Interval Methods of Runge-Kutta Type in Floating-Point Interval Arithmetic, Pro Dialog 10 (2000), 35-45.
• [19] Marciniak, A., Implicit Interval Methods for Solving the Initial Value Problem, Numerical Algorithms 37 (2004), 241-251.
• [20] Marciniak, A., Multistep Interval Methods of Nyström and Milne-Simpson Types, Computational Methods in Science and Technology 13 (1) (2007), 23-40.
• [21] Marciniak, A., On Multistep Interval Methods for Solving the Initial Value Problem, Journal of Computational and Applied Mathematics 199 (2) (2007), 229-238.
• [22] Marciniak, A., Selected Interval Methods for Solving the Initial Value Problem, Publishing House of Poznan University of Technology, Poznan 2009.
• [23] Moore, R. E., Interval Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1966.
• [24] Moore, R. E., Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM, Philadelphia 1979.
• [25] Sanz-Serna, J. M., Calvo, M. P., Numerical Hamiltonian Problems, Chapman & Hall, London 1994.
• [26] Shokin, Yu. I., Interval Analysis [in Russian], Nauka, Novosibirsk 1981.
• [27] Stoer, J., Bulirsch, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer, Berlin 1983.