Postęp w teorii liczb w latach 1998–2009

• Autorzy: Grygiel A.
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Osiem lat temu A. Schinzel opublikował w Wiadomościach Matematycznych przegląd osiągnięć teorii liczb w XX wieku. Niniejszy artykuł stanowi rozszerzenie tego przeglądu o zasługujące na uwagę jedno twierdzenie z ubiegłego stulecia oraz siedem najważniejszych wyników z lat 2001–2009.

Słowa kluczowe

PL

teoria liczb

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Wiadomości Matematyczne
• Rocznik: 2010
• Tom: T. 46, Nr 1
• Strony: 17--26
• Opis fizyczny: Bibliogr. 39 poz.

Twórcy

autor

Grygiel A.

• Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki,

Bibliografia

• [1] L. M. Adleman, C. Pomerance, R. S. Rumely, On distinguishing prime numbers from composite numbers, Ann. of Math. 117 (1983), no. 1, 173-206.
• [2] M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena, PRIMES is in P, Ann. of Math. 160 (2004), no. 2, 781-793.
• [3] Y. F. Bilu, Catalan's conjecture (after Mih˘ailescu), Astérisque 294 (2004), vii, 1-26.
• [4] Y. F. Bilu, Catalan without logarithmic forms (after Bugeaud, Hanrot and Mihǎilescu), J. Théor. Nombres Bordeaux 17 (2005), no. 1, 69-85.
• [5] R. D. Carmichael, Note on Euler's '-function, Bull. Amer. Math. Soc. 28, (1922), no. 3, 109-110.
• [6] E. Catalan, Note extraite d'une lettre adressée `a l'éditeur, J. Reine Angew. Math. 27 (1844), 192.
• [7] J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, Sci. Sinica 16 (1973), 157-176.
• [8] P. Erdös, R. L. Graham, Old and new problems and results in combinatorial number theory, Monographies de L'Enseignement Mathématique [Monographs of L'Enseignement Mathématique], vol. 28, Université de Gen`eve L'Enseignement Mathématique, Geneva, 1980.
• [9] K. Ford, The distribution of totients, Ramanujan J. 2 (1998), no. 1-2, 67-151.
• [10] K. Ford, The number of solutions of _(x) = m, Ann. of Math. 150 (1999), no. 1, 283-311.
• [11] K. Ford, S. Konyagin, On two conjectures of Sierpinski concerning the arithmetic functions _ and _, Number theory in progress, Vol. 2 (Zakopane-Kościelisko, 1997), de Gruyter, Berlin, 1999, 795-803.
• [12] E. Fouvry, H. Iwaniec, Gaussian primes, Acta Arith. 79 (1997), no. 3, 249-287.
• [13] J. Friedlander, H. Iwaniec, The polynomial X2 + Y 4 captures its primes, Ann. of Math. 148 (1998), no. 3, 945-1040.
• [14] D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, Ann. Of Math. 170 (2009), no. 2, 819-862.
• [15] D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples II, preprint.
• [16] W. T. Gowers, A new proof of Szemerédi's theorem, Geom. Funct. Anal. 11 (2001), no. 3, 465-588.
• [17] B. Green, Roth's theorem in the primes, Ann. of Math. 161 (2005), no. 3, 1609-1636.
• [18] B. Green, T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Ann. of Math. 167 (2008), no. 2, 481-547.
• [19] A. Grygiel, Arithmetic patterns which capture the primes, 10th International Workshop for Young Mathematicians Combinatorics (Kraków, 2007), 53-57.
• [20] D. R. Heath-Brown, Primes represented by x3 + 2y3, Acta Math. 186 (2001), no. 1, 1-84.
• [21] H. Iwaniec, Almost-primes represented by quadratic polynomials, Invent. Math. 47 (1978), 171-188.
• [22] H. Iwaniec, Primes represented by quadratic polynomials in two variables, Acta Arith. 24 (1973/74), 435-459.
• [23] K. Inkeri, On Catalan's problem, Acta Arith. 9 (1964), 285-290.
• [24] K. Inkeri, On Catalan's conjecture, J. Number Theory 34 (1990), no. 2, 142-152.
• [25] Ch. Ko, On the Diophantine equation x2 = yn + 1; xy 6= 0, Sci. Sinica 14 (1964), 457-460.
• [26] V. A. Lebesgue, Sur l'impossibilité en nombres entiers de l'équation xm =y2 + 1, Nouv. Ann. Math. 9 (1850), 178-181.
• [27] H. W. Lenstra, Jr., C. Pomerance, Primality testing with Gaussian periods, preprint.
• [28] H. Maier, Small differences between prime numbers, Michigan Math. J. 35 (1988), no. 3, 323-344.
• [29] P. Mihǎilescu, A class number free criterion for Catalan's conjecture, J. Number Theory 99 (2003), no. 2, 225-231.
• [30] P. Mihǎilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture, J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167-195.
• [31] P. Ribenboim, Catalan's conjecture, Academic Press Inc., Boston, MA, 1994.
• [32] A. Schinzel, Przeglad osiągnięć teorii liczb w XX wieku, Wiad. Mat. 38 (2002), 179-188.
• [33] A. Schinzel, Remarks on the paper "Sur certaines hypoth`eses concernant les nombres premiers", Acta Arith. 7 (1961/1962), 1-8.
• [34] A. Schinzel, W. Sierpinski, Sur certaines hypoth`eses concernant les nombres premiers, Acta Arith. 4 (1958), 185-208; erratum 5 (1958), 259.
• [35] W. Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, PWN, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987.
• [36] E. Szemerédi, On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression, Acta Arith. 27 (1975), 199-245.
• [37] T. Tao, T. Ziegler, The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, Acta Math. 201 (2008), no. 2, 213-305.
• [38] R. Tijdeman, On the equation of Catalan, Acta Arith. 29 (1976), no. 2, 197-209.
• [39] J.G. van der Corput, ¨ Uber Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten, Math. Ann. 116 (1939), 1-50.