Applications of mathematics in selected control and decision processes

• Autorzy: Baranowski J. , Długosz M. , Ganobis M. , Skruch P. , Mitkowski W.

Warianty tytułu

PL

Zastosowania matematyki w wybranych układach sterowania i procesach decyzyjnych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this paper we presented a selection of advanced applications of mathematics in control and game theory setting. Among the others we have discussed practical control problems with an example of DC motor, decision support application for electric market modelling, stabilisation schemes for finite and infinite dimensional systems. All these examples are interesting areas of research and at the same time present only a fraction of possibilities of control and game theory which can be later used in real life solutions.

PL

Na styku teorii i praktyki pojawia się coraz częściej nowa dyscyplina naukowa nazywana matematyką przemysłową lub technomatematyką. Nie jest to pomysł nowy. Historia nauki od dawna obserwuje usytuowanie rozważań matematycznych pomiędzy Światem abstrakcyjnych idei a światem materialnym. Ten fakt dobrze oddaje znana myśl Hugo Steinhausa: "Między duchem a materią pośredniczy matematyka" [44]. Obszarem matematyki przemysłowej jest modelowanie różnego typu obiektów rzeczywistych i następnie poszukiwanie odpowiednich metod numerycznych do rozwiązywania zbudowanych wcześniej modeli matematycznych. W konsekwencji otrzymujemy algorytmy wspomagające podejmowanie decyzji w konkretnych procesach przemysłowych. Pomiędzy dobrą teorią i praktyką występuję pewnego rodzaju sprzężenie zwrotne. Teoria pozwala skutecznie oddziaływać na świat materialny. Z kolei rozwiązania techniczne generują nowe problemy matematyczne. Burzliwy rozwój technik komputerowych umożliwił w ostatnich latach dokładniejszą analizę i syntezę układów sterowania złożonymi procesami oraz wspomaga podejmowanie decyzji w różnych obszarach stosowanych praktycznie. Odkrywanie matematycznej struktury świata pobudza przedstawicieli nauk technicznych do działania zmierzającego do celowego oddziaływania na obiekty rzeczywiste. Weryfikacja praktyczna pomysłów inżynierów w wielu przypadkach jest skuteczna i przynosi wymierne efekty. W sterowaniu układów dynamicznych z powodzeniem stosuje się często (nie jest to jedyny sposób postępowania) następujący algorytm działania (zob. np. [27, 28, 32, 33]): 1. Tworzy się model matematyczny, zwykle w postaci odpowiedniego równania różniczkowego. 2. Dokonujemy linearyzacji. 3. Projektujemy układ sterowania, np. poprzez odpowiednie sprzężenie zwrotne. Zwykle formułując odpowiedni problem LQ (problem liniowo kwadratowy). 4. Dokonujemy weryfikacji naszych działań na obiekcie rzeczywistym. Praktycznie na każdym etapie można przeprowadzać identyfikację parametrów odpowiedniego modelu. Zaprojektowany układ sterowania powinien posiadać odpowiednie własności. Wymagana jest asymptotyczna stabilność (wykładnicza) z odpowiednim obszarem przyciągania (Zasada LaSalle'a [22], s. 64). Wykorzystuje się różne pojęcia stabilność, zwykle w sensie Lapunowa, ([22] s. 34, 61) również praktyczną stabilność ([22] s. 127). Dobrze jest, by zaprojektowany układ zachował typowe własności spotykane w teorii sterowania (np. [26], s. 69, 76, 86, 90), takie jak sterowalność i obserwowalność (stabilizowalność i wykrywalność). Przy sterowaniu komputerowym układ ciągły w czasie współpracuje z urządzeniami pracującymi dyskretnie w czasie (np. z komputerem, sterownikami cyfrowymi, itp.) poprzez odpowiednie przetworniki sygnałów A/C i C/A (przetwornik analogowo-cyfrowy i cyfrowo-analogowy). Przy sterowaniu komputerowym jakość pracy układu zależy od sposobu pracy przetworników A/C i C/A (praca synchroniczna lub praca nie synchroniczna, od wielkości kroku dyskretyzacji czasu, od rozłożenia w przestrzeni poszczególnych urządzeń, itp.). Przy wyznaczaniu parametrów sprzężenia zwrotnego (również dynamicznego) wykorzystuje się odpowiednie równania Lapunowa i Riccatiego (np. [1], lub zob. np. [26,27], [21]), co ma związek z odpowiednimi problemami LQ (np. [17]). Podstawowa filozofia projektowania układów sterowania z wykorzystaniem metody linearyzacji jest zawarta w twierdzeniu Grobmana-Hartmana (np. [35]). Okazuje się, że jeżeli macierz stanu układu liniowego przybliżenia nie posiada wartości własnych na osi urojonych (oczywiście mówimy teraz o przypadku skończenie wymiarowym), to liniowe przybliżenie i układ nieliniowy w pewnym otoczeniu zera zachowuje się "podobnie" 90 J. Baranowski, M. Długosz, M. Ganobis, P. Skruch, W. Mitkowski (charakter zachowania trajektorii stanu jest taki sam, dokładniej pomiędzy trajektoriami układów istnieje w pewnym otoczeniu zera homeomorfizm, czyli odpowiednie odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne). Analizując asymptotyczną stabilność obszar przyciągania do zera można próbować wyznaczać wykorzystując Zasadę LaSalle’a. Praca ma charakter przeglądowy i zawiera wybrane przykłady wcześniej rozważane przez autorów opracowania. Między innymi krótko omówiono: problemy sterowania silnikiem prądu stałego (rozdział 2), problemy sterowania komputerowego (rozdział 3), zagadnienia wspomagania decyzji przy modelowaniu rynku energii elektrycznej z wykorzystaniem teorii gier (rozdział 4), pewien problem optymalizacji kształtu (rozdział 5) z wykorzystaniem Zasady Maksimum Pontryagina ([39]), problemy stabilizacji systemów skończenie i nieskończenie wymiarowych (rozdział 6, 7 i 8). W przedstawionych przykładach wykorzystano różnorodny aparat matematyczny i w konsekwencji różne metody rozwiązania.

Słowa kluczowe

EN

industrial mathematics; control; asymptotic stability; feedback; game theory; DC motor

PL

matematyka przemysłowa; teoria gier

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Matematyka Stosowana : matematyka dla społeczeństwa
• Rocznik: 2011
• Tom: T. 12/53, nr spe
• Strony: 65--90
• Opis fizyczny: Bibliogr. 48 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Baranowski J.

autor

Długosz M.

autor

Ganobis M.

autor

Skruch P.

autor

Mitkowski W.

• Katedra Automatyki AGH Kraków Zespół Systemów Dynamicznych i Teorii Sterowania http://sdts.ia.agh.edu.pl,

Bibliografia

• [1] M. Athans and P.L. Falb, Sterowanie optymalne: wstęp do teorii i jej zastosowanie, Warszawa WNT, 1969.
• [2] J. Baranowski, Projektowanie obserwatora dla silnika szeregowego prądu stałego, Półrocznik AGH AUTOMATYKA, 10(1): 33-52, 2006.
• [3] J. Baranowski, M. Długosz, Sterowanie czasooptymalne silnikiem obcowzbudnym prądu stałego, In K. Malinowski and L. Rutkowski, editors, Sterowanie i Automatyzacja: Aktualne problemy i ich rozwiązania, chapter 2, pages 87-96, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, 2008.
• [4] J. Baranowski, M. Długosz, and W. Mitkowski, Remarks about DC motor control, Archives of Control Sciences, 18(LIV)(3): 289-322, 2008.
• [5] K. Bisztyga, Sterowanie i regulacja silników elektrycznych, WNT, 1989.
• [6] V.G. Boltyanskii, Mathematical Methods of Optimal Control, Holt, Rinehart &Winston, New York, 1971.
• [7] J. Brehm, Postdecision changes in the desirability of alternatives, Journal of Abnormal and Social Psychology, 52: 384-389, 1956.
• [8] A.G. Butkovskii, Sterowanie Optymalne Systemami o Parametrach Rozłożonych (ros.), Nauka, Moskwa, 1965.
• [9] W. Byrski, Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo Dydaktyczne AGH, Kraków, 2007.
• [10] J. Chiasson, Nonlinear Differential-Geometric Techniques for Control of a Series DC Motor, IEEE Transactions on Conrol Systems Technology, 2(1): 35-42, March 1994.
• [11] T. Damm, V. Dragan and G. Freiling, Lyapunov Iterations for Coupled Riccati Differential Equations Arising in Connection with Nash Differential Games, Mathematical Reports, 9(59): 35-46, 2007.
• [12] M. Długosz, Problemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce, PhD thesis, Akademia Górniczo-Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie, 2009.
• [13] M. Długosz and T. Lerch, Komputerowa identyfikacja parametrów silnika prądu stałego, Przegląd Elektrotechniczny, 86(2): 34-38, 2010.
• [14] J.C. Engwerda, Algorithms for computing Nash equilibria in deterministic LQ games, Computational Management Science, 4(2):113-140, 2007.
• [15] M. Ganobis, Electricity Market Modelling Using Dynamic LQ Games, In:Materiały XII Międzynarodowych Warsztatów Doktoranckich OWD w Wisle, pages 75-80, 2010.
• [16] M. Ganobis and W. Mitkowski, A Nash equilibrium in RC transmission line with two voltage sources, Materiały XXXII Międzynarodowej konferencji z podstaw elektrotechniki i teorii obwodów IC-SPETO, pages 117-118, 2009.
• [17] H. Górecki, S. Fuksa, A. Korytowski and W. Mitkowski, Sterowanie optymalne w systemach liniowych z kwadratowym wskaźnikiem jakości, PWN, Warszawa, 1983.
• [18] A. Guran, A. Bajaj, Y. Ishida, N. Perkins, G. D'Eleuterio and C. Pierre, Stability of Gyroscopic Systems - Series on Stability, Vibration and Control of Systems, vol. 2, World Scientific Publishing, Singapore, 1999.
• [19] Y.-C. Ho and A. Starr, Nonzero-sum Differential Games, Journal of Optimization Theory and Applications, 3: 184-206, 1969.
• [20] E. Kącki, Równania Różniczkowe Cząstkowe w Elektrotechnice, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, 1971.
• [21] P. Lancaster and L. Rodman, Algebraic Riccati Equations, Clarendon Press, Oxford, 1995.
• [22] J. LaSalle and S. Lefschetz, Zarys teorii stabilności Lapunowa i jego metody bezpośredniej, PWN, Warszawa, 1966.
• [23] W. Leonhard, Control of Electrical Drives 3rd edition, Springer-Verlag Berlin and Heidelberg NewYork, Berlin, 3 editing, 2001.
• [24] S. Mitkowski, Nonlinear Electric Circuits, Wydawnictwa AGH, Kraków, 1999.
• [25] W. Mitkowski, Stabilizacja liniowych układów nieskończenie wymiarowych za pomocą dynamicznego sprzężenia zwrotnego, Arch. Automatyki i Telemechaniki, 33(4): 515-528, 1988.
• [26] W. Mitkowski, Stabilizacja Systemów Dynamicznych, WNT Warszawa, 1991.
• [27] W. Mitkowski, Projektowanie systemów sterowania z wykorzystaniem równania Riccatiego, In Z. Bubnicki and J. Józefczyk, editors, Mat. Konferencyjne XIII Krajowej Konferencji Automatyki, volume 1, pages 171-176, Oficyna Wydawnicza Politechniki Opolskiej, 1999.
• [28] W. Mitkowski, Metody projektowania układów regulacji optymalnej, In Z. Bubnicki and J. Korbicz, editors, XIV Krajowa Konferencja Automatyki, volmu 1, pages 195-204, Uniwersytet Zielonogórski, Inst. Sterowania i Systemów Informatycznych, 2002.
• [29] W. Mitkowski, Dynamic feedback in LC ladder network, Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 51(2): 173-180, 2003.
• [30] W. Mitkowski, Remarks about energy transfer in an RC ladder network, International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 13(2): 193-198, 2003.
• [31] W. Mitkowski, Stabilization of LC ladder network, Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 52(2): 109-114, 2004.
• [32] W. Mitkowski, Metody stabilizacji, In: Z. Bubnicki and R. Kulikowski and J. Kacprzyk, editors, XV Krajowa Konferencja Automatyki, volume 1, pages 169-178, KaiR PAN, IBS PAN oraz również PW, PIAP, PolSPAiR, 2005.
• [33] W. Mitkowski, Zastosowania równań liniowych w teorii sterowania. In K. Malinowski and L. Rutkowski, editors, Sterowanie i automatyzacja: aktualne problemy i ich rozwiązania, pages 11-22, Akademicka OficynaWydawnicza EXIT, Warszawa 2008.
• [34] W. Mitkowski and K. Oprzędkiewicz, A Sample Time Optimization Problem in a Digital Control system, In: A. Korytowski, K. Malanowski, W. Mitkowski and M. Szymkat, editor, System Modeling and Optimization 23rd IFIP TC7 Conference, pages 382-396, Springer, Berlin 2009, July 2007.
• [35] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo-Maple, Wydawnicto U.J., 2 edition, 1999.
• [36] K. Oprzędkiewicz, An example of parabolic system identification, Zeszyty Naukowe AGH, Elektrotechnika, 16(2): 99-106, 1997.
• [37] W. Pełczewski and M. Krynke, Metoda zmiennych stanu w analizie dynamiki układów napędowych, WNT, 1984.
• [38] L.S. Pontriagin, W.G. Bołtianski, R.W. Gemkrelidze and E.F. Miszczenko, Matematiczeskaja tieoria optimalnych processow, Nauka, Moskwa, 4 edition, 1983.
• [39] L.S. Pontryagin, V.G. Boltyanskii, R.V. Gamkrelidze and E.F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes, John Willey, New York, 1962.
• [40] P. Skruch, Feedback stabilization of distributed parameter gyroscopic systems, W. Mitkowski and J. Kacprzyk, editors, Modelling Dynamics in Processes and Systems (Studies in Computational Intelligence), vol. 180, pages 85-97, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2009.
• [41] P. Skruch, J. Baranowski and W. Mitkowski, Dynamic feedback stabilization of nonlinear RC ladder network, In: Proceedings of XIII Symposium on Fundamental problems of power electronics electromechanics and mechatronics, PPEEm 2009, Wisła, Poland, pages 136-141, 2009.
• [42] P. Skruch, W. Mitkowski, Optimum design of shapes using the Pontryagin principle of maximum, Automatyka, 13(1): 65-78, 2009.
• [43] P. Skruch, W. Mitkowski, Modelling and simulation of the shape optimization problems, In: G .R. Rey and L.M. Muneta, editors, Modelling, Simulation and Optimization, pages 187-208, In-Tech, Olajnica, Croatia, 2010.
• [44] H. Steinhaus, Między duchem a materią pośredniczy matematyka. Wybór, przedmowa redakcja naukowa Józef Łukaszewicz, PWN, Warszawa-Wrocław, 2000.
• [45] G. Strang, G.J. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New York, 1973.
• [46] G. Szefer, L. Mikulski, Optimization of beams with the use of the Pontryagin principle of maximum, Archives of Civil Engineering, 24(3): 337-345, 1978.
• [47] M. Szymkat, A. Korytowski, Evolution of Structure for Direct Control Optimization, Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 27:165-193, 2007.
• [48] B. van Aarle, J. Engwerda and J. Plasmans, Cooperative and non-cooperative fiscal stabilization policies in the EMU, Journal of Economic Dynamics and Control, 26(3): 451-481, 2002.