O równaniach różniczkowych z opóźnieniem - teoria i zastosowania

• Autorzy: Bodnar M. , Piotrowska M.J.

Warianty tytułu

EN

Delay differential equations: theory and applications

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Równania różniczkowe z opóźnionym argumentem pojawiają się w modelach matematycznych dotyczących zagadnień biologicznych, biochemicznych czy medycznych. Chociaż sama struktura równań jest podobna do równań różniczkowych zwyczajnych, to jednak istnieje zasadnicza różnica: równanie czy układ równań z opóźnieniem jest problemem nieskończeniewymiarowym z odpowiadającą mu przestrzenią fazową będącą przestrzenią funkcyjną-zwykle rozważamy przestrzeń funkcji ciągłych.Wtej pracy przestawiamy podstawową teorię dotyczącą tej klasy równań, jak również kilka przykładów zastosowań równań z opóźnieniem do opisu zagadnień biologicznych, medycznych i biochemicznych.

EN

Delay differential equations are used in mathematical models of biological, biochemical or medical phenomenons. Although the structure of these equations is similar to ordinary differential equations, the crucial difference is that a delay differential equation (or a system of equations) is an infinite dimensional problem and the corresponding phase space is a functional space - usually the space of continuous functions is considered. In this paper we present the basic theory of delay differential equations as well as some example of applications to models of biological, medical and biochemical systems.

Słowa kluczowe

PL

równania różniczkowe z opóźnieniem; jednoznaczność rozwiązań; stabilność stanu stacjonarnego; bifurkacja Hopfa; model matematyczny

EN

delay differential equations; uniqueness of solutions; stability of s steady state; Hopf bifurcation; mathematical model

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Matematyka Stosowana : matematyka dla społeczeństwa
• Rocznik: 2010
• Tom: T. 11/52
• Strony: 17--56
• Opis fizyczny: Bibliogr. 28 poz., wykr.

Twórcy

autor

Bodnar M.

autor

Piotrowska M.J.

• Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski, ul. Banacha 2, 02-097 Warszawa,,

Bibliografia

• [1] Natalia Bielczyk, Marek Bodnar, Urszula Foryś and Jan Poleszczuk, Delay can stabilise: love affairs dynamics. In: Proceedings of XVI National Conference on Application of Mathematics in Biology and Medicine, September 2010.
• [2] Marek Bodnar, The nonnegativity of the solutions of delay differential equations, Appl. Math. Lett., 13(6): 91-95, 2000.
• [3] Marek Bodnar, On the differences and similarities of the first order delay and ordinary differential equations, J. Math. Anal. Appl., 300(1): 172-188, 2004.
• [4] Marek Bodnar and Agnieszka Bartłomiejczyk, Delay induced oscillations in gene expression of Hes1 protein model, in preparations, 2010.
• [5] D. Bratsun, D. Volfson, L.S. Tsimring and J. Hasty, Delay-induced stochastic oscillations in gene regulation, PNAS, 102(41): 14593-14598, 2005.
• [6] P. Carmeliet and R.K. Jain, Angiogenesis in cancer and other diseases, Nature, 407: 249-257, 2000.
• [7] Kenneth L. Cooke and Pauline van den Driessche, On zeroes of some transcendental equations, FDunkcj. Ekvacioj, 29: 77-90, 1986.
• [8] Odo Diekmann, S. van Giles and Sjoerd M. Verduyn Lunel, Delay Equations, Springer-Verlag, New York, 1995.
• [9] A. D'Onofrio and A. Gandolfi, A family of models of angiogenesis and anti-angiogenesis anti-cancer therapy, Math Med Biol., 26(1): 63-95, 2009.
• [10] A. Ergun, K. Camphausen and L.M. Wein, Optimal scheduling of radiotherapy and angiogenic inhibitors, Bull Math Biol., 65(3): 407-424, 2003.
• [11] J. Folkman, Angiogenesis, Ann. Rev. Med., 57: 1-18, 2006.
• [12] U. Foryś and M.J. Piotrowska, Angigenesis models with descrete delays: Part 1, Technical Report 199, Institute of Applied Mechanics, University of Warsaw, 2010.
• [13] Urszula Foryś, Biological delay systems and the Mikhailov criterion of stability, J. Biol. Sys., 12(1): 45-60, 2004.
• [14] Urszula Foryśs, Marek Bodnar and Jan Poleszczuk, Negativity of delayed induced oscillations in a simple linear DDE, submited to Appl. Math. Lett., 2010.
• [15] P. Hahnfeldt, D. Panigrahy, J. Folkman and L. Hlatky, Tumor development under angiogenic signaling: a dynamical theory of tumor growth, treatment response, and postvascular dormancy, Cancer Res., 59(19): 4770-4775, 1999.
• [16] Jack K. Hale, Theory of functional differential equations, Springer, New York, 1977.
• [17] Jack K. Hale and Sjoerd M. Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer, New York, 1993.
• [18] Jack K. Hale and Natalia Sternberg, Onset of chaos in differential delay equations, J. Comp. Phys., 77(1): 221-239, 1988.
• [19] H. Hirata, S. Yoshiura, T. Ohtsuka, Y. Bessho, T. Harada, K. Yoshikawa and R. Kageyama, Oscillatory expression of the bHLH factor Hes1 regulated by a negative feedback loop, Science, 298: 840-843, 2002.
• [20] G.E. Hutchinson, Circular casual systems in ecology, Ann. N.Y. Acad. Sci., 50: 221-246, 1948.
• [21] M.H. Jensen, K. Sneppen and G. Tiana, Sustained oscillations and time delays in gene expression of protein Hes1, FEBS Lett., 541: 176-177, 2003.
• [22] R. Kageyama, M. Ishibashi, K. Takebayashi and K. Tomita, bHLH transcription factors and mammalian neuronal differentiation, Int. J. Biochem. Cell. Biol., 29: 1389, 1997.
• [23] T. Kepler and T. Elston, Stochasticity in transcriptional regulation: origins, consequences, and mathematical representations, Biophys. J., 81: 3116-3136, 2001.
• [24] Allan M. Krall, On the Michailov Criterion for Exponential Polynomials, SIAM Rev., 8(2): 184-187, 1966.
• [25] Yang Kuang, Delay differential equations with applications in population dynamics, Academic Press Inc., 1993.
• [26] M.J. Piotrowska and U. Foryś, Analysis of the Hopf bifurcation for the Family of Angiogenesis Models, submitted to Bull. Math. Biol., 2010.
• [27] L.S. Pontryagin, On the zeros of some elementary transcendental functions, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 6: 115-134, 1942, english translation: Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 1 (1955), 95-110.
• [28] R. Schuster and H. Schuster, Reconstruction models for the Ehrlich ascites tumor of the mouse, Mathematical Population Dynamics: Analysis of Heterogeneity, pages 335-348, Wuerz, London, 1995.