Historia problemu Webera

• Autorzy: Młodak A.

Warianty tytułu

EN

History of the Weber problem

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W pracy zajmujemy się zagadnieniem, które znane jest powszechnie jako konstrukcja mediany Webera. Chodzi mianowicie o znalezienie takiego punktu w przestrzeni Rⁿ, że suma jego odległości od m danych punktów w tejże przestrzeni jest najmniejsza. Prezentujemy historię badań w tej dziedzinie począwszy od najprostszej formy tego problemu, tj. minimalizacji sumy odległości od wierzchołków trójkąta, którym zajmowano się w XVII i XVIII wieku aż po współczesne wyniki w tym zakresie i jego dalsze uogólnienia. Wskazujemy także na możliwości jego zastosowań w statystyce i ekonometrii.

EN

The paper is devoted to a problem, which is commonly known as a construction of the Weber median. A point in Rⁿ/, such that the sum of its Euclidean distances from the m given points in this space achieves its minimum, has to be found. We present the history of research concerning this question, starting from the simplest form of it, i.e. the minimization of sum of distances from the vertices of triangle, which was investigated in the 17th and 18th centuries and finishing at the modern results in this matter and its further generalizations. We indicate also possibilities of its applications in statistics and econometrics.

Słowa kluczowe

PL

punkt Fermata-Torricellego; mediana Webera

EN

Fermat-Torricelli point; Weber median

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Matematyka Stosowana : matematyka dla społeczeństwa
• Rocznik: 2009
• Tom: T. 10/51
• Strony: 3--21
• Opis fizyczny: Bibliogr. 21 poz., wykr.

Twórcy

autor

Młodak A.

• Urząd Statystyczny w Poznaniu Oddział w Kaliszu pl. J. Kilińskiego 13 62-800 KALISZ, Poland,

Bibliografia

• [1] Aloupis G. (2001), On Computing Geometric Estimators of Location, (A thesis submitted to the Faculty of Graduate Studies and Research in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science), School of Computer Science, McGill University, Montreal, Canada (maszynopis), tekst dostępny w Internecie pod następującym adresem: http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/24808/http:zSzzSzcgm.cs.mcgill.cazSz~athenszSzG_A_thesis.pdf/aloupis01computing.pdf.
• [2] Bedall F. K., Zimmerman H. (1979), The mediancentre, Applied Statistics, vol. 23, str. 325-328.
• [3] Bogomolny A. (2001), The Fermat Point and Generalizations, http://www.cut-theknot.org/Generalization/fermat_point.shtml.
• [4] Dalla L. (2001), A note on the Fermat-Torricelli point of a d-simplex, Journal of Geometry, vol. 70, str. 38-43.
• [5] Ducharme G. R., Milasevic P. (1987), Spatial median and directional data, Biometrika, vol. 74, str. 212-215.
• [6] Gower J. C. (1974), The mediancentre, Applied Statistics, vol. 23, str. 466-470.
• [7] Haldane J. B. S. (1948), Note on the median of a multivariate distribution, Biometrika, vol. 35, str. 414-415.
• [8] Kupitz Y. S., Martini H. (1994), The Fermat - Torricelli point and the isosceles tetrahedra, Journal of Geometry, vol. 49, str. 150-162.
• [9] Lardjane S. (2008), Spatial median estimation in complex surveys, Institute of Biomathematics and Biometry, Helmholtz Center Munich, German Research Center for Environmental Health, Neuherberg (preprint), http://ibb.gsf.de/homepage/salim.lardjane/articles-web/spatmed-web.pdf.
• [10] Lira J., Wagner W., Wysocki F. (2002), Mediana w zagadnieniach porządkowania obiektów wielocechowych, [w:] J. Paradysz (red.) Statystyka regionalna w służbie samorządu lokalnego i biznesu, Internetowa Oficyna Wydawnicza Centrum Statystyki Regionalnej, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań, str. 87-99.
• [11] Martini H., Swanepoel K. J., Weiss G. (2002), The Fermat - Toricelli Problems in Normed Planes and Spaces, Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 115, str. 283-314.
• [12] Milasevic P., Ducharme G. R. (1987), Uniqueness of the Spatial Median, The Annals of Statistics, vol. 15, nr 3, str. 1332-1333.
• [13] Młodak A. (2002), Taksonomiczne mierniki przestrzennego zróżnicowania rynku pracy. Wiadomości Statystyczne, R. XLVII, nr 4, str. 16-25.
• [14] Młodak A. (2006), Analiza taksonomiczna w statystyce regionalnej, Centrum Doradztwa i Informacji DIFIN, Warszawa.
• [15] Młodak A. (2007), Punkt Torricellego, Matematyka, R. LX, nr 8 (334), str. 456-458.
• [16] Oja H. (1983), Descriptive statistics for multivariate distributions, Statistical Probability Letters, vol 1., str. 327-332.
• [17] Serfling R. (1991), Twierdzenia graniczne statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
• [18] Steinhaus H. (1989), Kalejdoskop matematyczny, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.
• [19] Vandev D. L. (2002), Computing of Trimmed L1 - Median, Laboratory of Computer Stochastics, Institute of Mathematics, Bulgarian Academy of Sciences, www.fmi.unisofia.bg/fmi/statist/Personal/Vandev/papers/aspap.pdf.
• [20] Weiszfeld E. (1937), Sur le point pour lequel les sommes des distances de n points donn´e et minimum, Tahoku Mathematical Journal, vol. 34, str. 355-386.
• [21] Zachos A., Zouzoulas G. (2009), The weighted Fermat-Torricelli problem for tetrahedral and an "inverse" problem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 353, str. 114-120.