O asymptotycznej efektywności estymatorów

• Autorzy: Ledwina T.

Warianty tytułu

EN

On asymptotic efficiency of estimators

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W pracy przedstawiamy i dyskutujemy pojęcie asymptotycznej efektywności estymatorów w ujęciu Hajeka i Le Cama. Podajemy też ogólną konstrukcję pewnej klasy asymptotycznie optymalnych estymatorów dla parametrów z przestrzeni euklidesowej. Pokrótce szkicujemy uogólnienia dyskutowanych idei na przypadek semiparame-tryczny i pokazujemy, że techniczne wyniki uzyskane w teorii asymptotycznie efektywnej estymacji mogą być z powodzeniem wykorzystane w asymptotycznej teorii testowania. Wybór materiału jest wysoce subiektywny i tylko w niewielkim stopniu oddaje złożoność rozpatrywanych współcześnie zagadnień oraz ogrom wyników, jakie uzyskano w tej tematyce. Tekst jest skróconą wersją wykładu przygotowanego na zaproszenie Organizatorów Konferencji ze Statystyki Matematycznej - Wisła 2005. Głównym celem prezentacji jest pokazanie, że klasyczne podejście do definiowania asymptotycznej efektywności nie sprawdziło się i przedyskutowanie tego jak, dla pewnej klasy zagadnień, w naturalny i elegancki sposób został ten problem rozwiązany.

EN

We present and discuss the notion of asymptotic efficiency of estimators as introduced by Hajek and Le Cam. We give also some general construction of a class of asymptotically efficient estimators of Euclidean parameters. Moreover, we briefly indicate some generalizations of the discussed ideas to the case of semiparametric models. We show also that technical results obtained in the asymptotic theory of efficient estimation can be successfully used in asymptotic theory of testing. The selection of the material is highly subjective and to a little extent reflects complexity of several problems and range of results available in present-day literature. The paper is a shortened version of invited series of lectures presented at the Conference on Mathematical Statistics WISŁA 2005. Its main purpose is to show that classic approach to define efficiency was not satisfactory and to discuss how, for some class of problems, this question was solved in a natural and elegant way.

Słowa kluczowe

PL

efektywność asymptotyczna; optymalność asymptotyczna; funkcja wpływu; superefektywność; test wynikowy

EN

asymptotic efficiency; asymptotic optimality; influence function; supereffinciency; score test

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Matematyka Stosowana : matematyka dla społeczeństwa
• Rocznik: 2007
• Tom: Nr 8
• Strony: 66--83
• Opis fizyczny: bibliogr. 39 poz.

Twórcy

autor

Ledwina T.

• Instytut Matematyczny PAN Oddział Wroclaw ul. Kopernika 18, 51-617 Wrocław,

Bibliografia

• [1] T. W. Anderson, The integral of a symmetric unimodal function over a symmetric convex set and some probability inequalities, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 170-176.
• [2] R. R. Bahadur, On Fisher's bound for asymptotic variances, Ann. Math. Statist. 35 (1964), 1545-1552.
• [3] M. S. Bartlett, Approximate confidence intervals II. More than one unknown parameter, Biometrika 40 (1953), 306-317.
• [4] T. Bednarski, W. Florczak, On local uniform bootstrap validity, Statist. Neerl. 53 (1999), 111-121.
• [5] R. Beran, Diagnosing bootstrap success, Ann. Inst. Statist. Math. 49 (1997), 1-24.
• [6] R. Beran, The impact of the bootstrap on statistical algorithms and theory, Statist. Sci. 18 (2003), 175-184.
• [7] P. J. Bickel, J. H. Hodges, The asymptotic theory of Galton's test and a related simple estimate of location, Ann. Math. Statist. 38 (1967), 73-89.
• [8] P. J. Bickel, C. A. J. Klaassen, Y. Ritov, J. A. Wellner, Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1993.
• [9] W. J. Bühler, P. S. Puri, On optimal asymptotic tests of composite hypotheses with several constraints, Z. Wahrsch. verw. Gebiete 5 (1966), 71-88.
• [10] G. Casella, T. J. Hwang, Limit expression for the risk of James-Stein estimators, Canad. J. Statist. 10 (1982), 305-309.
• [11] S. Choi, W. J. Hall, A. Schick, Asymptotically uniformly most powerful tests in parametric and semiparametric models, Ann. Statist. 24 (1996), 841-861.
• [12] H. Cramér, Mathematical Methods of Statistics, Princeton University Press, Princeton, 1946 (przekład polski: H. Cramér, Metody matematyczne w statystyce, PWN, Warszawa 1958).
• [13] J. L. Doob, Probability and statistics, Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 759-772.
• [14] F. Y. Edgeworth, On the probable errors of frequency constants, J. Roy. Statist. Soc. 71 (1908), 381-397.
• [15] R. A. Fisher, On the mathematical foundations of theoretical statistics, Philos. Trans. Roy. Soc. A 222 (1922), 309-365.
• [16] R. A. Fisher, Theory of statistical estimation, Proc. Camb. Phil. Soc. 22 (1925), 700-725.
• [17] J. Hájek, A characterization of limiting distributions of regular estimates, Z. Wahrsch. verw. Gebiete 14 (1970), 323-330.
• [18] P. J. Huber, Strict efficiency excludes superefficiency, Ann. Math. Statist. 37 (1966), 1425.
• [19] P. J. Huber, Robust Statistics, Wiley, New York, 1981.
• [20] I. A. Ibragimow, R. Z. Hasminski, Statistical Estimation: Asymptotic Theory, Springer, New York, 1981.
• [21] T. Inglot, T. Ledwina, Data driven score tests for homoscedastic linear regression model: the construction and simulations, w: Prague Stochastics 2006, M. Hušková, M. Janžura (red.), Matfyzpress, Prague, 2006a, 124-137.
• [22] T. Inglot, T. Ledwina, Data driven score tests for homoscedastic linear regression model: asymptotic results, Probab. Math. Statist. 26 (the issue dedicated to the, memory of K. Urbanik) (2006b), 41-61.
• [23] W. James, C. Stein, Estimation with quadratic loss, w: Proc. Fourth Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., J. Neyman (red.), Univ. California Press, Berkeley 1961, 361-380.
• [24] J. Kiefer, J. Wolfowitz, Consistency of the maximum likelihood estimator in the presence of infinitely many incidental parameters, Ann. Math. Statist. 27 (1956), 887-906.
• [25] C. A. J. Klaassen, H. Putter, Efficient estimation of Banach parameters in semiparametric models, Ann. Statist. 33 (2005), 307-346.
• [26] L. Le Cam, On some asymptotic properties of maximum likelihood estimates and related Bayes estimates, Univ. California Publ. Statist. 1 (1953), 277-330.
• [27] L. Le Cam, On the asymptotic theory of estimation and testing hypotheses, w: Proc. Third Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., J. Neyman (red.), Univ. California Press, Berkeley 1956, 129-156.
• [28] L. Le Cam, On the assumptions used to prove asymptotic normality of maximum likelihood estimates, Ann. Math. Statist. 41 (1970), 802-828.
• [29] E. L. Lehmann, Theory of Point Estimation, Wiley, New York, 1983 (przekład polski: E. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, PWN, Warszawa, 1991).
• [31] J. Neyman, Sur une famille de tests asymptotiques des hypoth`eses statistiqes composées, Trabajos de Estadistica 5 (1954), 161-168.
• [32] J. Neyman, Optimal asymptotic tests of composite statistical hypotheses, w: The Harald Cramｴer Volume, U. Grenander (red.), Wiley, New York, 1959, 213-234.
• [33] C. R. Rao, Criteria of estimation in large samples, Sankhya 25 (1963), 189-206.
• [34] A. Schick, Efficient estimates in linear and nonlinear regression with heteroscedastic error, J. Statist. Plann. Inference 58 (1997), 371-387.
• [35] A. Schick, On asymptotic differentiability of averages, Statist. Probab. Lett. 51 (2001), 15-23.
• [36] C. Stone, Adaptive maximum likelihood estimators of a location parameter, Ann. Statist. 3 (1975), 267-284.
• [37] A. W. van der Vaart, Asymptotic Statistics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000.
• [38] J. Wolfowitz, Asymptotic efficiency of the maximum likelihood estimator, Theory Probab. Appl. 10 (1965), 247-260.
• [39] S. Zacks, The Theory of Statistical Inference, Wiley, New York, 1971.