Fale biegnące w ośrodkach z dyfuzją

• Autorzy: Kaźmierczak B.
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W pracy omawiamy rozwiązania w postaci fal biegnących dla równań modelujących ośrodki nieliniowe z efektywną dyfuzją. Rozwiązania takie mogą opisywać np. propagację frontów heteroklinicznych oraz impulsów (wzbudzeń ośrodka). W pracy przedstawiamy kilka przykładów procesów, w których pojęcie fali biegnącej dobrze oddaje istotę analizowanych zjawisk. Są to: plazma podtrzymywana promieniowaniem laserowym, przejścia fazowe w płynach van der Waalsa, morfogeneza skóry oraz transkrypcja materiału genetycznego z DNA na RNA.

EN

We discuss the travelling wave solutions to equations modelling nonlinear media with diffusion. Such solutions may describe, e.g., propagation of heteroclinic fronts or impulses (medium excitations). We present several examples of processes where the notion of the travelling wave is especially useful, including plasma sustained by a laser beam, phase changes in van der Waals fluids, skin morphogenesis and DNA-RNA transcription process.

Słowa kluczowe

PL

fale biegnące heterokliniczne; fale biegnące homokliniczne; indeks Conleya; perturbacje singularne; plazma laserowa; przejścia fazowe; morfogeneza skóry; transkrypcja DNA-RNA

EN

heteroclinic and homoclinic travelling waves; Conley index; singular perturbations; laser plasma; phase changes; skin morphogenesis; DNA-RNA transcription

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Matematyka Stosowana : matematyka dla społeczeństwa
• Rocznik: 2005
• Tom: Nr 6
• Strony: 29--47
• Opis fizyczny: bibliogr. 29 poz.

Twórcy

autor

Kaźmierczak B.

• Instytut Podstawowych Problemów Techniki, PAN Świętokrzyska 21 00-049 Warszawa

Bibliografia

• [1] J. Sneyd, Calcium oscillations and waves, w: Proc. Sympos. Appl. Math. 59, AMS, Providence, 2002, 83-118.
• [2] J. Keener, J. Sneyd, Mathematical Physiology, Springer, 1998.
• [3] A. N. Kolmogorov, I. G. Petrovskiĭ, N. S. Piskunov, A study of the equation of diffusion with increase in the quantity of matter and its application to a biological problem, Byul. Moskovs. Gos. Univ. 1 (1937), 1-26.
• [4] P. C. Fife, J. B. McLeod, The approach of solutions of nonlinear diffusion equations to travelling front solutions, Arch. Rat. Mech. Anal. 65 (1975), 335-361.
• [5] P. C. Fife, Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems, Lecture Notes in Biomath. 28, Springer, 1979.
• [6] A. Volpert, V. Volpert, V. Volpert, Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems, AMS, Providence, 1994.
• [7] B. Kaźmierczak, Approximating sequences for heteroclinic orbits, Math. Methods Appl. Sci. 17 (1994), 71-76.
• [8] B. Kaźmierczak, Existence of travelling wave solutions for reaction-diffusion convection systems via the Conley index theory, Topol. Methods Nonlinear Anal. 17 (2001), 359-403.
• [9] B. Kaźmierczak, Travelling waves in a system modelling laser sustained plasma, J. Appl. Math. Phys. (ZAMP) 51 (2000), 304-314.
• [10] B. Kaźmierczak, K. Piechor, Parametric dependence of phase boundary solution to model kinetic equations, J. Appl. Math. Phys. (ZAMP) 53 (2002), 539-568.
• [11] B. Kaźmierczak, K. Piechor, Phase boundary solutions to model kinetic equations via the Conley index theory. Part II, Math. Comp. Modelling 36 (2002), 1393-1408.
• [12] B. Kaźmierczak, K. Piechor, Some heteroclinic solutions of a model of skin pattern formation, Math. Methods Appl. Sci. 27 (2004), 1317-1345.
• [13] B. Kaźmierczak, T. Lipniacki, Homoclinic solutions in mechanical systems with small dissipation. Application to DNA dynamics, J. Math. Biol. 44 (2002), 309-329.
• [14] A. Baranowski, Z. Mucha, Z. Peradzyński, Niestabilności ciągłego wyładowania optycznego w gazach, Adv. Mech. 1 (1978).
• [15] P. Fife, J. McLeod, The approach of solutions of nonlinear diffusion equations to travelling front solutions, Arch. Rat. Mech. Anal. 65 (1977), 335-361.
• [16] E. C. M. Crooks, J. F. Toland, Travelling waves for reaction diffusion convection systems, Topol. Methods Nonlinear Anal. 11 (1998), 19-43.
• [17] K. Mischaikov, V. Hutson, Travelling waves for mutualist species, SIAM J. Math. Anal. 24 (1993), 987-1008.
• [18] J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer, 1983.
• [19] D. Salamon, Connected simple systems and the Conley index of isolated inwariant sets, Trans. Amer. Math. Soc. 291 (1985), 1-41.
• [20] C. K. R. T. Jones, Geometric singular perturbation theory, w: Dynamical Systems (Montecatini Terme, 1994), Lecture Notes in Math. 1609, Springer, 1995, 45-118.
• [21] C. K. R. T. Jones, N. Kopell, Tracking invariant manifolds with differential forms In singularly perturbed systems, J. Diff. Equations 108 (1994), 64-88.
• [22] K. Piechór, Discrete velocity models of the Enskog-Vlasov equation, Transport Theory Statist. Phys. 23 (1994), 39-74.
• [23] K. Piechór, A four velocity model for van der Waals fluids, Arch. Mech. 47 (1995), 1089-1111.
• [24] K. J. Palmer, Exponential dichotomies and transversal homoclinic points, J. Diff. Equations 55 (1984), 225-256.
• [25] B. Kaźmierczak, K. Piechór, Phase boundary solutions to model kinetic equations via the Conley index theory. Part I, Math. Comp. Modelling 31 (2000), 77-92.
• [26] G. C. Cruywagen, J. D. Murray, On a tissue interaction model for skin pattern formation, J. Nonlinear Sci. 2 (1992), 217-240.
• [27] S. Ai, Existence of travelling wave solutions in a tissue interaction model for skin pattern formation, J. Nonlinear Sci. 13 (2003), 193-210.
• [28] T. Lipniacki, Chemically driven traveling waves in DNA, Phys. Rev. E 60 (1999), 7253-7261.
• [29] C. R. Calladine, H. R. Drew, Understanding DNA, Academic Press, New York, 1992.