Algebra liczb rozmytych

• Autorzy: Kosiński W. , Prokopowicz P.
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Określono algebrę skierowanych liczb rozmytych (ordered fuzzy numbers (OFN)), która umożliwia posługiwanie się pojęciami rozmytymi, ilościowo nieostrymi, w sposób podobny do rachunku na liczbach rzeczywistych. Zbiór skierowanych liczb rozmytych, izomorficzny z kwadratem kartezjańskim przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym, ma strukturę przestrzeni liniowo-topologicznej oraz algebry Banacha z jedynką. Algebrę tę można wyposażyć w relację pre-porządku i posiada ona dzielniki zera oraz nietrywialne ideały. Podstawowe, w zastosowaniach praktycznych przy budowaniu rozmytych systemów wnioskujących, operacje wyostrzania (defuzzyficatiori) mogą się pojawić w tej przestrzeni Banacha jako liniowe i ciągłe funkcjonały, reprezentowane przez pary miar Radona (tutaj dwie całki w sensie Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym). Dalsze uogólnienie prowadzi do pojęcia skierowanych zbiorów rozmytych i odpowiadającej algebry Banacha. Przedstawione podstawy algebry skierowanych liczb (zbiorów) rozmytych dają możliwość budowy odpowiedników znanych pojęć z teorii równań różniczkowych, wzbogacając metody sterowania o nowe modele rozmyte. Z powodzeniem dokonana w środowisku Windows, w kalkulatorze rozmytym zCalc, programowa implementacja wprowadzonych operacji na liczbach rozmytych pozwala mieć nadzieję na szybki rozwój zastosowań przedstawionych tutaj pojęć i modeli.

EN

An algebra of ordered fuzzy numbers (OFN) is defined. It enables handling fuzzy inputs in a quantitative way, exactly in the same way as for real numbers. Additional two structures : algebraic and normad (topological) are introduced , which makes it possible to define a general form of defuzzyfication operators if fuzzy rules are used in a decision process. A useful implementation of a Fuzzy calculator is given which allows counting with OFNs of general type membership relations.

Słowa kluczowe

PL

liczby rozmyte; zbiór rozmyty; skierowana liczba rozmyta

EN

ordered fuzzy numbers; defuzzyfication

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Matematyka Stosowana : matematyka dla społeczeństwa
• Rocznik: 2004
• Tom: Nr 5
• Strony: 37--63
• Opis fizyczny: Bibliogr. 36 poz., wykr.

Twórcy

autor

Kosiński W.

• Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Centrum Badawcze, ul. Koszykowa 86, 02-008 Warszawa

autor

Prokopowicz P.

• Akademia Bydgoska, Instytut Mechaniki Środowiska i Informatyki Stosowanej, ul. Chodkiewicza 30, 85-064 Bydgoszcz
• Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, Pracownia Systemów Wizyjnych i Pomiarowych, ul. Świętokrzyska 21, 00-049 Warszawa

Bibliografia

• [1] J. Łukasiewicz, Elementy logiki matematycznej, Koło Matematyczno-Fizyczne Słuchaczów Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa, 1929; II wyd., PWN, Warszawa, 1958.
• [2] E. Czogała, W. Pedrycz, Elementy i metody teorii zbiorów rozmytych, PWN, Warszawa, 1985.
• [3] D. Dubois, H. Prade, Operations on fuzzy numbers, Int. J. System Science 9 (1978), 576-578.
• [4] R. E. Moore, Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM Press, Philadelphia, PA, 1979.
• [5] D. Dubois, H. Prade, Ranking fuzzy numbers in the setting of possibility theory, Information Sciences 30 (1983), 183-224.
• [6] J. Kacprzyk, Zbiory rozmyte w analizie systemowej, PWN, Warszawa, 1986.
• [7] G. J. Klir, Fuzzy arithmetic with requisite constraints, Fuzzy Sets and Systems 91 (1997), 165-175.
• [8] G. C. Chen, Pham Trung Tat, Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems, CRS Press, Boca Raton, 2001.
• [9] W. Kosiński, K. Piechór, P. Prokopowicz, K. Tyburek, On algorithmic approach to operations on fuzzy numbers, w: Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering, T. Burczyński, W. Cholewa (red.), PACM, Gliwice, 2001, 95-98.
• [10] A. Skowron, osobista uwaga, 1995.
• [11] A. Piegat, Modelowanie i sterowanie rozmyte, Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa, 1999.
• [12] E. Sanchez, Solutions of fuzzy equations with extended operations, Fuzzy Sets and Systems 12 (1984), 237-248.
• [13] R. Goetschel Jr., W. Voxman, Elementary fuzzy calculus, Fuzzy Sets and Systems 18 (1986), 31-43.
• [14] H. T. Nguyen, A note on the extension principle for fuzzy sets, J. Math. Anal. Appl. 64 (1978), 369-380.
• [15] A. Łachwa, Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji, faktów, reguł i decyzji, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2001.
• [16] D. Rutkowska, M. Piliński, L. Rutkowski, Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa, 1997.
• [17] J. Kacprzyk, Wieloetapowe sterowanie rozmyte, WNT, Warszawa, 2001.
• [18] R. Koleśnik, P. Prokopowicz, W. Kosiński, Fuzzy Calculator - useful tool for programming with fuzzy algebra, w: Artificial Intelligence and Soft Computing-ICAISC 2004 (Zakopane, 2004), L. Rutkowski i in. (red.), Lecture Notes on Artificial Intelligence 3070, Springer, 2004, 320-325.
• [19] E. Kaucher, Über metrische und algebraische Eigenschaften einiger beim numerischen Rechnen auftretender Räume, Ph.D. Thesis, Universität Karlsruhe, Karlsruhe, 1973.
• [20] E. Kaucher, Interval analysis in the extended interval space IR, Computing Suppl. 2 (1980), 33-49.
• [21] J. Drewniak, Liczby rozmyte, w: Zbiory rozmyte i ich zastosowania, J. Chojcan, J. Łęski (red.), Wyd. Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2001, 103-129.
• [22] M. Wagenknecht, On the approximate treatment of fuzzy arithmetics by inclusion, linear regression and information content estimation, w: Zbiory rozmyte i ich zastosowania, J. Chojcan, J. Łęski (red.), Wyd. Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2001, 291-310.
• [23] W. Kosiński, P. Słysz, Fuzzy numbers and their quotient space with algebraic operations, Bull. Polish Acad. Sci. Ser. Tech. Sci. 41 (1993), 285-295.
• [24] W. Kosiński, P. Prokopowicz, D. Ślęzak, Fuzzy numbers with algebraic operations: algorithmic approach, w: Intelligent Information Systems 2002 (Sopot, 2002), M. Kłopotek i in. (red.), Physica Verlag, 2002, 311-320.
• [25] W. Kosiński, P. Prokopowicz, D. Ślęzak, Drawback of fuzzy arthmetics - new intutions and propositions, w: Proc. Methods of Aritificial Intelligence, T. Burczyński i in. (red.), PACM, Gliwice, 2002, 231-237.
• [26] W. Kosiński, P. Prokopowicz, D. Ślęzak, On algebraic operations on fuzzy numbers, w: Intelligent Information Processing and Web Mining (Zakopane, 2003), M. Kłopotek i in. (red.), Physica Verlag, 2003, 353-362.
• [27] W. Kosiński, W., P. Prokopowicz, D. Ślęzak, Ordered fuzzy numbers, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 51 (2003), 327-338.
• [28] W. Kosiński, R. Koleśnik, P. Prokopowicz, K. Frischmuth, On algebra of ordered fuzzy numbers, w: Proc. International Seminar on Soft Computing-WISSC 2003, w druku.
• [29] W. Kosiński, On defuzzyfication of ordered fuzzy numbers, w: Artificial Intelligence and Soft Computing-ICAISC 2004 (Zakopane, 2004), L. Rutkowski i in. (red.), Lecture Notes on Artificial Intelligence 3070, Springer, Berlin, 2004, 326-331.
• [30] W. Kosiński, M. Weigl, General mapping approximation problems solving by neural networks and fuzzy inference systems, Systems Analysis Modelling Simulation 30 (1998), 11-28.
• [31] B. Martos, Programowanie nieliniowe. Teoria i zastosowanie, PWN, Warszawa, 1983.
• [32] S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, Biblioteka Mat. 46, PWN, Warszawa, 1973.
• [33] M.Wagenknecht, R. Hampel, V. Schneider, Computational aspects of fuzzy arithmetic based on Archimedean t-norms, Fuzzy Sets and Systems 123 (2001), 49-62.
• [34] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control 8 (1965), 338-353.
• [35] L. A. Zadeh, The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Part I, Information Sciences 8 (1975), 199-249.
• [36] L. A. Zadeh, The role of fuzzy logic in the management of uncertainty in expert systems, Fuzzy Sets and Systems 11 (1983), 199-227.