Simulations of representative volume elements for random 2D composites with circular non - overlapping inclusion

• Autorzy: Czapla R. , Nawalaniec W. , Mityushev V.

Warianty tytułu

PL

Symulacje komórki reprezentacyjnej 2D kompozytu z kołowymi nie nachodzącymi na siebie wtrąceniami

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Consider two-dimensional two-component periodic composite made from a collection of non-overlapping, identical, circular disks, embedded in a matrix. In accordance with a theory of the representative cells (representative volume elements), the effective conductivity of disks is expressed in terms of the generalized Eisenstein-Rayleigh sums (ER sums). Straightforward computation of the ER sums is possible only for the sums of lower orders. In the present paper, a fast algorithm to compute higher order sums worked out by use of random walks and Monte Carlo simulations. The algorithm is recurrent, i.e., an ER sum of the fixed order is expressed in terms of the ER sums of lower orders by simple formulae. Relations between the Eisenstein and Weierstrass functions and algebraic dependences between their derivatives are also used to improve the algorithm. The obtained numerical results are applied to investigation of the structure of composites.

PL

Rozważmy dwuwymiarowy, dwufazowy okresowy materiał kompozytowy, złożony ze zbioru nienakładających sie na siebie identycznych wtrąceń kołowych zanurzonych w osnowie. Zgodnie z teorią komórki reprezentatywnej, efektywna przewodność badanego materiału wyraża się za pomocą uogólnionych sum Eisensteina-Rayleigha (zwanych dalej sumami ER). Bezpośrednie obliczenie sum ER jest możliwe tylko w przypadku sum niższych rzędów. W artykule przedstawiono szybki algorytm obliczający sumy ER wyższych rzędów, opracowany z wykorzystaniem błądzenia losowego oraz metody Monte Carlo. Algorytm ten jest rekurencyjny, tzn. ustalona suma ER wyrażona jest za pomocą sum niższego rzędu. W celu usprawnienia działania algorytmu wykorzystano algebraiczne zależności między funkcjami Eisensteina i Wieierstrassa oraz między ich pochodnymi. Uzyskane wyniki numeryczne zastosowano do badania struktury materiałów kompozytowych.

Słowa kluczowe

EN

representative volume element; composite material; Eisenstein-Rayleigh sums

• Wydawca: Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Polskiej Akademii Nauk
• Czasopismo: Theoretical and Applied Informatics
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 24, No. 3
• Strony: 227--242
• Opis fizyczny: Bibliogr. 10 poz., rys.

Twórcy

autor

Czapla R.

autor

Nawalaniec W.

autor

Mityushev V.

• Dept. Computer Sciences and Computer Methods, Pedagogical University, ul. Podchorążych 2, Kraków 30-084, Poland,

Bibliografia

• 1. N.I. Akhiezer: Elements of Theory of Elliptic Functions, Nauka, 1970 (in Russian); Engl. transl. AMS, 1990.
• 2. I.V. Andrianov, V.V. Danishevskyy, D. Weichert: Simple estimation on effective transport properties of a random composite material with cylindrical fibres, Z. angew. Math. Phys. 59, 2008, 889-903.
• 3. L. Berlyand, V. Mityushev: Generalized Clausius-Mossotti formula for random composite with circular fibers, J. Statist. Phys., 102, No. 1/2, 2001, 115-145.
• 4. R. Czapla, W. Nawalaniec, V. Mityushev: Effective conductivity of random twodimensional composites with circular non–overlapping inclusions, Computational Materials Science 63, 2012, 118-126.
• 5. D. Gross, Th. Seelig: Fracture mechanics – with an introduction to micromechanics, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2011.
• 6. V. Mityushev: Transport properties of doubly periodic arrays of circular cylinders and optimal design problems, Appl. Math. Optimization, 44, 2001, 17-31.
• 7. V. Mityushev, P.M. Adler: Longitudial permeability of a doubly periodic rectangular array of circular cylinders, I, ZAMM, 82, No. 5, 2002, 335-345.
• 8. V. Mityushev: Representative cell in mechanics of composites and generalized Eisenstein-Rayleigh sums, Complex Variables, 51, No. 8-11, 2006, 1033-1045.
• 9. L.F. Tóth: Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und im Raum, Springer-Verlag, 1953.
• 10. A. Weil: Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker, Springer-Verlag, 1976.